平面向量的解题技巧A

1、第二讲 平面向量的解题技巧金堂中学刘际成选编【命题趋向】由2012年高考题分析可知：1 .这部分内容高考中所占分数一般在10分左右.2 题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题.3 .考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主.【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以 与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主.透析高考试题，知命题热点为：1. 向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积.2 平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义.3 两非零向量平行、垂直的充要条件.4 图形平移、

2、线段的定比分点坐标公式.5由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几 何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、 夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等.6 禾U用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的 运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题.【例题解析】1. 向量的概念，向量的基本运算(1) 理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念(2) 掌握向量的加法和减法.(3) 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的

3、充要条件(4) 了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算(5) 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件D为BC边中点，且20A OB OC =0，那么()c. AO=3ODD. 2AO=OD(6) 掌握平面两点间的距离公式 . 例1已知0是厶ABC所在平面内一点,A. AO =0D B. AO =20D命题意图：本题考查 能够结合图形进行向量计算的能力例 2.在 YABCD 中，AB =a, AD =b, AN =3NC , M为 BC的中点，贝U MN =命题意图：本题主要考查向量的加法和

4、减法，以及实数与向量的积解：由AN =3NC得4AN =3AC=3(a b) , am =a -b，所以，MN24.(用ab表示)- -1 11(a 亠b) -(ab) a b.24例3. (2006年广东卷)CD =()(A)-BC 丄BA2(C) BCBA2如图1所示，D是厶ABC的边AB上的中点，则向量(B)BC-1bA2(D) BCBA2DC命题意图：本题主要考查向量的加法和减法运算能力例4.与向量a= '7 1 迄'2(A)代_315 5(C)空丁一3$=0,7 :的夹解相等，且模为1的向量是()4 3 诚丫 4 3)555 5(D)空_丄诚'I 3 '

5、;3丿2'2(B)2/2 1、"，3命题意图：本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题例5设向量a与b的夹角为日，且a=(3, 3)， 2b _a=(_1,1)，则cost =.命题意图：本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积，以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.例6.已知向量 ,1 j, b是不平行于x轴的单位向量，且a b =73，则b =()(A)佔1 )(B)1逅)(C)13、3 (D)(1,0)2丿<2 2丿#,4丿命题意图：本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积，以及方程的思想解题的能力例7.设平面向量aT、

6、a、匸的和訂詬+&3=0.如果向量bba、bj，满足b=2a，且a顺时针旋转30o 后与b同向，其中i =1,2,3，则()-fH.N.fa.a-faM.H(A)-b! b,' b3=0(B)b,b3=0Wb"-*1"-kK!Faai(c) b 也一鸟=0(D) $ +鸟加3 =0命题意图：本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念点评：巧妙解法巧在取 &=0，使问题简单化.本题也可通过画图，利用数形结合的方法来解决.2. 平面向量与三角函数，解析几何等问题结合(1)平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强

7、，因而综合能力较 强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是 运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大例8 .设函数 f(x)=a-b,其中向量 a=( m,cos2x), b=(1+sin2 x,1), x R且函数 y=f(x)的图象经过点(I)求实数m的值；(n)求函数f (x)的最小值及此时x的值的集合n例 2.设函数 f (x) = a、b .其中向量 a = (m,cosx), b = (1 sin x,1), x R,且f ( ) = 2. 2(i)求实

8、数 m的值；(n)求函数f (x)的最小值.例9已知 ABC的面积为3，且满足0 < ABAC < 6，设AB和AC的夹角为二.(I )求二的取值范围；(II )求函数 f(二)=2sin 2 i n, 3 cos2 v 的最大14丿例10.已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C (c,0)(1)若c=5，求sin / A的值；(2)若/ A为钝角，求c的取值范围；例11 .在 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,tan C = 3. 7 .- 5°)求 cOsC；( 2)若 CBCAS，且 a b“，求 c .例 12.设函

9、数彳0)=£,£，其中向量 a=(sinx,-cosx )b =(sinx,-3cosx)c - -cosx,sin x ,x 5R .(i)求函数f x的最大值和最小正周期；(n)将函数y=f X的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度 最小的d .命题意图：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识, 考查推理和运算能力.例 13.已知向量 a = (sin 0 , 1), b = (1 , cos 0 )，卡 B (I)若a丄b，求0 ;(D)求丨a + b丨的最大值.命题意图：本小题主要考查平面向量数

