平面向量基本定理及坐标表示正式版

1、平面向量基本定理及坐标表示正式版要点梳理平面向量基本定理及坐标表示知识回础理晤戟林1. 平面向量基本定理如果ei, e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数入、p使a= Xiei+泌2.其中，不共线的向量ei, e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底_.2. 平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘及向量的模设 a= (xi, yi), b=(X2, y2)，则a + b= (x+ X2, y+ y2), a b = (xi x2, yi y2),a=(入 x 入 y, |a|=Txi+ y?.(2) 向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则

2、终点坐标即为向量的坐标 设 A(xi, yi), B(X2, y2)，则 AB=(X2 xi, y2 yi), |AB|= ； x2 xi 2 + y2 yi 2.3. 平面向量共线的坐标表示1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1) 平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(X )(2) 在厶ABC中，向量Ab , BC的夹角为/ ABC.( X )(3) 若a, b不共线，且 ?ia + pib= 沁+ p2b,贝U ?i= 厶 小=比.( V )(4) 平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.(V )xi yi(5) 若a =

3、(xi,yi),b=(X2,y2),贝Ua/ b的充要条件可表示成Q=訂(X )(6) 已知向量 a = (I sin 0, i), b = g, i + si nB),若 a / b,贝 V B 等于 45°.( X )2. 已知点A(6,2), B(1,14)，则与AB共线的单位向量为 .512 亠 512答案(-冠亦)或(応，后)解析因为点A(6,2) , B(1,14),所以 AB = ( 5,12), |AB|= 13,与AB共线的单位向量为 ±AB = ±3( 5,12)|AB|=±£，刼3. 已知A( 3,0), B(0,2),

4、O为坐标原点，点C在/ AOB内，|OC|= 恥，且/ AOC =才，设OC=OA + 0B(入 R)，贝U入的值为解析过C作CE丄x轴于点E(图略).n由/ AOC = 4,知 0E = CE= 2,所以 Oc = 0E + 0B= OA+OB,即 OE = OA,所以(一2,0) = X 3,0)，故入=2.34. 在？ABCD中，AC为一条对角线，AB= (2,4) , AC= (1,3)，则向量BD的坐标为 答案(3, 5)解析/ Ab+ bC = AC, Be=AC Ab = ( 1, 1), Bd=Ad Ab= Bc Ab= ( 3, 5).5.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,2

5、 1 ->A、B、C 三点满足 OC = OA + OB,则哼1|AB|13.解析/ OC=|oa+3OB, OC OA = 3oa+ 3OB= 1(OB OA), aC = 1AB, 竽|AB|题型分类深度剖析题型一平面向量基本定理的应用例1在厶ABC中，点P是AB上一点，且CP= |cA+ 3cb , Q是BC的中点，AQ与CP的交33点为M，又CM = tCP，试求t的值.思维启迪 根据题意可选择AB, AC为一组基底，将CM, CP线性表示出来，通过 CM = tCP键立关于t的方程组，从而求出 t的值. I 1 >解/ CP = §CA+ 3CB, 3CP =

6、2CA + CB,即 2CP 2CA = CB- CP, 2AP = PB ,即P为AB的一个三等分点（靠近点A），如图所示. A, M , Q三点共线,设CM = xCQ+ (1 x)CA = XCB+ (x 1)AC ,而Cb=Ab Ac, cm = |ab +(| 1)Ac.又 Cp=Ap Ac= 3ABAc ,3由已知CM = tCP可得,X f.X 八|AB+ (| 1)AC =AC),“唯一性”可建立方程组3，解得t = 3.x彳 +答案解析设 IBP|= y, |PN|= X,f ff 1 -fx f贝U AP = AN+ NP = ；ACBN , x+ yI- 1 一 t思维升

