七下实数辅导讲义终极版

1、第六章实数辅导讲义【知识要点】1、平方根（1） 定义：一般地，如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。即：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“.a ”（ a称为被开方数）。（2）平方根的性质： 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 0只有一个平方根，它就是 0本身； 负数没有平方根（3） 开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方（4） 算术平方根：正数a的正的平方根叫做 a的算术平方根，记作“ ,a ”。（5） 、a本身为非负数，即 柘> 0；有意义的条件是a> 0。(6)公式:(、a)2=a (a>0);2、立方根（1）定义：

2、一般地，如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。即：如果x3=a,把x叫做a的立方根。数a的立方根用符号需”表示，读作 三次根号a”（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根； 0的立方根是0;负数有一个负的立方根。（3） 开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。求一个数的立方根可以通过立方运算来求 3、平方根与立方根与区别：只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；4、.识记常用平方表：（自行完成）个且为 0.5、实数的分类（1）按实数的定义分类:整数自然数（0, 1, 2,

3、 3 ）负整数（1,2,3 ）有理数实数正分数（丄,分数（小数）2负分数（-,22 ）（有限小数、无限循环小数）3无理数正有理数 负有理数（无限不循环小数 ）（2）按实数的正负分类:正实数正有理数正整数正分数正无理数实数零（既不是正数也不是负数）负实数负有理数负整数负分数负无理数（3）实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是 一对应关系.（4）、绝对值 一个正数的绝对值是它本身， 一个负数的绝对值是它的相反数, 零的绝对值是零。一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。注意:Va2 a题型规律总结:0和1 ；立方根是其本身

4、的数是0和土 1。1、平方根是其本身的数是o；算术平方根是其本身的数是 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这 个立方根的符号与原数相同。3、 、.a 本身为非负数，有非负性，即卩4a > 0； Ta有意义的条件是a >0。4、公式：（ a ）2=a （a > 0）； 3 a = 3 a （a 取任何数）。5、区分（庙）2=a （a> 0）,与 先 a2 = a6、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为 0 （此性质应用很广，务必掌握）。7般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩

5、大（或缩小）倍，例如 25 5 2500 508 识记常用平方表：（自行完成）12=62=112=162=212=22=72=122=172=222=32=82=132=182=232=42=92=142=192=242=52=102=152=202=252=9易混淆的三个数（自行分析它们）：（1a2 （2） （ . a）2 （3） 3 a310、识记下列各式的值，结果保留4个有效数字:【典型例题】 题型一、平方根定义的运用 例1、一个正数的平方根为 3 a和2a 3，求这个数?变式1、已知2a 1和 a 2是m的平方根，求 m的值?变式2、已知某个数的平方根分别为a 3和2a 15，求a和这

6、个数?例2、( 1)下列各数是否有平方根，请说明理由(-3)2 0 2-0.01 2(2)下列说法对不对？为什么?4有一个平方根任何数都有平方根 例3、求下列各数的平方根：1(1)9(2)-4只有正数有平方根 若a>0, a有两个平方根，它们互为相反数(3)0.36詈变式3、.下列语句中，正确的是()A 一个实数的平方根有两个，它们互为相反数B.负数没有立方根C. 一个实数的立方根不是正数就是负数D .立方根是这个数本身的数共有三个变式4.下列说法正确的是(A . -2是(-2) 2的算术平方根C. 16的平方根是土 4题型三、化简求值)B . 3是-9的算术平方根D . 27的立方根是

7、土 3例 1、已知 0 x 3，化简：.(2x 1)2 |x 5变式1、若x 1 |x 1 0,化简：(1 x)2例2已知a,b,c实数在数轴上的对应点如图所示，化简.a2 a b c a (b c)2变式2、实数a在数轴上的位置如图所示，化简：a 1. (a 2)2 =1-2-101k2变式3如图所示，数轴上A、B两点分别表示实数1A.1Bi 、1-2-1 11, . 5，点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的实数为（）A. . 5 - 2 B. 2 、5 C.、5 - 3D.3 - .5II a1 +a 1例3、当a<0时，化简2a的结果是（）A 0B -1C1D ?例4、化简下列

8、各式：-1.4| n -3.1421【变式1】化简：题型四、利用非负数的性质求代数式三种常见的非负数：a2 0a 0Va 0(a 0)注意：（1）任何非负数的和仍是非负数；若几个非负数的和是 0,那么这几个非负数均为 0.例1、已知实数x，y满足.X2+（y+1） 2=0,则x-y等于【变式1】 已知a、b是有理数，且满足（a 2） 2+b 3=0,则ab的值为【变式2】已知那么a+b-c的值为【变式3】已知(x-6)2+|y+2z|=0，求(x-y)3-z3 的值。求被开方数中的未知数的值例 2 若 y= x 5+ 5 x +2017,则 x+y= 2变式1、若x 11 x (x y)，则x

