向量基础知识及应用

1、向 量 基 础 知 识 及基本知识：1. 向量加法的定义及向量加法法则（三角形法则、平行四边形法则）2. 向量减法的定义及向量减法法则（三角形法则、平行四边形法则）3. 实数与向量的积入a .向量共线的充要条件：向量b与非零向量a共线的充要条件 是有且只有一个实数入，使得b =入a 。4. 向量a和b的数量积：a b =| a | | b |cos ，其中 为a和b的夹角。向量b在a上的投影：| b |cos，其中为a和b的夹角1 P1P2 |= (X2 xi)2( y2yi)a b =05.向量的坐标表示：0A xi yj x, y若向量a x, y ,则丨a | x2 y2 ；X2 Xi,

2、 y2 yi 若 P1 ( xi, yi)、R ( X2,y2)，贝V ppa bXiX2, yiy2r-abXiX2, yi yaXi,yia? bXi X2yiy-I-&Fa/bXiy2 X2yi0abxiX2+ yi y2=ocos =XiX2yiy2(为向量的夹角）/ 22 厂22Xiyi,X 2y2右 a = ( Xi, yi)6.向量的坐标运算及重要结论:b = ( X2, y2),则7点P分有向线段pP2所成的比的ppPF2，或PiPPP2P内分线段PiP2时,0; P外分线段RP2时,0.8.定比分点坐标公式:Xi X2 xiyiy2i ，中点坐标公式:x-ix2X2y

3、iy29.三角形重心公式及推导（见课本例2）:三角形重心公式：（Xi X2 X3 yi y2 y3）3'310.图形平移：设F是坐标平面内的一个图形， 将F上所有的点按照同一方向移动同样长度（即按向量a平移），得到图形F'，我们把这一过程叫做图形的平移。平移公式:x' xhy' ykx x' h y y' k平移向量a = PP'=（h，k）应用：1.禾U用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题例1已知向量OR,OB,OR满足条件OROP2 OF30，OPi1，求OF2证：PBR是正三角形 解：令o为坐标原点，可设Pi

4、 cos i ,sin,R cos 2,sin 2,P3 cos3,sin由 OP OP，OR，即cos 1,s in 1cos 2,sin 2cos 3sincos 1 cos 2sin 1 sin 2cos 3sin 3两式平方和为12cos 1cos 1由此可知为1200，即OP与OP2的夹角为1200,1200, Op?与O百的夹角为1200，这说明,P2,P5三点均匀分部在一个单位圆上，所以RF2F3为等腰三角形例2求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为轴建立直角坐标系，设 A 2a,0 , B 0,2a，贝U D同理可得OR与O

5、R的夹角为x轴、y a,0 ,C 0, a从而可求:AC2a, a , BD a, 2a , cosAC BDAC BD4a22.禾U用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题4arccos 一5例3已知 ABC , AD为中线，求证 AD2证明：以B为坐标原点,D c,0，则 AD2以BC所在的直线为2a 0 b2的最小正角2a, a a, 2ax 5a 5a2BC21 AB22x轴建立如图2直角坐标系，设Aa,b,Cc,0 ,2c22ac a b ,4AC2F 2ABF 2ACb2b222,2Ca b ac42从而ADABI AC 2壬,AD22-AB2 AC222BC3.利用向量的坐标运算

6、，用已知向量表示未知向量例4已知点0是 ABC内的一点， AOB 150°, BOC 90°, 设OA a,0B b,0C C,且 a 2, b 1,C3试用 a,和b表示C 点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离解：以O为原点,由 OA=2 AOx 设OA5,OC OB所在的直线为x轴和y轴建立如图3所示的坐标系.120°，所以 A2cos120°,2sin 120°，即A -1, ,3，易求 B0,-1，C 3,0，-131OB2°C，即-1, 31 0,-12 3,0，a、3b lc.解：以O为坐标原点，以 OA

7、所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则A1,0 ,由 COA 300，所以 C5cos300,5sin 30。，即C 口,5 ,2 2OCoaSb.4.利用向量的数量积解决两直线垂直冋题例6 求证：三角形的三条高交于同一点分析如图，已知 ABC中，由AD BC, BE AC ,AD BE H ,要证明CH AB,利用向量法证明CH AB，只要证得CH AB 0即可；证明中，要充分利用好AH BC 0 , BH CAAD BC, H 在 AD 上，AH(CH CA)BC0 ,即 CH BCCABC0又 BH AC, BHCH CB,BHAC0 即（CHCB) ACCH ACCBAC0-得

8、：CHBCCH AC0,即CHBC AC00这两个条件证明AH BC 0 而从而 CH BA 0 , CH AB , CH AB.5.利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离,CH CA ,例7 求平面内两点 A(x1,y1), B(x2,y2)间的距离公式分析已知点A(xi，yj, B(x2，y2)求代B两点间的距离|AB|,这时，我们就可以构造出向量 AB，那么 AB (x2 x1,y2 y1),而 | AB | | AB |，根据向量模的公式得|AB| .(X2 X1)2 卜2 yi)2，从而求得平面内两点间的距离公式 为 |AB| .(X2 Xi)2

9、(y2 yi)2 .解：设点 A(x1, y1), B(x2, y2) ， AB (x2 x1, y2 y1) | AB |. &2一Xi)2(丫2一yj2 ,而 | AB | | AB|点A与点B之间的距离为：|AB| ; (x2 x1)2 (y2 y1)26.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题 例 8 证明：cos( ) cos cos sin sin则 向 量分析如图，在单位圆上任取两点 A, B,以Ox为始 边，OA,OB为终边的角分别为 ，设出A,B两点的坐 标，即得到 OA,OB的坐标，贝U为向量OA,OB的夹角；利用向量的夹角公式，即可得证 证明：在单位圆

10、 O上任取两点 代B,以Ox为始边， 以OA,OB为终边的角分别为，则A点坐标为OA(cos ,sin ), OB(cos,sin)，它们的夹角为，|OA|OB| 1, OA OBcoscossin sin,由向量夹角公式得、 OA OBcos()coscossin sin,从而得证|OA|OB|注：用同样的方法可证明cos()cos cossin sin(cos ,sin ),B 点 坐 标为 (cos , sin )7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题例9证明柯西不等式(为22 2 2y1 ) (X2y2 ) (X1X2y“2)2证明：令a(X1, yjb(X2, y?)(1)当a 0或b0 时，a b X1X2 y20，结论显然成立;(2)当a 0且b0时，令为a,b的夹角，则0,a bX1X2 yy |a |b | cos .又 |cos | 1|a b| |a|b|(当且仅当a / b时等号成立)x1y