圆锥曲线知识点总结

1、双曲线知识点双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点Fi与F2的距离之差的绝对值等于定长（V |FiF2| ）的点的轨迹 （|尸引|PF2| 2a FiFJ （ a为常数）这两个定点叫双曲线的焦点.要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2） 2av | FiF2|.当|MF| |MF|=2a时，曲线仅表示焦点F?所对应的一支；当|MF| |MF|= 2a时，曲线仅表示焦点Fi所对应的一支；当2a=| F1F2I时，轨迹是一直线上以Fi、F2为端点向外的两条射线；当2a>| FiF2|时，动点轨迹不存在.<3 2)2. 第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线I的距离之比是常数

2、e（e> 1）时，这个动点 的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线I叫做双曲线的准线双曲线的标准方程:2 2話冷1(a>0, b>°)(焦点在X轴上)；2 y 2 ab21 (a>0, b>0)(焦点在y轴上);1.如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y2.轴上.a不一定大于b.2 2与双曲线冷 為1共焦点的双曲线系方程是a ba23.2双曲线方程也可设为：-m2y1(m n 0)n2例题：已知双曲线C和椭圆162台1有相同的焦点,且过P(3, 4)点，求双曲线C的轨迹方程。点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位

3、置关系:1点与双曲线：点Pgy。)在双曲线2 x 22y .21(a0,b0)的内部2x022y0 1.2abab2222点Pgy。)在双曲线x2y_.21(a0,b0)的外部X。2y0 1.2abab2222点P( x0, y°)在双曲线x2y_.21(a0,b0)上智直=1= 2=1abab2直线与双曲线：(代数法)设直线l: y kx m，双曲线2x22y1(a0,b0)联立解得ab 2 2 2 2 24a b (m b a k )(b2 a2k2)x22 a2mkxa2m2a2b201) m 0时，-k -直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一个点)；a ak -，kb，或k

4、不存在时直线与双曲线没有交点；aa2) m 0 时，k存在时，若b2 a2k20Kk -,直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；a22. 2 2 2 2 2, 2 2 22.2.若 b a k 0，( 2a mk) 4(b a k )( a m a b )0时，m2 b2 a2k20，直线与双曲线相交于两点；0时，m2 b2 a2k2 0 ,直线与双曲线相离，没有交点；2 .20时m2 b2 a2k2 0， k2 m2直线与双曲线有一个交点；a若k不存在，a m a时，直线与双曲线没有交点； m a或m a直线与双曲线相交于两点；3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：2 2设直线 1

5、 ： y kx m 过定点 P(x0, y0)，双曲线一21(a 0,b 0)a b1).当点P(x°,y°)在双曲线内部时：-k -，直线与双曲线两支各有一个交点；a ak -，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；ak -或k-或k不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；aa2).当点P(x0,y0)在双曲线上时：k -或k，直线与双曲线只交于点P(x0,y°)；aay。-k -直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一个点)；a ak舟0 ( y0 0 )或k厂0( y0 0 )或k或k不存在,ay。a a y。a直线与双曲线在一支上有两个交点；当y 0

6、时，Kk 一或k不存在，直线与双曲线只交于点 P(X0,y°)；ak -或k-时直线与双曲线的一支有两个交点；aab k -直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一个点)；a a3) .当点P(X0,y。)在双曲线外部时：当P 0,0时，-k -，直线与双曲线两支各有一个交点；a ak -或k b或k不存在，直线与双曲线没有交点；a a当点m 0时，k2b时，过点P(X0, y°)的直线与双曲线相切k b时，直线与双曲线只交于一点；a几何法：直线与渐近线的位置关系2例:过点P(0,3)的直线I和双曲线C : x2 1，仅有一个公共点，求直线I的方4四、程。双曲线与渐近线的关系

7、:1.若双曲线方程为2.3.2 ab2 X2y2 ab22yx22 ab22y2 X2 ab2ybX a2 X2y2 ab2渐近线方程:0若双曲线方程为1渐近线方程:x若渐近线方程为a双曲线可设为2 x2y0y1(a0,b0)(a>0, b>0)0.24. 若双曲线与笃a2 y b21有公共渐近线五、1.2.3.六、则双曲线的方程可设为上)双曲线与切线方程:2 X2 a2 y b2(0 ,焦点在X轴上,0，焦点在y轴27 1(a 0, b 0)上一点P(x0, y0)处的切线方程是0_bay0y 1孑1.2 2过双曲线 笃 气1(a 0,b 0)外一点P(x°,y

8、6;)所引两条切线的切点弦方程是a bX0X2aycy 1 b2 1.X2双曲线孑b吿1(a 0,b 0)与直线Ax By C 0相切的条件是A2a2 B2b2 c2.双曲线的性质:标准方程(焦点在x轴)标准方程(焦点在y轴)双曲线定义范围对称轴对称中心焦占坐八 、八、一I-标顶点坐 标离心率准线方 程顶点到 准线的 距离2 y2 ab21(a0,b0)第一定义：平面内与两个定点 Fi, F2的距离的差的绝对值是常数(小于 点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。M呼| |MF2| 2a 2a |吋2|1XF2/XkFi X第一疋义：平面内与一个疋点 动点的轨迹是双曲