10、量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性 质等基本知识，考查推理和运算能力.例14如图，三定点A(2,1), B(0, _1),C(_2,1);三动点D、E、M满足 AD 二tAB,BE 二tBC, DM 二tDE ,t 三0,1.(I )求动直线DE斜率的变化范围；(II )求动点M的轨迹方程。命题意图：本小题主要考查平面向量的计算方法、三角公式、 三角函数的性质及图像和圆锥曲线方程的求法等基本知识, 考查推理和运算能力例15.已知抛物线 x2= 4y的焦点为F, A B是抛物线上的两动点，且 AF =入FB (入0) 过A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(I)证

11、明"Fm Kb为定值；()设厶ABM勺面积为S,写出S= f(入)的表达式，并求 S的最小值.命题意图：本小题主要考查平面向量的计算方法、和圆锥曲线方程，以及函数的导数的应用等基本知识,考查推理和运算能力.【专题训练与高考预测2】一、选择题1 已知 a =(2,3),b =(4,x),且a/b,则x的值为()88A. 6B.6C.D.332. 已知 ABC中,点 D在 BC边上，且 CD =2DB,cD =rAB+sAC,则 r + S的值是()24A.B.-C. 3D. 0333.把直线x_2y=0按向量a =(_1,-2)平移后，所得直线与圆x2 - y2 2x4y相5切，则实数

12、的值为(A )A. 39B. 13C. 21D. 39卜1>Tf-F-+k4. 给出下列命题： a b=0，贝U a=0或b=0. 若e为单位向量且 a/ e,则a=| a| e.a a a=| a| .若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.其中正确的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 35. 在以下关于向量的命题中，不正确的是()A. 若向量 a=(x, y)，向量 b=( y, x)( x、沪 0)，贝U a丄bB. 四边形 ABCD菱形的充要条件是 AB = dc，且I AB |=| AD |C. 点6是厶ABC的重心，贝U GA + GB+CG=OD. ABC中, AB和C

13、A的夹角等于180° A6. 若O为平行四边形 ABC啲中心，AB = 4 e1,= 6 e2,则3® 2e1等于()A. AOB.BOC.COD.DO7将函数y=x+2的图象按a= (6, 2)平移后，得到的新图象的解析式为()A. y=x+10B. y=x 6 C.y=x+6D.y=x108. 已知向量m=(a,b)，向量 ml n且| m|=| n|,则n的坐标为A. ( a, b)B.( a,b)C.( b, a)D.( b, a)9. 给出如下命题：命题(1)设e1、e2是平面内两个已知向量，则对于平面内任意向量a,都存在惟一的一对实数x、y,使a=xe1+ye2

14、成立；命题(2)若定义域为 R的函数f (x)恒满足丨f ( x) | = | f(x) | ,则f(x)或为奇函数，或为偶函数.则下述判断正确的是()A.命题(1) (2)均为假命题B.命题(1) (2)均为真命题C.命题(1)为真命题，命题(2)为假命题D.命题(1)为假命题，命题(2)为真命题10 .若|a+b|=|a-b| ，则向量a与b的关系是()TTA. a= 0 或 b= 0B.|a|=|b| C. a?b=0 D. 以上都不对11 . O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满足OP =OA扎0 七9 贝U P 的轨迹一定通过 ABC的()'|AB

15、| |AC ''A.外心B.内心C.重心D.垂心12. 若a =2, bn2,0,3, cn0,2,2，则 a b c =()A. 4B.15C. 7D. 3二、填空题1 .已知| AB| =3,1 AC |=4,AB与AC的夹角为60°,则ab与ab ac的夹角余弦为 .TTT T2. 已知 a =( 4,2,x ), b = (2,1,3), 且 a 丄 b，则 x =.3. 向量(a 3b) _ 7a _ 5b , a _ 4b _ 7a _ 2b，则 a和 b所夹角是4. 已知 A(1,0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1),点 D 满足

16、条件：DBL AC, DC丄 AB, AD=BC, 则 D的坐标为.5 . 设a,b是直线，是平面，a_，b_1 ,向量a1在a上，向量b|在b上，a“ =1,1,1, b -3,4,0，则:所成二面角中较小的一个的大小为 .三、解答题1. ABC中，三个内角分别是 A、B、C,向量 an-osCcosB),当tanAtanB2 2 21 '时，求| a |.92. 在平行四边形 ABCD中，A (1 , 1), AB = (6,0)，点M是线段AB的中点，线段 CM与 BD交于点P.(1) 若 AD =(3,5),求点C的坐标；(2) 当|AB|=|AD|时，求点P的轨迹.3. 平面内三个力F1,F2,F3作用于同丄点O且处于平衡状态，已知F1,F2的大小分别为1kg ,62 kg, F1、F2的夹角是45°,求F3的大小及F3与F1夹角的大小.24. 已知a, b都是非零向量，且 a+3b与7a 5b垂直，a 4b与7a 2b垂直，求a与b的