7、华平面向量基本定理表明，平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示，题中将同一向量用同一组基底的两种形式表示出来，因此根据表示的求解."W 如图，在 ABC中，AN = 3NC, P是BN上的一点，若3> I >=mAB + AC，则实数 m的值为AP = AB+BP = AB+晶，x + yxy+X x 得 AP = -/B+y一AC,x+ y 4 x+ y令贏=需得尸8x '代入得m=11.题型二平面向量的坐标运算例 2 已知 A(1，- 2), B(2,1), C(3,2), D( 2,3),(1) 求 AD + 2BD 3BC;(2) 设 CM = 3CA

8、, CN= 2BC，求 MN 及 M、N 点的坐标思维启迪(1)直接计算AD、BD、BC的坐标，然后运算；(2)根据向量的坐标相等列方程求点M , N的坐标.解(1) / A(1, 2), B(2,1), C(3,2), D( 2,3), AD = ( 2 1,3 + 2) = ( 3,5),BD = ( 2 2,3 1) = ( 4,2),BC = (3 2,2 1)= (1,1), AD + 2BD 3BC= ( 3,5) + 2( 4,2) 3(1,1)=(3 8 3,5 + 4 3) = ( 14,6).(2) / CM = 3CA , CN= 2BC , MN = CN CM = 2

9、BC 3cA= 2BC+ 3AC ,由 A、B、C、D 点坐标可得 AC = (3,2) (1 , 2) = (2,4). MN = 2(1,1) + 3(2,4) = (4,10).设 M(Xm , yM) , N(xn , yN).A-A-A-A-A-A又 CM = 3CA, OM OC = 3(OA OC),(xm , yM) (3,2) = 3(1 , 2) (3,2) = ( 6, 12). Xm = 3 , yM = 10 ,M ( 3, 10).又 CN = 2BC ,即 ON OC = 2BC ,(xn , yN) (3,2) = 2(1,1), Xn= 1 , yN= 0,

10、N(1,0).若已知有向线段两端点的思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则丄I .j 已知 A( 2,4), B(3, - 1), C( 3, - 4)设 AB= a, BC= b, CA = c,且CM = 3c,CN = 2b,(1)求 3a+ b 3c；求满足a = mb+ nc的实数m, n;(3) 求M、N的坐标及向量 MN的坐标解由已知得 a= (5, 5), b = ( 6, 3), c= (1,8).(1)3a+ b 3c = 3(5, 5) + ( 6, 3) 3(1,8)=(15

11、6 3, 15 3 24)= (6, 42).(2) / mb + nc= ( 6m+ n, 3m+ 8n),6m+ n= 5,m= 1 ,解得3m+ 8n = 5 ,n = 1.(3)设O为坐标原点,OM OC = 3c , OM = 3c+ OC = (3,24) + ( 3, 4)= (0,20). M(0,20).又/CN= On OC = 2b , ON = 2b+ OC= (12,6) + ( 3, 4)= (9,2), N(9,2). MN = (9 , 18).题型三向量共线的坐标表示例 3(1)已知梯形 ABCD,其中 AB / CD ,且 DC = 2AB ,三个顶点 A(

12、1,2), B(2,1) , C(4,2),则点D的坐标为.(2)已知向量 a = (3,1) , b= (1,3) , c= (k,7),若(a c) / b,则 k=.思维启迪(1)根据向量共线列式求相关点的坐标；(2)根据向量共线求参数.答案(1)(2,4)(2)5解析(1) 在梯形 ABCD 中，DC = 2AB , DC = 2AB.设点D的坐标为(x , y),则 DC = (4,2) (x , y)= (4 x,2 y),AB = (2,1) (1,2) = (1, 1),4 x= 22 y= 2(4 x,2 y) = 2(1, 1),即(4 x,2 y) = (2 , 2),，

13、解得X=2 ,故点D的坐标为(2,4).y= 4(2)依题意得 a c= (3,1) (k,7) = (3 k, 6),又( a c) / b,3 - kTk= 5.思维升华(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a = (Xi, yi), b = (X2, y2),则a/ b的充要条件是xiy2 x2yi= 0 ；若a / b(a丰0)，贝V b = ?a.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.1. 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，