9、 - y的值为()A1 B . 1 C. 2 D . 3变式2、若x、y都是实数，且y= 2x 33 2x 4，求xy的值 1 1 变式3、已知b 4、一3a 22.2 3a 2,求 的值？a b(x 3)3270(2x1)2. 25题型五、解方程(1) (x 2)240(3) 27x31250题型六、整数部分和小数部分的探讨例1、已知x是,10的整数部分，y是.10的小数部分，求 (y . 10) x 1的平方根。变式1设m是7 ,13的小数部分，n为7 .13的小数部分，求（m n）2°17的值?.变式2、已知.、10的整数部分是a,小数部分是b,求a2 b啲值.题型六 关于平方

10、根、立方根的求值例1、求下列各式的值（1）、81 ；（ 2）.16 ；（ 3） . 9 ；（ 4） . （4）2、25'解（1）因为 9281，所以土 . 81 =± 9.例2 （ 1） 64的立方根是 （2） 下列说法中： 3都是27的立方根，3 y3 y， 64的立方根是2,384。正确的有A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个题型八、探索找规律11 （盐城市）现规定一种新的运算“”：玄b=ab，如3探2=32=9，则一探3 =（）2100!98!的值为（）A. 50B .99!C. 9900D . 2!493.如果有理数a,b 满足1 ab 2 1 +1 1 b

11、 1 =0，1试求11+1-+的值ab(a 1)(b 1)(a2)(b2)(a 2016)(b2016)2 （资阳市）若“！”是一种数学运算符号，并且1! =1，2! =2X1=2，3! =3X2X1=6，4! = 4X3X2X1，贝4.观察思考下列计算过程:2 11 =121，二 121 =11 ；同样:2111 =12321，-12321 =111；由此猜想：12345678987654321 =题型八实数比较大小的方法1、方法一：差值比较法a与b的差，再根据当a-b> 0时，得到a> b。当a-b差值比较法的基本思路是设a, b为任意两个实数，先求出< 0时，得到a&l

12、t; b。当a-b= 0,得到a=b。例1、比较1- . 2与1- . 3的大小。3、方法二：商值比较法商值比较法的基本思路是设 a, b为任意两个正实数，先求出aaa与b得商。当v 1时，av b ；当> 1时，abba> b;当=1时，a=b。来比较a与b的大小。b例2、比较4与1的大小。8 84、方法三:平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a>0, b>0时，可由a2 > b2得到a>b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。例3、比较2 ,7与3 ,3的大小5、方法四：估算法估算法的基本是思路是设 a, b为任意两个正实数

13、，先估算出 较。a, b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比例4、比较壬与1的大小。8 8、填空题综合演练1、(-0.7)2的平方根是2、若 a2 =25, b =3,则a+b=3、已知一个正数的两个平方根分别是2a- 2和a-4,贝U a的值是4、5、m、n互为相反数，则 m v'56、 a2 a，则 a.7、3x 7有意义，则x的取值范围是16的平方根是土 4”用数学式子表示为大于-J2,小于伍的整数有个。10、一个正数x的两个平方根分别是 a+2和a-4，贝U a=9、,x=11、当 X时，x 3有意义。12、当 x时,2x 3有意义。13、当x时，-1 x有意义。.x 114

14、、当x时,式子 X 2有意义。15、右.4 a 1有意义，则a能取的最小整数为、选择题1.9的算术平方根是（)A.-3 B.3 C.± 3 D . 812.下列计算正确的是（)A.,4=± 2B .9781=9C. .366D.9293.卜列说法中止确的是（)A.9的平方根是3 B.16的算术平方根是土 2C.16的算术平方根是4 D.16的平方根是土 24.64的平方根是（)A.± 8 B . ± 4 C.± 2D . ± .25.4的平方的倒数的算术平方根是（）A.14 B .丄 C .1D .丄8446.下列结论正确的是（)A

15、（ 6）26 B （ ,3）2 9 C（ 16）216 D16 2 2625257 以下语句及写成式子正确的是（）A 7是49的算术平方根，即.497 B 、7是（7）2的平方根，即（7）2 7C 7是49的平方根，即 49 7D、7是49的平方根，即土 .4978下列语句中正确的是（）A 9的平方根是 3 B 、9的平方根是3C 9的算术平方根是3 D 、 9的算术平方根是 39.下列说法：（1）3是9的平方根；（2）9的平方根是3 ； （3）3是9的平方根；（4）9的平方根是3,其中正确的有（ ）A . 3 个 B . 2 个 C . 1 个 D .4个10 .下列语句中正确的是（）A、任意算术平方根是正数B、只有正数才有算术平