二次函数图象中的对称性

1、二次函数图象中的对称性第一页，共14页。此函数的对称轴为直线此函数的对称轴为直线_（用（用a a、b b表示）表示）若函数图象与若函数图象与X X轴相交于点轴相交于点A A（1 1，0 0），）， B B（ 5 5，0 0），则对称轴可表示为直线），则对称轴可表示为直线 _；若函数图象与若函数图象与X X轴相交于点轴相交于点A A（x x1 1，0 0），）， B B（ x x2 2，0 0），则对称轴可表示为直线），则对称轴可表示为直线_；抛物线上还存在这样的一对点吗？抛物线上还存在这样的一对点吗？若点（若点（x1， n），（），（ x2 ， n）在抛物线上，则抛物线的对称轴可表）在抛物线上

2、，则抛物线的对称轴可表示为示为_ 若二次函数若二次函数y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c为常数且为常数且a0a0) )的图象如下的图象如下：CD点点A A、B B 关于关于_ _ 对称；对称；xyA AB B 温故而知新温故而知新 第二页，共14页。设设A(x1，0），），B (x2，0）是抛物线与）是抛物线与x轴的两个交点，则轴的两个交点，则抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线结论：结论：221xxx设设A(x1，ya），），B (x2，yb）是抛物线上的两点，且）是抛物线上的两点，且ya=yb，则，则抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线221xxx推广：推

3、广：第三页，共14页。xy-41234-2-1-31324-2-1-30-4抛物线抛物线y=a(x+1)y=a(x+1)2 2+2+2的一的一部分如图所示部分如图所示, ,该抛物线该抛物线在在y y轴右侧部分与轴右侧部分与x x轴交轴交点的坐标是点的坐标是 _ 巧用巧用“对称性对称性” ” 化繁为化繁为简简 第四页，共14页。尝试尝试: :如图如图, ,抛物线的对称轴是抛物线的对称轴是x=1,x=1,与与x x轴交于轴交于A A、B B两点，两点，B B的坐标为（的坐标为（ ，0 0），则点），则点A A的坐标是的坐标是_xyAB1 抛物线抛物线y=axy=ax+bx+c+bx+c经过点经过点

4、A(-2,7),B(6,7),C(3,A(-2,7),B(6,7),C(3,-8-8),),则则该抛物线上纵坐标为该抛物线上纵坐标为-8-8的另一点坐标是的另一点坐标是_1 1、求点的坐标、求点的坐标 巧用巧用“对称性对称性” ” 化繁为化繁为简简 第五页，共14页。 已知二次函数已知二次函数y=axy=ax+bx+c(a0)+bx+c(a0)的顶点坐的顶点坐标为（标为（-1-1，-3.2-3.2）及部分图象如图，由图象可）及部分图象如图，由图象可知关于知关于x x的一元二次方程的一元二次方程axax+bx+c=0+bx+c=0的两根分别的两根分别为为x x1 1=1.3=1.3，x x2 2

5、=_=_2 2、求方程的根、求方程的根xy0 巧用巧用“对称性对称性” ” 化繁为化繁为简简 第六页，共14页。 巧用巧用“对称性对称性” ” 化繁为化繁为简简 小颖在二次函数小颖在二次函数y y=2=2x x2 2+4+4x x+5+5的图象上，依横坐标找的图象上，依横坐标找到三点到三点( (1 1，y y1 1) )，(0.5(0.5，y2 )，(-3.5，y3)则你认为则你认为y1，y2，y3的大小关系应为（）的大小关系应为（） A、y1y2y3 B、y2y3y1 C、y3y1y2 D、y3y2y13 3、比较函数值的大小、比较函数值的大小第七页，共14页。4 4、判断命题的真伪、判断命

6、题的真伪 已知二次函数y=axy=ax+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象如图所示，的图象如图所示，则下列命题：则下列命题：a a、b b同号；同号；当当x=1x=1和和x=3x=3时，函数值相等；时，函数值相等；4a+b=04a+b=0；当当y=-2y=-2时，时，x x的值只能取的值只能取0 0。 其中正确命题的个数有其中正确命题的个数有_个个xy-2-2-1-15 巧用巧用“对称性对称性” ” 化繁为化繁为简简 第八页，共14页。 已知抛物线已知抛物线y=axy=ax+bx+c+bx+c的对称轴为直线的对称轴为直线x=2x=2，且经过点（，且经过点（1 1，4 4）和点（）和点（5