14、其中坐标运算法则是运算的关键2. 平面向量共线的坐标表示(1)两向量平行的充要条件若a= (X1 ,y1) ,b=(x2 ,y2),贝U a / b的充要条件是a=2,这与X1y2 X2y1= 0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定失误与防范1. 要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况2若a= (xi, yi), b= (x2, y2),则a/ b的充要条件不能表示成 倉=£，因为x2, y2有可能等于0，所以应表示为 xiy2

15、X2yi = 0.1. (2021 广东改编)若向量 BA = (2,3), CA = (4,7)，则 BC =答案(一2, 4)解析由于 BA= (2,3), CA= (4,7),所以 BC = BA + AC= (2,3) + ( 4, 7)= ( 2, 4).2. 在厶ABC中，点P在BC上，且BP= 2PC，点Q是AC的中点，若PA= (4,3), PQ= (1,5),则 BC =.答案(6,21)解析 BC = 3PC= 3(2PQ PA)=6PQ 3PA= (6,30) (12,9)=(6,21).1 13. 若三点 A(2,2), B(a,0), C(0, b) (ab0)共线，

16、贝U " + b的值为.1答案2解析AB = (a 2, 2), AC = ( 2, b 2),依题意，有(a 2)(b 2) 4 = 0,111即 ab 2a 2b= 0,所以 1 +1 1a b 2' >4. 如图，在厶OAB中，P为线段AB上的一点，OP= xOA + yOB,且BP=2FA，贝y x=, y =.答案磊解析由题意知OP = OB+ BP，又BP=2pA,所以OP= OB + 3BA = OB+|(oA- OB)=3oA+1 t21tt t且/ AOC = 30 ° OC= QA + OB3OB,所以 X= 3, y = 3.5. 已知A

17、( 3,0), B(0,3), O为坐标原点，C在第二象限,则实数入的值为.答案1解析由题意知 OA = ( 3,0), Ob = (0, - 3)，则 Oc = ( 3 入 3),由/ AOC = 30°知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为 150° tan 150 =当 即一申二一弟，入=1.6. 已知向量 a= (1,2), b= (x,1), u = a+ 2b, v= 2a b,且 u / v,则实数 x 的值为.1答案2解析因为 a = (1,2), b = (x,1), u = a+ 2b, v = 2a b,所以 u = (1,2) + 2(x,1

18、) = (2x+ 1,4),v = 2(1,2) (x,1)= (2 x,3),又因为 u / v,所以 3(2x+ 1) 4(2 x)= 0,1即 10x= 5，解得 x= 5.一12tt7. (2021江苏)设D , E分别是 ABC的边AB , BC上的点，AD = 2AB , BE = 3BC若DE =入AB2 3+力AC(力，尼为实数)，贝U入+茏的值为.答案2解析如图，DE = DB + BE = 1AB + 2BC= 1AB+ 2(AC AB) = 123236ab+|ac，贝y 入=6， &=3,入 + 山 28. 在厶ABC中，内角A, B, C所对的边分别为 a,

19、b, c,若p= (a+ c, b), q = (b a, c a), 且p/ q,则角C=.答案60°解析因为 p /q,贝U (a + c)(c a) b(b a)= 0,所以 a2 + b2 c2= ab,a2 + b2 c22ab12,1结合余弦定理知，cosC = 2,又 0°C<180° , C = 60°二、解答题9. 已知 A(1,1)、B(3, - 1)、C(a, b).(1) 若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；(2) 若Ac= 2AB,求点C的坐标.解(1)由已知得 AB = (2, - 2), Ac = (a 1, b-