9、线。定点F 叫 e (e 1)叫做双曲线的离心率。f和一条定直线I的距离的比是常数e，当e 1时， H做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数PyP IKJF2X a， y Ry a， x Rx轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b原点 0(0,0)£( c,0) F2(c,0)斤(0, c)F2(0,c)焦点在实轴上，c Ja2 b2 ;焦距：|FiF 2c(a,0)( a,0)(0, a,) (0，a)e C(e 1)，c22 b2，e越大则双曲线开口的开阔度越大a2 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：丝C顶点A ( A )到准线li ( I2 )的距离为a弦长公

10、式:若直线AB. (xi X2)2 (yi y2)2AB坐标,若yi,y2分别为A B的纵则.k2_t 2 顶点A ( A2 )到准线12 ( li)的距离为L ac焦占至U 八、八、亠J准线的 距离22焦点Fi( F2)到准线ii( 12)的距离为c丄c c2焦点Fi ( F2)到准线l2 ( li )的距离为匕cc渐近线方程b (虚) y -x () a实b(虚)x -y (=) a实共渐近 线的双 曲线系 方程2 2k (k 0)ab2 2T 2k ( k 0)ab直线和 双曲线 的位置2 2双曲线笃与i与直线y kx b的位置关系：ab22x y i利用a2 b2'转化为一元二

11、次方程用判别式确定。y kx b二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相父弦 AB的弦长 |AB| Ji k2J(Xi x2)2 4xix2通径：AB| y2 yi|过双曲 线上一 点的切 线弩呼i或利用导数abay ：2x i或利用导数七、y kxb与圆锥曲线相交于两点A、B,且Xi,X2分别为A、B的横坐标，则2b 2通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A B两点，则弦长|AB|丝。a若弦AB所在直线方程设为x ky b，则AB1k2|y(y2。特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解,2 2例：直线y x 1与双曲线1相交于A, B两点

12、，贝U AB =23八、焦半径公式：2 2双曲线 笃 笃 1 (a>0, b>0)上有一动点M(x0,y0)a b当 M(xo,y。)在左支上时MFj exo a,|MF2| exo a当 M(xo,y。)在右支上时 | MF! | exo a, IMF2I exo a注：焦半径公式是关于X。的一次函数，具有单调性，当 M(Xo,y。)在左支端点时IMFj c a ,IMF2I c a，当 M(xo,y。)在左支端点时 | MF! | c a , | MF2 | c a九、等轴双曲线:2x2 a贝U:2y21 (a>0, b>0)当a b时称双曲线为等轴双曲线;b21.

13、 a b ；2. 离心率e 2 ；3. 两渐近线互相垂直，分别为y= x ；4. 等轴双曲线的方程x2 y2，0 ；5. 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。 十、共轭双曲线：1. 定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共 轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线.2. 方程：3. 性质：共轭双曲线有共同的渐近线；共轭双曲线的四个焦点共圆.2 2x - y_TT -2a b它们的离心率的倒数的平方和等于1。1 (a>0;b>0)的焦点为F1与F2，且p为曲线上任意一点,贝U PF1F2的面积Sb2cot焦点三角形面积公式：S f,pf

14、2 b2 cot ,(F1PF2)1 2 2高二数学椭圆知识点1、 椭圆的第一定义：平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(PFj |pfJ 2a F1F2),这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭 圆的焦距.注意：若(PF1PF2F1F2)，则动点P的轨迹为线段F1F2 ；若(PF1PF2F1F2 )，则动点P的轨迹无图形.2、椭圆的标准方程2 21).当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：与 1 (a b 0)，其中c2 a2 b2 ；a b2）当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程:2 y 2 a22 23、椭圆： 笃 与 1 （a b 0）的简单几何性

15、质a b2 2（1）对称性：对于椭圆标准方程 冷爲 1 （a b 0）:是以x轴、y轴a b为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对 称中心称为椭圆的中心。（2） 范围：椭圆上所有的点都位于直线 x a和yb所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x| a，|y| b。A1 ( a, °)， A2 (a,0)，(3)顶点:2 2x ya2 b2椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆1 （a b 0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为B1（0, b），B2（0,b）。线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，| AA2 | 2a,|

16、B1B2 | 2b。 a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。2c c（4）离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e。因为2a a（a c 0），所以e的取值范围是（0 e 1）。e越接近1，则c就越接近a，从而b . a2 c2越小， 因此椭圆越扁；反之，e越接近于0, c就越接近0,从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a b时，c 0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2 y2 a。2 2注意： 椭圆笃 与 1的图像中线段的几何特征（如下图）：a bb21(a b 0)，其中 c2 a2 b2 ；(PFj pF?2a)歼丨PF? |PM J |PM

