线段与角培优教师

1、（一）数线段数角数三角形问题1、直线上有n个点，可以得到多少条线段？ 分析： 点 线段2 1 3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 6 15=1+2+3+4+5 n 1+2+3+ +(n-1)=问题2如图，在AOB内部从O点引出两条射线OC、OD，则图中小于平角的角共有（ D ）个 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6拓展：1、 在AOB内部从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个？ 射线 角 1 3 =1+2 2 6=1+2+3 3 10=1+2+3+4 n 1+2+3+ +(n+1)=类比：从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个？ 射线 角2

2、1 3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 n 1+2+3+ +(n-1)=类比联想：如图，可以得到多少三角形？（二）与线段中点有关的问题 线段的中点定义：文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点图形语言：几何语言： M是线段AB的中点 ，典型例题：1由下列条件一定能得到“P是线段AB的中点”的是（ D ）（A）AP=AB （B）AB2PB （C）APPB （D）APPB=AB 2若点B在直线AC上，下列表达式：；AB=BC；AC=2AB；AB+BC=AC其中能表示B是线段AC的中点的有（ A   ）A1个 

3、60;        B2个          C3个        D4个3.如果点C在线段AB上,下列表达式AC=AB;AB=2BC;AC=BC;AC+BC=AB中, 能表示C是AB中点的有( C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4已知线段MN，P是MN的中点，Q是PN的中点，R是MQ的中点，那么MR= _ MN分析：据题意画出图形设QN=x，则PQ=x

4、，MP=2x，MQ=3x，所以，MR=x ，则 5如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，若MN=a，BC=b，则线段AD的长是（ ） A 2（a-b） B 2a-b C a+b D a-b分析：不妨设CN=ND=x，AM=MB=y 因为MN=MB+BC+CN 所以a=x+y+b因为AD=AM+MN+ND所以AD=y+a+x=a-b+a=2a-b（三）与角有关的问题1 已知：一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，使AOB=600，BOC=200，则AOC=_80°或40°_度（分类讨论）2 A、O、B共线，OM、ON分别为 AOC 、 B

5、OC的平分线，猜想 MON的度数，试证明你的结论猜想：_90°_证明：因为OM、ON分别为 AOC 、 BOC的平分线 所以MOC=AOC ，CON=COB因为MON=MOC+CON所以MON=AOC +COB=AOB=90°3如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，求的度数分析：因为是直角， 所以EOF=56° 因为平分 所以AOF=56° 因为AOF=AOC+COF所以AOC=22°因为直线和相交于点 所以=AOC=22°4如图，BO、CO分别平分ABC和ACB，（1）若A = 60°，求O；（2）若A =100

6、6;，O是多少？若A =120°，O又是多少？（3）由（1）、（2）你又发现了什么规律？当A的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？ （提示：三角形的内角和等于180°）答案：（1）120°；（2）140° 、150°（3）O=90°+A5如图，O是直线AB上一点,OC、OD、OE是三条射线,则图中互补的角共有（ B ）对 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 56互为余角的两个角   （ B ）（A）只和位置有关 （B）只和数量有关 （C）和位置、数量都有关 （D）和位置、数量都无关7已知1、2互为补

7、角，且12，则2的余角是（ C ）A.（12） B.1 C.（12） D.2分析：因为12=180°，所以（12）=90°90°-2= （12）-2= （12） 21、已知：如图（6）ABC30°，CBD70°BE是ABD的平分线，求DBE的度数。 图（6）22、已知：如图（7），B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD2：4：3，M是AD的中点，CD6，求线段MC的长。 图（7）提高测试（一）判断题（每小题1分，共6分）：1经过一点可以画无数条直线，经过两点可以画一条直线，经过三点可以画三条直线（ ）【提示】错的是第三句话，因为三点可在一条