20、 1)./ a、b、c 三点共线， AB / Ac , 2(b-1) + 2(a- 1) = 0,即卩 a + b= 2.(2) / AC= 2AB, (a-1, b- 1) = 2(2 , - 2),a- 1 = 4b- 1 = - 4，解得a= 5 b=- 3点C的坐标为(5, - 3).10. 如图，G是厶OAB的重心，P, Q分别是边 OA、OB上的动点，且P, G , Q三点共线.(1) 设PG=泊Q,将OG用入 OP, OQ表示；(2) 设OP= xOA, OQ = yOB，证明：三+ f是定值.(1)解 Og=Op + Pg = OP+ Pq = Op+ xoQ - OP)=(1

21、-为OP + x5q.(2)证明一方面，由(1)，得OG = (1- ROP+ QQ = (1- RxOA + 入 OB；另一方面，/ G是厶OAB的重心， OG = |oM = 2 1(oA + OB) = 3oA+ 3而OA, OB不共线，由，得1- Xx= 31入尸3.解得1 1-x+ y=3(定值).备用题1. 设向量a, b满足|a|= 2寸5, b= (2,1)，且a与b的方向相反，则 a的坐标为.答案(一4， 2)解析T a与b方向相反，可设a = ?b( ?<0),二a= ?(2,1)= (2人加由旧|=寸5 X = 2Q5，解得 X= 2，故 a = ( 4, 2).2

22、. 设OA = (1, 2), OB = (a, 1), OC = ( b,0), a>0, b>0, O 为坐标原点，若 A、B、C 三点共线，则-+ 2的最小值是a b答案8解析据已知得AB / AC,又 Ab = (a1,1), AC(b 1,2),2(a 1) ( b 1) = 0,2a+ b= 1,12 2a + b 4a + 2ba+b=丁=4 + b + 4a> 4 + 2 山竺 a ba b当且仅当a=半，即a=4,b= 2时取等号,1 2 1+ 2的最小值是8.3. 已知 ABC中，点D在BC边上，且CD = 2DB, CD = rAB + sAC,贝V r

23、 + s的值是答案0解析/ Db = Ab Ad , cd = Ab DB AC = Ab1qd AC |cd= AB AC, CD = |aB |aC.又CD = rAB + sAC, r = 2, s= 1,3 3- r + s= 0.1>>4. 已知A(7,1)、B(1,4)，直线y = |ax与线段AB交于C,且AC= 2CB,则实数a =答案2解析设 C(x, y)，则AC= (x 7, y 1), CB= (1 x,4 y),t tx 7 = 2 1 xx = 3 AC = 2CB, ，解得y 1 = 2 4 yy= 31 C(3,3).又:C 在直线 y= 2ax 上

24、， 3 =苏 3, a = 2.5.设Ai, A2, A3, A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若AiA3= AA2 (入 R), AiA4=(jAiA21 i(吐 R), 且-+= 2，则称 A3, A4 调和分割 A1, A2.已知点 C(c,O), D(d,O)(c, d R)调和分割点A(0,0), B(1,0)，则下面说法正确的是 .(填序号) C可能是线段AB的中点； D可能是线段 AB的中点； C, D可能同时在线段 AB 上; C, D不可能同时在线段 AB的延长线上.答案解析依题意，若c, d调和分割点a, b,则有Ac = -b , Ad = 厢，且1+ -= 2.若c

25、是线 -3段AB的中点，则有0,不可能成立.因此不对，22-33同理不对.当c, d同时在线段 ab上时，由AC= -Ab, Ad = 厢知0< -1,0< <，此时1 +1>2 与已 -31 1 知条件1+丄=2矛盾，因此不对.-3.tttt1 1若C, D同时在线段 AB的延长线上，则AC= -B时，/>1 , AD = 3B时，3>1 ,此时-+-<2, -3与已知1+ 1= 2矛盾，故C, D不可能同时在线段 AB的延长线上. -3_ _26. 给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为 于如图所示, 点C在以O为圆心的圆弧上运动.若O

