天一专升本高数知识点

1、第一讲函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。2、函数的性质，奇偶性、有界性奇函数：f( X)f(X)，图像关于原点对称。偶函数：f( X) f (x)，图像关于y轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设a, B是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则a -(1)若 lim 0,则a是比B高阶的无穷小量。a(2)若 lim c(不为0),则a与B是同阶无穷小量特别地，若lim1，则a与B是等价无穷小量a(3)右 lim，则a与B是低阶无穷小量记忆方法：看谁趋向于4、两个重要极限0的速度快，谁就趋向于 0的本领高。(1)sinx lim x 0 xl

2、imx1°sin x(2)使用方法:拼凑0，一定保证拼凑sin后面和分母保持一致lim 1Xlim(1x 01x)x使用方法后面定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。XXEQmmH X,nn%-booPn x的最高次幕是n,Qm x的最高次幕是 m.,只比较最高次幕，谁的次幕高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。n m,以相同的比例趋向于无穷大；n m，分母以更快的速度趋向于无穷大；n m，分子以更快的速度趋向于无穷大。7、左右极限左极限：lim f (x) AX x0右极限：lim f(x) Ax X0注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。8连续、间断连续的

3、定义:lim yx 0lim f (x0x 0x)f(X。)或 xif f(X0)间断：使得连续定义lim f (x) f (x0)无法成立的三种情况x x0记忆方法：1右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等9、间断点类型(1 )、第二类间断点：lim f (x)、lim f(x)至少有一个不存在X §X x0(2)、第一类间断点：lim f (x)、lim f(x)都存在XX)x X0注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是"第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”10、闭区间上连续函数的性质

4、(1)最值定理：如果 f(x)在a,b上连续，则f (x)在a,b上必有最大值最小值。(2)零点定理：如果f (x)在 a,b 上连续，且 f (a) f (b)0，则 f (x)在 a,b内至少存在一点，使得f ()第三讲 中值定理及导数的应用1、罗尔定理如果函数y f(x则在(a,b)内至少存在记忆方法：脑海里记着2、拉格朗日定理满足:使得f ( )0占八、(1).在闭区间 a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)f (a)f(b)，如果y f(x) 满足(1)在闭区间(2)在开区间则在(a,b)内至少存在一点脑海里记着一幅图:a, b上连续，使得(*)推论1 :如果函f (x

5、)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且f (x)0，那么在(a, b)内 f (x)=c 恒为常数。记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。(a,b),(*)推论2 :如果 f (x),g(x) 在a, b上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且 f (x) g(x),x那么 f(x) g(x) c记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等3、驻点满足f(X)0的点，称为函数f(X)的驻点。几何意义：切线斜率为 0的点，过此点切线为水平线4、极值的概念设f(X)在点X0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点 f ( x)的极大值，Xo称为极大值点。X,有 f(X) f

6、(Xo)， 则称 f (Xo) 为函数X,有f (X)f (Xo)，则称f (Xo)为函数f ( X)的极小值，Xo称为极小值点。设f (x)在点Xo的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。5、拐点的概念连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。注y X3在原点即1是拐点/6、单调性的判定定理设f (x)在(a,b)内可导，如果f (x) o，则f(X)在(a,b)内单调增加;如果f (x) o,则f (x)在(a,b)内单调减少。记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，f (x) o ；在图像上凡

7、是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，f (x) o ；7、取得极值的必要条件可导函数f(x)在点Xo处取得极值的必要条件是f(X。) o8取得极值的充分条件第一充分条件：设f (x)在点xo的某空心邻域内可导，且 f (x)在xo处连续，则(1)如果XXo时，f (X)o； xXo时，f (X)o,那么f (x)在Xo处取得极大值f (Xo)；(2)如果XXo时，f (X)o ； xX。时,f (X)o，那么f (x)在Xo处取得极小值f(Xo)；(3)如果在点Xo的两侧，f(x)同号,那么f ( X)在Xo处没有取得极值；记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值