8、直线上，也可不在一条直线上，当三点在一条直线上时（我们称之三点共线），经过这三点只可以画一条直线【答案】×2两条直线如果有两个公共点，那么它们就有无数个公共点（ ）【提示】两点确定唯一的直线【答案】3射线AP与射线PA的公共部分是线段PA（ ）【提示】线段是射线的一部分【答案】如图：显然这句话是正确的4线段的中点到这条线段两端点的距离相等（ ）【提示】两点的距离是连结两点的线段的长度【答案】5有公共端点的两条射线叫做角（ ）【提示】角是有公共端点的两条射线组成的图形【答案】×6互补的角就是平角（ ）【提示】如图，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所

9、成的角叫平角平角是一个量数为180°的角【答案】×【点评】互补两角的和是180°，平角为180°就量数来说，两者是相同的，但从“形”上说，互补两角不一定有公共顶点，故不一定组成平角所以学习概念时，一定要注意区别它们的不同点，以免混淆二填空题（每小题2分，共16分）：7如图，图中有_条直线，有_条射线，有_条线段，以E为顶点的角有_个【提示】直线没有端点，可向两方无限延伸射线有一个端点，可向一方无限延伸，线段有两个端点，不延伸直线上一点将一条直线分成两条射线直线上两点和它们之间的部分是线段【答案】1，9，12，412条线段分别是：线段AF、AD、FD、DC

10、、DB、CB、BE、BF、EF、CE、CA、EA8如图，点、D在线段AB 上AC6 cm，CD4 cm，AB12 cm，则图中所有线段的和是_cm【提示】1数出图中所有的线段；2算出不同线段的长度；3将所有线段的长度相加，得和【答案】409线段AB12.6 cm，点C 在BA 的延长线上，AC3.6 cm，M 是BC 中点，则AM 的长是_cm【提示】画出符合题意的图形，以形助思【答案】4.5 BCABAC，M是BC中点， AMCMACBCAC（ABAC）AC（ABAC）（12.63.6）4.5（cm）【点评】在进行线段长度计算时，可是对其表达式进行变形、最后将值代入，求出结果这样可简化计算，

11、提高正确率10如图，AOBCOD90°，AOD146°，则BOC_°【提示】BOC360°AOB AOD DOC【答案】3411如图，OB 平分AOC且234354，则2_°，3_°，4_°【提示】1周角360°设1份为x°，列方程求解【答案】72；120；9612A与B互补，A与C互余，则2B2C_°【提示】AB180°AC90°代入要求的式子，化简即得【答案】180° AB180°，AC90°， B180°A 2B2C2（180&#

12、176;A）2C360°2A2C360°2（AC）360°2×90°180°【点评】由已知可得关于A、B、C的方程组，此时不能确定B、C的大小，但只要将两式的两边分别相减，使得BC90°，2B2C便不难求得这种整体代入的思想是求值题中常用的方法13已知： 的余角是52°3815，则 的补角是_【提示】分步求解：先求出 的度数，再求 的补角的度数【答案】142°3815 的余角是52°3815， 90°52°381589°596052°381537°

13、;2145 的补角180°37°2145179°596037°2145142°3815【点评】题中a 只起过渡作用，可考虑到而不求，作整体代入 a 90°52°3815， a 的补角180°a 180°（90°52°3815） 90°52°3815 142°3815这样避开了单位换算，利于提高运算速度及正确率若将已知条件反映到如图所示的图形上，运用数形结合的思想观察图形，则一目了然一般地，已知a 的余角，求a 的补角，则a 的补角90°a 的余角

14、，即任一锐角的补角比它的余角大90°利用这个结论解该题就更准确、快捷14由2点30分到2点55分，时钟的时针旋转了_度，分针旋转了_度，此刻时针与分针的夹角是_度【提示】分针1小时旋转360°，1分旋转6°，时钟1小时旋转30°，1分旋转0.5°【答案】12.5，150，117.5（三）选择题（每小题3分，共24分）15已知线段AB10 cm，ACBC12 cm，则点C 的位置是在：线段AB 上；线段AB 的延长线上；线段BA 的延长线上；直线AB 外其中可能出现的情况有（ ）（A）0种 （B）1种 （C）2种 （D）3种【提示】用数形结合的方