26、c = xOA + yOB，其中x,y R，求x+ y的最大值.解以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示，贝U A(1,0),1 _3B( 2， 2 )，、 2 n设 / AOC = a a 0,)，则 C(cos a, sin a),由 OC = xOA + yOB,cos1a= X- psina=3Ty所以 X= cos a+a,y=写sin a,n所以 x+ y= cos a+ 3sin a= 2sin( a+ §),又a 0 ,筍，所以当a=扌寸，X+ y取得最大值2.7. 已知 0(0,0), A(1,2), B(4,5)及OP= OA + tAB

27、，试问：(1) t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第三象限？(2) 四边形OABP能否成为平行四边形，若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由解/ OA= (1,2), AB = (3,3), OP = OA + tAB = (1 + 3t,2 + 3t).2若点P在x轴上，则2+ 3t= 0,解得t =-2；31若点P在y轴上，则1+ 3t= 0,解得t =-;1 + 3t<0,2若点P在第三象限，则解得t< 2.2+ 3t<0.3若四边形OABP为平行四边形，则OP= AB,1+ 3t= 3,2+ 3t= 3./该方程组无解，四边形OABP不能成为平行四边形231 平面

28、向量基本定理教案【教材】 人教版数学必修4 （A版）第105-106页【课时安排】1个课时【教学对象】高一学生【授课教师】华南师范大学数学科学学院陈晓妹【教材分析】1. 向量在数学中的地位向量是近代数学中重要的概念，它不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问 题的重要工具，因此具有很高的教育价值。2. 本节在教学中的地位平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量运算转化为坐标运算的重要基础；该“定理”以二维向量空间为依托，可以推广到n维向量空间，是今后引出空间向量用三维坐标表示的基础。因此本节知识在本章中起承上启下的作用。3. 本节在教学思维方面的培养价值平面向量基本定理蕴含

29、了转化的数学思想。它是用基本要素用基本要素（基底、元）表 达事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合），并把对事物的研究转化为对事物基 本要素研究的典型范例，这是人们认识事物的一种重要方法。【目标分析】知识与技能1. 理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表 示为一组基底的线性组合；2. 了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等） 过程与方法1. 通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上 的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念；2. 通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产

30、生、形成过程，体验定 理所蕴含的转化思想。情感态度价值观1. 培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程；2. 与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。【学情分析】有利因素1. 学生在前面已经掌握了向量的基本概念和基本运算（特别是向量加法平行四边形法则和向量共线的充要条件）都为学生学习本节内容提供了知识准备；2. 学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解，同时作图习惯已经养成，这 为我们学习向量分解提供了认知准备。不利因素1.学生对向量加减法及数乘运算的意义与作用认识不够，可能增加向量用基底表示时的难度;运算特征的感受，容易将平面向量基本定理的

31、作用仅仅理解为形式上的变换。3. 如果不加启发与引导，学生是不会从“基底”、“元”、“维数”这些角度去理解平面向量基本定理的深刻内涵，也难以认识这个定理在今后用向量方法解决问题中的重要作 用。【教学重点、难点、关键】重点：平面向量基本定理的理解与应用。难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程。 关键：分层次设计探究问题并让学生进行操作实践。【教学方法】引导探究、讨论交流。【教学手段】计算机、PPT几何画板。【教学过程设计】教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图游戏介绍：教师边作让学生通过自己冋桌两人为一组，单号的冋学在平面上任意画图边回顾动手做图，再对向量的加向量的求和和数两个向量吕1,也并

32、分别乘以一个数再相加（减）减及数乘学生动乘进行复习，加运算，平手作图强学生对旧知的（一）如：.犹1十0，请双号的同学做出所得的向行四边形并在教巩固。量。法则。师的引游戏导下复通过游戏开场，引入师生共同回顾游戏中所利用的旧知识教师提示习旧知引发学生学习的教师进一步抛出新的游戏题目：游戏其实识。兴趣；同时新的是物理学游戏题目，激发现在由双号的冋学在平面内任意画一个向量，中力的合了学生的好奇心成和分解和求知欲，顺利冋桌一起讨论能否用形如ie1+ e2的向问题。引入新课。量表示出来？探究一任意画出的向量是否一疋可以用一个”已知的非零向量表示？、（复习向量共线疋理）教帅发出学生动教师层层深入引（二）探究