7、 5，0 0），则该抛物线与），则该抛物线与x x轴相交的另一个交点坐标轴相交的另一个交点坐标为为_;_;函数解析式为函数解析式为_。5 5、求函数解析式、求函数解析式 尝试尝试: 已知二次函数的图像经过已知二次函数的图像经过A A（-1,0-1,0）、）、B B（3,03,0），）， 且函数有最小值且函数有最小值-8-8，试求二次函数解析式，试求二次函数解析式. . 巧用巧用“对称性对称性” ” 化繁为化繁为简简 第九页，共14页。 抛物线抛物线y=axy=ax+bx+c(a0)+bx+c(a0)的对称轴为直线的对称轴为直线x=2x=2，且，且 经过点经过点P P（3 3，0 0），则），则

8、a+b+ca+b+c的值为（的值为（ ）（A A）-1 -1 （B B）0 0 （C C）1 1 （D D）2 26 6、求代数式的值、求代数式的值 巧用巧用“对称性对称性” ” 化繁为化繁为简简 尝试尝试（1）、若将对称轴改为、若将对称轴改为直线直线x=1，其余条件不变，其余条件不变， 则则 a-b+c=（2 2）y=axy=ax2 2+5 +5 与与X X轴两交点分别为（轴两交点分别为（x x1 1 ,0,0），（），（x x2 ,2 ,0 0） 则当则当x=xx=x1 1 +x+x2 2时，时，y y值为值为_第十页，共14页。（1） 求抛物线求抛物线y=2xy=2x2 2-4x-5-4

9、x-5关于关于x x轴轴对称的抛物线。对称的抛物线。 （2 2） 求抛物线求抛物线y=2xy=2x2 2-4x-5-4x-5关于关于y y轴轴对称的抛物线。对称的抛物线。 （3） 求抛物线求抛物线y=2xy=2x2 2-4x-5-4x-5关于关于原点原点成中心对称的抛物线。成中心对称的抛物线。 （4）求抛物线求抛物线y=2xy=2x2 2-4x-5-4x-5绕着绕着 顶点旋转顶点旋转180180得到的抛物线。得到的抛物线。 抛物线关于抛物线关于x轴轴对称：将解析式中的对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点换成它的对称点(x，y) yax2bxc变为变为yax2bxc. 抛物线关于抛物线关于

10、y轴轴对称：将解析式中的对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点换成它的对称点(x，y) yax2bxc变为变为yax2bx+c. 抛物线关于抛物线关于原点原点对称：将解析式中的对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点换成它的对称点(x， y) yax2bxc变为变为y ax2+bx c. 抛物线绕着绕着 顶点旋转顶点旋转180后得到的抛物线，后得到的抛物线，顶点坐标不变，开口方向相反。顶点坐标不变，开口方向相反。 巧用巧用“对称性对称性” ” 化线为化线为点点 第十一页，共14页。唐朝诗人李欣的诗唐朝诗人李欣的诗古从军行古从军行开头两句说：开头两句说： “ 白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河

11、白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河” “将军饮马将军饮马” ” 问问题题 第十二页，共14页。如图如图, ,抛物线抛物线y y0.5x0.5x2 2bxbx2 2与与x x轴交于轴交于A A，B B两点，与两点，与y y轴交于轴交于C C点，顶点为点，顶点为D,D,且且A(A(1 1，0).0).若点若点 M M（m,0)m,0)是是x x轴上的一个动点，轴上的一个动点，当当MCMCMDMD的值的值最小最小时，求时，求m m的值的值ABCDxyO11M在抛物线的对称轴上是否存在点在抛物线的对称轴上是否存在点Q， 使得使得ACQ周长最小？周长最小？N 巧用巧用“对称性对称性” ” 求距离和差最求距离和差最值值 第十三页，共14页。1、抛物线是轴对称图形，充分利