15、式考虑【答案】D若点C在线段AB上，如下图，则ACBCAB10 cm与ACBC12 cm不合，故排除若点C 在线段AB 的延长线上，如下图，AC11 cm，BC1 cm，则ACBC11112（cm），符合题意若点C 在线段BA 的延长线上，如下图，AC1 cm，BC11 cm，则ACBC11112（cm），符合题意若点C在直线AB外，如下图，则ACBC12（cm），符合题意综上所述：可能出现的情况有3种，故选D16分别在线段MN的延长线和MN的反向延长线上取点P、Q，使MP2NPMQ2MN则线段MP 与NQ 的比是（ ）（A） （B） （C） （D）【提示】根据条件画出符合题意的图形，以形助思

16、【答案】B根据题意可得下图：解法一： MP2NP， N是MP的中点 MP2MN MQ2MN， NQMQMN2MNMN3MN MPNQ2MN3MN23解法二：设MNx MP2NP， N是MP的中点 MP2MN2x MQ2MN2x， NQMQMN2MNMN3MN3x MPNQ2MN3MN2 x3 x故选B17一条直线可以将平面分成两部分，两条直线最多可以将平面分成四部分，三条直线最多可以将平面分成n 部分，则n 等于（ ）（A）6 （B）7 （C）8 （D）9【提示】画图探索一条线 两条直线 三条直线【答案】B【点评】平面内一条直线将平面分成两部分，记作a1112；平面内两条直线将平面最多分成四部

17、分，记作a21124；平面内三条直线将平面最多分成七部分，记作a311237；平面内四条直线将平面最多分成几部分？由图可知，共可分成11个部分，记作a41123411若平面上有n条直线，最多可将平面分成多少部分，此时n条直线的相对位置如何？从前面的分析不难推出平面上有n 条直线时，最多可将平面分成an11234n1个部分，此时每两条直线都相交，且没有三条直线交于一点18若互补两角有一条公共边，则这两个角的平分线所组成的角（ ）（A）一定是直角 （B）一定是锐角（C）一定是钝角 （D）是直角或锐角【提示】分两种情况：互补两角有公共顶点，有一条公共边没有重叠部分；互补两角有公共顶点有一条公共边有重

18、叠部分【答案】D如图：19已知 、都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算的结果依次是30°、35°、60°、75°，其中恰有正确结果这个正确结果是（ ）（A）30° （B）35° （C）60° （D）75°【提示】列不等式求解【答案】C 、都是钝角， 180°360° 36°72° 30°、35°、75°都不在此等圆内，仅60°属此等圆 选C20如图，AOBBOCCODDOE30°图中互补的角有（ ）（A）10对 （B）4对 （C）

19、3对 （D）4对【提示】两个角的和为180°，这两个角叫互为补角补角的概念仅与角的大小有关而与角的位置无关【答案】B原因如下： AOBBOCCODDOE30° AOEAOC120°60°180°，AOEBOD120°60°180°，AOECOE120°60°180°，AODBOE90°90°180° AOE 与AOC、AOE 与BOD、AOE 与COE、AOD 与BOE 是4对互补的角211、2互为补角，且12，则2的余角是（ ）（A） （B）1 （C）

20、（D）2【提示】将已知条件反映到图形上，运用数形结合的方法观察图形，便知结果，或根据互补、互余的定义进行推理【答案】C由图可知：2的余角190°1112或：1、2互为补角，12180°2的余角90°22122故选C22设时钟的时针与分针所成角是a ，则正确的说法是（ ）（A）九点一刻时，a 是平角（B）十点五分时，a 是锐角（C）十一点十分时，a 是钝角（D）十二点一刻时，a 是直角【提示】时钟的时针1小时转30°，1分转0.5°；分针1小时转360°，1分转6°，还可画图，以形助思【答案】B（四）计算题（每小题3分，共9分

21、）23118°1237°37×2【提示】先算乘，再求差【答案】42°58计算过程如下：118°1237°37×2118°1275°14117°7275°1442°5824132°264241.325°×3【提示】将132°2642化成以“度”为单位的量再计算；或将41.325°×3的积化成“度”、“分”、“秒”后再算【答案】解法一 132°264241.325°×3132.445