33、二指令引导手操作导探索，从简单任意画出的向量是否一疋可以用两个”已知学生探索体会定到复杂，从特殊分层的不共线向量表示？新知。理的探到一般，让学生探究如图i,设口/ '是同一平面内两个不共线的向索过亲身经历定理的量，a是这一平发生、形成过程，面内的任一向并体会探索问题量。e1/的思路。/ ”e?卄图1请你将向量a分解成图中所给的两个方向 上的向量。小组对照，比较分解成的两个向量 的方向和长度是否一致？教师提问：学生画完图后，小组对照片刻， 比较分解成的两个向量的方向和长度是否一 致，即观察分解的结果是否唯一？（学生观察并讨论）探究结果分解结果一致，即该分解唯一。教师提问：既然a可以分解成

34、ei, e2两个 方向上的向量，那么 a是否可以用含有 ei，e2 的式子表示出来？（学生回答，教师板书）板书：=ei,=入 iei； = e2；=入 2e2； = a = + =入 iei+ 入 £2追问：一对数入i，入2是否唯一？（学生讨论并回答）教师点评：分解结果的唯一，决定了两个 分解向量的唯一，由共线向量定理，有且只有 一个实数 入i使得=入iei成立，同理，实数 入2 也唯一，即一组数 入i，入2唯一确定。探究三探究二中的向量a可否用其他两个不共线的向量表示出来？教师在黑板上另画出向量a和不共线的向量土请一位同学板演出新分解。探究结果：可以选取不冋一组不共线的向量表示向量

35、a。探究四请同学们把刚刚同桌双号同学任意画出的向量用两个不共线的向量表示出来。探究结果.平面内任向量都可以八解成两个（三）定理形成1探究结果：丨面内任向量都可以分解成两1给定方向上的向量。由分层探究的过程，教师引导学生尝试概括定理，得到平面向量的基本定理及相关概念。学生活动（思考并讨论）： （i）作为基底的这 两个向量是什么位置关系？ （共线还是不共线， 共线为什么不行）（2）表示平面上任一向量的基底有多少组？（无数组）（动画演示）（3 ）当基底确定后向量的表示是否唯一？启发学生 得出定 理，强调 定理中的 重点词 句，剖析 这其实是 把向量代 数化，为 研究问题 带来极大 方便。学生通 过分

36、层 探究的 过程归 纳总结 定理得出平面向量基 本定理的内容， 进一步强化理 解。（唯一）例已知ABCD的两条对角线相交于点 M，设AB =, AD =，试用基底、表示 MA、MB、MC 和 MD。（四）定理运用思考一：能否用、表示 AC、DB ?用怎样的法则运算？思考二：mA，mB与哪些向量有关？学生回答，并完成题目，归纳解题方法。分析：1、不共线，所以平面内的所有向量都可 以用它们作基底来表示。2此类题目的关键是找所求向量与基底 间的关系，常通过观察图形，运用向量加减法 的平行四边形法则和三角形法则来寻求。练习如图：质量为 m的物体静止的放在斜面上，斜 面与水平面的夹角为，求斜面与物体的摩

37、擦力Pw教师 引导 学生 讲解学生 思考 识别 解决 问题1.根据变式理 论，设计了不同 形式类型的典型 例题，强化定理 的应用。2.练习主要是要 让学生再一次感 受定理在物理学 上的应用，体会 数学是“有用的”（六）小结作业知识总结：1平面向量基本定理2基底、向量夹角、垂直的概念3定理的应用思想方法总结：本节课主要应用了数形结合及 转化的思想。平时学习中要注意数学思想方法 的运用。作业：1、课本第77页第3、4、5题，2、思考题：空间任一向量是否有类似的 结论吗？第7章平面向量的坐标表示*向凰俯应用代数证1理解向量的有关概念(1) 向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和数量的区别；(2