8、。第二充分条件：1设函数f (x)在点Xo的某邻域内具有一阶、二阶导数，且f (xo) o， f (xo) o则 (1)如果f (xo) o，那么f (x)在xo处取得极大值f (xo)；(2)如果f (Xo) o,那么f (x)在Xo处取得极小值f (Xo)9、凹凸性的判定设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，(1)如果f (x)0,x(a,b)，那么曲线f(x)在(a,b)内凹的;(2)如果 f (x)0, x (a,b)，那么 f (x)在(a,b)内凸的。10、图像表现：渐近线的概念*曲线f(x)在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。(1) 水平渐近线：若lim

9、f (x) A,则y f (x)有水平渐近线y A(2) 垂直渐近线：若存在点 x0, lim f(x) ，则y f (x)有垂直渐近线x x0xf (x)(2)求斜渐近线：若lima,lim f (x) ax b，则y ax b为其斜渐近线。x x x11、洛必达法则遇到“ 0”、“一”，就分子分母分别求导，直至求出极限。017moh17X/.Vffxo如果遇到幕指函数,需用f(x)八把函数变成“0”、“第二讲导数与微分1、导数的定义("、f(X。)limx 0y lim f (x0x)x 0f (x0)0注：使用时务必保证 Xo后面和分母保持一致，不一致就拼凑。2、 导数几何意义

10、：f(Xo)在x Xo处切线斜率法线表示垂直于切线，法线斜率与f (x0)乘积为一13、导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。4、求导方法总结(1 )、导数的四则运算法则(2 )、复合函数求导：y f x是由y f (u)与u (x)复合而成，贝y(3 )、隐函数求导对于F(x, y) 0，遇到y,把y当成中间变量u,然后利用复合函数求导方法。(4)、参数方程求导设()确定一可导函数 ydyf (x)，则或dt(t)y (t)dxdx(t)dt(5)、对数求导法先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导(6 )、幕指函数求导v(x)InaIn u(x)v(x)y e幕指函数

11、y u(x)，利用公式a ev(x) In u (x)e然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导 注：优选选择第二种方法。5、高阶导数对函数f(X)多次求导，直至求出。6、微分记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加dx，不需要单独记忆。7、可微、可导、连续之间的关系 可微 可导可导连续，但连续不一定可导8 可导与连续的区别。脑海里记忆两幅图(2)y x在x=o只连续但不可导。第四讲不定积分(1)2y x在x=o既连续又可导。所以可导比连续的要求更高。一、原函数与不定积分1、原函数：若F (x) f (x)，则F(x)

12、为f (x)的一个原函数;2、不定积分：f (x)的所有原函数F(x)+c叫做f(x)的不定积分，记作f (x)dx F(x) C二、不定积分公式记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式三、不定积分的重要性质1、f (x)dxf (x)或d f (x)dx f (x)dx2、f (x)dx f (x) c注：求导与求不定积分互为逆运算。四、积分方法1、基本积分公式2、第一换元积分法(凑微分法)把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。3、第二换元积分法2 a2x令xa si ntf 2三角代换.x2 a令xa sect1 2x2 a令xata nt三角代换主要使用两个三角公式：si

13、n2t cos2t 1,1 tan2t sec t4、分部积分法udvuvvdu第五讲定积分1、定积分定义bf(x)dxanlimx 0 i 1f( i)Xi如果f(x)在a,b上连续，则f (x)在a, b上一定可积。理解：既然在闭区间上连续，那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为 面积是常数，所以定积分如果可积也是常数。2、定积分的几何意义(I) 如果f (x)在a,b上连续，且f(x)f (x)dx表示由f (x), x a,x b,x轴所围成的b曲边梯形的面积。s= f (x)dx。(2) 如果f (x)在a, b上连续，且f(x)S=f (x)dx。3

14、、定积分的性质：bb(i)akf (x)dx k a f (x)dxbag(x)dxbba f (x) g(x)dx= a f(x)dx(3)ba f(x)dxcba f (x)dx c g(x)dx(4)b1dx ba(5)如果f (x)aa a f (x)dx 0bg(x)，则 f (x)dxaab f(x)dxbag(x)dxba f (x)dx大长方形面积如果f (x)在a,b上连续，则至少存在一点ba,b，使得 a f(x)dx f ( )(b a)(6)设m,M分别是 f(x) 在 a,b 的 min, max,则m记忆：小长方形面积(7)积分中值定理记忆：总可以找到一个适当的位置