22、6;123.975°8.47°解法二 132°264241.325°×3132°2642123.975°132°2642123°5830131°8642123°58308°2812【点评】在“度”、“分”、“秒”的混合运算中，若将“分”、“秒”化成度，则可将“度”“分”“秒”的计算转化成小数运算，免去繁杂的“进位”或“退位”提高运算速度和正确率25360°÷7（精确到分）【提示】按四舍五入取近似值，满30或超过30即可进为1【答案】约为51°26

23、计算过程如下：360°÷751°3°÷751°255÷751°25300÷751°254351°26（五）画图题（第26小题4分，第27小题5分，第28小题6分，共15分）26已知：线段a、b、c（bc），画线段AB，使AB2a（bc）【提示】AB2a（bc）2acb【答案】方法一：量得 a20 mm，b28 mm，c18 mmAB2a（bc）2×20（2818）40535（mm）画线段AB35 mm（下图），则线段AB就是所要画的线段方法二：画法如下（如上图）：（1）画射线

24、AM（2）在射线AM上依次截取ACCDa，DEc（3）在线段EA上截取EBb则线段AB就是所要画的线段27已知a ，b ，g ，画AOB，使AOB2abg 【提示】方法一：先量、后算、再画； 方法二：叠加法，逐步画出【答案】方法一：量得a 25°，b 54°，g 105°，AOB2a b g 2×25°54°×105°50°54°35°69°画AOB69°，则AOB就是所要画的角方法二：画法：（1）画AOCa ，（2）以O为顶点，OC为一边在AOC的外部画CODa

25、（3）以O为顶点，OD为一边在AOD的外部画DOEb （4）以O为顶点，OE为一边在EOA的内部画EOBg 则AOB就是所要画的角28读句画图，填空：（1）画线段AB40 mm；（2）以A为顶点，AB为一边，画BAM60°；（3）以B为顶点，BA为一边，在BAM的同侧画ABN30°，AM与BN相交于点C；（4）取AB的中点G，连结CG；（5）用量角器量得ACB_度；（6）量得CG的长是_mm，AC的长是_mm，图中相等的线段有_【提示】按语句的顺序，抓住概念用语（如线段、角等）和位置术语（如以为顶点，在同侧等）依次画图【答案】90，20，20ACCGAGBG（六）解答题（每

26、小题5分，共30分）29如图，线段AB被点C、D分成了345三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40 cm，求AB的长【提示】引入未知数，列方程求解【答案】60 cm设一份为x cm，则AC3 x cm，CD4 x cm，DB5 x cm M是AC的中点， CMACx cm N是DB的中点， DNDBx cm MNMCCDDN，又 MN40 cm， x4 xx40， 8x40 x5 ABACCDDB12 x12×560（cm）30一个角的补角与20°角的和的一半等于这个角的余角的3倍，求这个角【提示】两角互余和为90°，两角互补和为180°设

27、这个角为x°，列方程求解【答案】68°设这个角为x°，根据题意得（180°x20°）3（90°x），100°x270°3 x，x170°， x68°，即这个角为68°31如图，直线AB、CD相交于点O，OB平分EOD，COE100°，求AOD和AOC的度数【提示】由COE100°，OB平分EOD，可求出BOD的度数，进而求出AOD和AOC的度数【答案】AOD140°，AOC40°计算过程如下： COD180°，COE100°（

28、已知）， EODCODCOE180°100°80° OB平分EOD（已知）， BODEOD×80°40°（角平分线定义） AOB180°（平角定义）， AODAOBBOD180°40°140°，AOCCODAOD180°140°40°【点评】由计算可知，BOCCOEEOB100°40°140° AODBOC，又知AOCBOD，这是一种偶然的巧合，还是必然的结果？在第二章“相交线、平行线”中可揭开这个谜32如图，AOC、BOD都是直角，且AOB与AOD的度数比是211，求AOB和BOC的度数【提示】设AOBx°，BOCy°，列方程组求解【答案】AOB20°，BOC70°计算过程如下： AOC、BOD都是直角（已知）， AOBBOC90°，CODBOC90°（直角的定义） AOBCOD