38、) 零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意方向;(3) 单位向量：给定一个非零向量 a，与a同向且长度为1的向量叫a的单位向量，a的单位向量是 a(4) 相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性；(5) 平行向量(也叫共线向量)：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作：/，规定零向量和任何向量平行；提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重！合，但两条直线平行不包含两条直线重合；i 平行向量无传递性！(因为有0) ；!；三点A、B、C共线ABAC共线；/(6)

39、相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量，a的相反向量是长度相等方向相反的向量a .2向量的表示方法(1) 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；(2) 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a , b , c等；(3) 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量i , j为基底，则平 面内的任一向量 a可表示为a x i y j，称 x, y为向量a的坐标，a (x,y)叫做向量a的坐标 表示，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同3实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下:(1

40、) a pa ；(2) 当0时，的方向与a的方向相同；当0时，的方向与a的方向相反；当 0时，零向量，注意：a 0.4. 平面向量的数量积：(1) 两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过0点作oA a，OB b，则/ AOB = 9(0 °叫0° )做向量与的夹角.当 9= 0°时，与 同向；当9= 180°时，与反向；如果与的夹角是 90°我们说与垂直，记作a b .(2) 两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为9,贝U数量a b cos叫做与的数量积(或内积)，记作a b，即a b = a b cos .规定零向量与任一向

41、量的数量积为0 .若a (X1, yi ), b (X2 , y2)，则 a b = X1X2 yiy2 .(3) 向量的数量积的几何意义：b cos叫做向量在方向上的投影(堤向量与的夹角).a b的几何意义是，数量 a b等于模a与b在a上的投影的积.(4) 向量数量积的性质：设与都是非零向量，是单位向量，是与的夹角.当a与b同向时，a b = a b ;当a与b反向时，a b = - a b |a b | ba b一0则 a b为钝角或者角a ba b(5) 向量数量积的运算律： - 【提醒】(1)若a b 0则 a b为锐角或者角若 :(2) | a b |=b可以用来证明all b.I

42、I(3) 非零向量，夹角的计算公式：cosIIIIk (4)| a b | a b . ab = a b c ； a b = a b = a b a b c = acbc5. 平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ,有且只有一对实数 i、 2，使a = ie2e2 ， ©、e2称为一组基底.6. 向量的运算：(1)几何运算：向量加法：利用 平行四边形法则”进行，但 平行四边形法则”只适用于不共线的向量，除此之外， 向量加法还可利用 三角形法则”：设AB a,BC b ,那么向量AC叫做a与b的和，即 a b AB BC AC ；&

43、quot; " " _ !- -F - -! _- F'! -f !"f - "1 H! - F- - ” >"! -” - » - - F- F «- - - - " _，> -提醒：平行四边形法则要求参与加法的两个向量的起点相同，三角形法则要求参与加！!i法的两个向量的首尾相接.可推广到AA2 AA3 . An iA AiA(据此，可根据需要在一个向量的两个端点之间任意插点)向量的减法：用 三角形法则”设AB a, ACb，那么a b AB AC CB由减向量的终点指向被减向量的终点.容易得

44、出：a ib I a b a ib,(2)坐标运算：设a (Xi,yJ,b区小)，则：向量的加减法运算：a b xiX2, yiy2实数与向量的积：ax-i, y-i若 A(Xi, yi),B(x2, y2)，则 AB线段的终点坐标减去起点坐标；X2Xi,y2y-i，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向平面向量数量积:a b = x1x2yy ；向量的模：| a | xy2, a|a|27. 向量的运算律:(1 )交换律:a)()a,(2 )结合律:(ab)c (ab)c a (bc)；(3 )分配律：8.向量平行(共线)的充要条件:(ab)(a b)(i)向量b与非零向量共线的充要条件是实