15、，把凸出来的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲边梯形变 成一个长方形。称一 b f (x)dx为f (x)在a,b上的平均值。 b a a4、积分的计算(1)、变上限的定积分注：由此可看出来(x)f (t)dt是f (x)的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有a一个是x而不是t(2)、牛顿一莱布尼兹公式设f (x)在a,b上连续，F (x)是f (x)的一个原函数,b则 a f(x)dxF(x)a F(b) F(a)5、由牛顿公式可以看出，求定积分，本质上就是求不定积分， 只不过又多出一步代入积分上下限，所以求定积分也有四种方法。 奇函数、偶函数在对称区间上的定积分(1)、若f

16、(x)在 a,a上为奇函数，则aa f(x)(2)、若f(x)在 a,a上为偶函数，则aa f(x)f (x)dx注：此方法只适用于对称区间上的定积分。6、广义积分(1) 无穷积分7、旋转体体积a,b上的定积分。yy:vxVx(y)2f(x) dx2dy2(y)g2(x)dx2(y)dy(二八 直线与平面的相关考试内容、二元函数的极限定义：设函数z f (x, y)在点(xo,y。)某邻域有定义(但(Xo,y。)点可以除外)，如果当点(x,y)无论沿着任何途径趋向于(x。)时，z f (x, y)都无限接近于唯一确定的常数a，则称当点(x, y)趋向于(x。)时，z f (x, y)以a为极限

17、，记为、二元函数的连续性若 lim f (x, y)f(x),y。)，则称 z f (x, y)在点(x°,y。)连续。(x,y) (xo ,yo)注：z f (x, y)的不连续点叫函数的间断点，二元函数的间断点可能是一些离散点，也可能是一条或多条曲线。三、二元函数的偏导数四、偏导数求法由偏导数定义可看出，对哪个变量求偏导就只把哪个变量当成自变量，其它的变量都当成常数看待。五、全微分：dz dx dyx y六、二元函数的连续、偏导、可微之间的关系二元函数可微，则必连续，可偏导，但反之不一定成立。 若偏导存在且连续，则一定可微。函数z f (x, y)的偏导存在与否，与函数是否连续毫

18、无关系。七、二元复合函数求偏导设zf (u,v),u(x, y),v(x, y)，zz uz vzz uz v则xu xv xyu yv y注：有几个中间变量就处理几次，按照复合函数求导处理。八、隐函数求偏导方程F(x,y,z)。确定的隐函数为 zf (x, y)，则对等号两边同时对 x求导，遇到z的函数，把z当成中间变量。二重积分的概念、性质第八讲多元函数积分学知识点1、 f(x,y)dxdyDmoHd/.V f，几何意义：代表由 f (x, y)，d围成的曲顶柱体体积。2、性质：(1) kf (x, y)dxdy k f (x, y)dxdyDD(2) f (x,y) g(x, y) dx

19、dy= f (x, y)dxdy+ g(x, y)dxdyDDD(3)、dxdy D(4)D D1D2, f(x,y)dxdy= f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdyDDD2(5) 若 f (x, y) g(x,y)，则 f(x,y)dxdy g(x,y)dxdyDD(6) 若 m f (x, y) M ,则 mD f (x,y)dxdy MDD设f (x, y)在区域d上连续，则至少存在一点(，)D，使 f(x, y)dxdy f ( , )DD、计算(1) d： a x b, 1(x) y 2(x)(2) D: c y d, 1(y) x2(y),技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和 垂直线的方法确定另一个变量的范围(3)极坐标下： x rcos ,y rsin ,dxdy rdrd三、曲线积分1、第一型曲线积分的计算(1)若积分路径为 L: y(x),a x b，则b；2-Lf(x,y)ds= a f(x, (x) .1( (x) dx(2)若积分路径为 L :x(y),c y d,则dl f(x,y)ds= cf(y), y) 1 ( (y)2dyx(t),(3