17、2 I '2a2(PM1 I PM 2 I )；4、椭圆的令一个定义：至憔点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有PFiPF2PMi5:椭圆PM 222x y2 T2a by2a标准方程x2-y 1 (a b 0)的区别和联系b22 2笃爲1 (a b 0)a b22yx2,2ab图形(a b 0)焦占八 '、八、R( c,0), F2(c,0)Fg c) , F2(0,c)焦距F1F22c1 F1F22c范围丨x丨a，ybx b, | y a对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(a,0) , (0, b)(0, a), ( b,0)轴长长轴长=2a，短轴长

18、=2b离心率ce -(0 e 1) a准线方程2axc2 a yc焦半径PF1 a exg,PF2a ex0PF1a eyo, PF2 a ey°性质抛物线知识点I上）。定点F叫做抛物线的焦点，定直线 I 2、方程、图形、性质标准方y2 2PX程（P 0）1、掌握的定义：平面内与一定点F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线叫做抛物线的准线y22pxx22pyx22py(P0)(P0)(P0)统一方程焦占坐八 、八、L_-标p(£,0)2(-,0)2p(0=)2(0,-：2准线方pppp程x2x2y iy 2范围x 0x 0y 0y 0对称性x轴x轴

19、y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e 1e 1e 1e 1焦半径是()A.(2,2渥),(2,/2)B. (1,2),(1, - 2)C.(1, 2)D.(2,2J2)抛物线曲线几何意义11、动点P到点F(2,0)的距离与它到直线 x 2 0的距离相等，则P的轨迹方程为18、已知圆的方程为x24，若抛物线过点 A( 1, 0) , B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程为()2 2A. L Z 1(y340) B.x2x21(y0)C 32 21(x0) D.4420、在直角坐标系中，到点A.直线4(1 , 1)和直线x+2y=3距离相等的点的轨迹是(B

20、.抛物线C.圆y21(x0)3)D.双曲线13、以抛物线y2 4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 ()2 2A. x +y +2x=0 B.2 2x +y +x=0C.x2+y2-x=0 D.2 2x +y -2x=0114、点 P 到点 A( ,0)2,B(a,2)及到直线x1-的距离都相等，2如果这样的点恰好只有一个，那么1值是()A.-B.-C . 1 或-1 1D.或一222 22 217、以抛物线y2 8x上的点M与定点A(6,0)为端点的线段 MA勺中点为P,求P点的轨迹方程.焦半径24、 抛物线y2 2x上的两点A、B到焦点的距离之和是 5，则线段AB中点到y轴的距离是

21、。225、 已知过抛物线y 4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，AF 2 ,则BF .26、 设抛物线y2 8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A. 4B. 6C. 8D.1227、 若抛物线y2 x上的点P到直线x 1的距离为2,则点P到该抛物线焦点的距离为 。30、 从抛物线y2 4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M且|PM|=5，设抛物线的焦点为卩，则厶MPF的面积为() A . 5 B. 10 C. 20D. . 1531、抛物线x2 4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为()A.2B.3C.4D. 535、已知抛物线y2=4x,过点F

22、(4,0)的直线与抛物线相交于A(X1,y 1),B(x 2,y 2)两点，贝U y/+y22的最小值是.2 37、过抛物线y =4x的焦点作直线交抛物线于A(X1,y 1),B(x 2,y 2),如果X1+X2=6,那么|AB|=()A.8B.10C.6D.439、已知抛物线C : y28x的焦点为F ,准线与x轴的交点为K,点A在C上且AKJ2|AF，则AFK的面积为()过焦点弦(A) 4(B) 8(C) 16(D) 3245、过抛物线y 2 x的焦点作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于3,则这样的直46、47、50、()A.有且只有一条 B过抛物线y ax2(a 0)的

23、焦点mn 咏十则等于m n设抛物线a342过抛物线y则此抛物线方程为51、过抛物线y2.有且只有两条有无穷多条D)A.F作一直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m、1B.2a丄C.4a2aD.-42x与过其焦点的直线交于A, B两点,uuu uuuOA?OB的值(2px(p)A.c30)的焦点F且倾斜角为60°的直线2 2 2y 3xb. y 6x c . y交抛物线于A、B两点，若 |AF |3 ,y2 2x2px (p 0)的焦点F作直线l ,交抛物线于A,B两点，交其准线于C 点.若uuu uuuCB 3BF ,则直线I的斜率为52、已知以F为焦点的抛物线y2uur4x上的两点A、B满足AFuju3FB ,则弦AB的中点到准线的距离为最值问题54、已知抛物线y24x,焦点为F, A(2,2),P为抛物线上的点，则PA PF的最小值为 25