45、数入是唯一存在的,当a与b同向时，0 ;当与异向时,若 aXi, yi , bX2, y?，贝U a / /bx$2 yix? (a b)2(a b)2.9.向量垂直的充要条件：a b a b 0X1X2y2向量中一些常用的结论(1)(2)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用;a、a、a、b同向或有b反向或有b不共线aalHa ba b，特别地,a bH H,B X2, y2(这些和实数比较类似).X-|x2X3y1y2y33J3PG1PAPBPCG为ABC的重心，3特别地PAPBPC0P为ABC的重心；PAPBPBPCPCPA P为ABC的垂心；向量ABAC0所在直线过 AB

46、C的内心(是 BAC的角平在 ABC中,若(3),C x3, y3，则其重心的坐标为Xi，yiACAB分线所在直线)；云(4 )向量 PAPBPCOBOCO是ABC的外心;中三终点A、B、C共线存在实数使得PA PB PC 且7.1向量的坐标表示及其运算【例i】2,5 ,例题精讲已知G1,G2分别是 ABC和厶ACD的重心，是G1G2的中点，若A,B,C,D的坐标分别是5,7 ,10,2，求点的坐标.【例 2】已知点 0( 0, 0), A ( 1, 2), B (4, 5)及=+t,0,0求：(1) t为何值时，P在x轴上？ P在y轴上？ P在第二象限？(2)四边形OABP能否构成平行四边形

47、？若能，求出相应的 t值；若不能，请说明理由.1 已知 A(x,2)，B(5, y 2)，若 AB (4,6)，则 x, y 的值分别为.2已知向量 a (2x,7) , b (6,x4)，若 a b，则 x .3已知平行四边形 ABCD的顶点A( 1, 2)、B(3, 1)、C(5,6)，则顶点的坐标为 4若向量a (3,2), b (0, 1)，则向量2b a的坐标是5若 a (2,3) , b (4, 1 y)，且 a/b，则等于6若为 ABC的重心，则下列各向量中与AB共线的是( )A AB BC ACB AM MB BCC AM BM CMD AM AM AM AC7在矩形 ABCD

48、中，ZB J3, BC 1，则向量 AB AD AC的长度等于()A B 2 3C D &在 ABC中，、分别为边AB、BC、的中点，已知点坐标为(1,2)，点坐标为(3,5)，点坐标为(2,7), 则点坐标为9已知a (1,2), b (x,1)，当a 2b与2a b共线时，的值为 10 当m 时，向量a (2, m 1)与b (m 2,6)共线且方向相同；当 m 时，与共线且方向相反11.若三点 A(1,1) , B(2, 4), C(x,9)共线，则 x 12 设a ( 1,2), b ( 1,1) , c (3, 2)，用、作基底有 c pa qb，则 p , q 13 已知点

49、M(x, y)在向量OP (1,2)所在的直线上，则x, y所满足的条件是 14已知 R(4, 3)R( 2,6),(1)若点在线段RR2上，且RP- 2FR2；则点的坐标是；若点在线段RP2的延长线上 且RP 4PR2i则点的坐标是若点在线段P2R的延长线上,PP -|PPi则点的坐标是；若点在线段P2R的延长线上，PR 4|PP2,则点的坐标是.515.下列四个命题：若a b 0，则a 0或b 0 ；若e为单位向量，则a a e :a a a若a与b共线，b与c共线，则a与c共线其中错误命题的序号是 16已知 0(0,0)、A(1,2)、B(4,5)，且 OP OA tOB，则当时，点落在轴上.17已知a , b是两个非零向量，则“a , b不共线”是“a b a b ”的18.下列四个命题中是真命题的有 个.若a b与a b是共线向量，则与也是共线向量 若| a |b|a b |，则与是共线向量 若| a b | |a| |b |，则与是共线向量若| a | |b | a | b |，则与任何向量都共线19在 ABC中,设向量CA a,CB b，贝U ABC的面积S ABC =,ABC的周长C abc=.a-i,a2,.,an性相关.若已知匕：k?: ka =a11,1 ,a2