复数项级数和复数序列

1、第四章级数第一节级数和序列的基本性质1、复数项级数和复数序列：复数序列就是：z =4 ibi,Z2=a2 ib2,.,Zn=an ibn,.在这里，Zn 是复数，ReZn =A,lm Zn =bn, 般简单记为Zn。按照| Zn |是有界或无界序列, 我们也称Zn为有界或无界序列。设Z0是一个复常数。如果任给；0，可以找到一个正数N,使得当n>N时|Zn - Zo 卜：；，那么我们说 zn收敛或有极限Zo，或者说 Zn是收敛序列，并 且收敛于Zo，记作n1叭步Z0。如果序列 Zn 不收敛，则称 Zn 发散，或者说它是发散序列。令z0 = a ib，其中a和b是实数。由不等式| a | 及

2、 10b 卜 | 召Zo |-1 a.a |10b |容易看出，im _Zn =z°等价于下列两极限式：因此，有下面的注解：注解1、序列Zp收敛（于Z0）的必要与充分条件是：序列an 收敛（于a）以及序列 bn 收敛（于b）。注解2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列 Zn收 敛于Zo，或者说有极限点Zo的定义用几何语言可以叙述为：任给Zo的一个邻域，相应地可以找到一个正整数 N,使得当n>N时，Zn在 这个邻域内。注解3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛 复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差 积、商。复数项级数就是乙Z2Z

3、n或记为a Zn，或V Zn，其中Zn是复数。定义其部分和序列为：n=1n =乙Z2 Zn如果序列卞n收敛，那么我们说级数Zn收敛；如果二n的极限是二，那么说zn的和是二，或者说zn收敛于二，记作Zn 二n=1如果序列二n发散，那么我们说级数召发散。注解1、对于一个复数序列 Zn，我们可以作一个复数项级数如下Zi（Z2Zi）（Z3-Z2）（Zn-Zn-1）,则序列召的敛散性和此级数的敛散性相同。注解2、级数zn收敛于二的；一 N定义可以叙述为： 八> 0N> 0,使得当n> N时,有nz. - T ，k=1注解3、如果级数azn收敛，那么lim 厶二 lim ( nnnn 1

4、p 0,注解4、令an 二 Rezan = Rezn,bn = lmzn,a 二 Re，b 二 Im二，我们有、a.bkk = 1k = 1因此，级数a zn收敛（于二）的必要与充分条件是：级数an收敛（于a）以及级数V bn收敛（于b）。注解5、关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，例如下面的柯西收敛原理：柯西收敛原理（复数项级数）：级数a Zn收敛必要与充分条件是： 任给；0，可以找到一个正整数N,使得当n>N , p=1,2,3,时,1召 1Zn, .zp|柯西收敛原理（复数序列）：序列 zn收敛必要与充分条件是：任 给；0，可以找到一个正整数 N,使得当m及n>N ,I Zn為 |对于复数项级数V zn，我们也引入绝对收敛的概念：如果级数|ZiI Izd |ZnI .收敛，我们称级数7 zn绝对收敛。注解1、级数zn绝对收敛必要与充分条件是：级数 7 an以及 bn绝对收敛：事实上，有nnnn '& 及 |bk|Al 八 a： b：kWkWk=1k=1njakjbkLkWk=1注解2、若级数aZn绝对收敛，则a Zn 一定收敛。2n例、当 1时，1绝对收敛;并且有1- a 屮11 + a + o(2 +o(n =1 1,lim n 1 = 01n >我们有，当 1时，+ CL如果复数项级数v zn'及zn