线性代数行列式试题及答案

1、如何复习线形代数线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题.一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查四

2、、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习，第一章 行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 a1na21 a22 a2n .an1 an2 ann如果行列式的列向量组为a1, a2, ,an,则此行列式可表示为|a1, a2

3、, ,an|.意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.2. 定义(完全展开式)一般地,一个n阶行列式 a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为:,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2

4、jn构成1,2, ,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定t(j1j2jn)为全排列j1j2jn的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: , t(436512)=3+2+3+2+0+0=10.则项所乘的是即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12

5、a1na21 a22 a2n = an1 an2 ann 这里表示对所有n元排列求和.称此式为n阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.3、对角行列式计算行列式中从左上角到右下角的对角线称为主对角线.对角行列式,上三角、下三角行列式的值都等于主对角线上的元素的乘积。关于副对角线：4、代数余子式把n阶行列式的第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素aij的余子式,记作Mij.称Aij=(-1)i+jMij为元素aij的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)

6、的各元素与其代数余子式乘积之和.5、化零降阶法化零降阶法 用行列式的性质把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式；或者直接把行列式化成三角行列式，化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握.6、行列式的性质 把行列式转置值不变,即|AT|=|A| . 某一行(列)的公因子可提出.于是, |cA|=cn|A|. 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量a=b+g ,则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量a换为b或g 所得到的行列式.例如|a,b1+b2,g |=|a,b1,g |+|a,b2,g |.

7、把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号. 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0. 如果在行列式某一行、列的元素，加上另一行、列对应元素的K倍，则行列式的值不变。某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.7.范德蒙行列式：形如 1 1 1 1 a1 a2 a3 an a12 a22 a32 an2 a1n-i a2n-i a3n-i ann-I 的行列式(或其转置).它由a1,a2 ,a3,an所决定,它的值等于因此范德蒙行列式不等于0Û a1,a2 ,a3,an两两不同. 对于元素有规律的行列式(包括n阶行列式),常常可利用性

8、质简化计算,例如直接化为三角行列式等. 8、克莱姆法则克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0，则方程组有唯一解,这个解为(D1/D, D2/D,¼,Dn/D),这里D是系数行列式的值, Di是把系数行列式的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值。说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值，因此法则的主要意义在理论上，用在对解的唯一性的判断。法则的改进:系数行列式不等于0是非齐次线性方程组有唯一解的充要条件.用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充

9、分必要条件是|A|¹0，或者表述为：如果齐次方程组有非0解，则它的系数行列式|A|=0。第四章可证明：|A|=0是齐次方程组有非0解的充要条件。例 题一. 填空题1. 四阶行列式中带有负号且包含a12和a21的项为_.解：a12a21a33a44中列标排列为2134, 逆序为1. 该项符号为“”, 所以答案为2. 写出四阶行列式中含有因子的项。解：或3. 在五阶行列式中=_.解：15423的逆序为5, 23145的逆序为2, 所以该项的符号为“”.4. 在函数中, x3的系数是_.解: x3的系数只要考察,所以x3前的系数为2.5. 行列式，的展开式中，的系数是 ，的系数是。解：利用

10、行列式的性质，将含有变量的项移到主对角线上。将行列式的第2、3行交换，得（第1行加到第2列）含，的项仅有主对角线上元素乘积项，即所以，的系数分别是15，。6. 设a, b为实数, 则当a = _, 且b = _时, .解：. 所以a = b = 0.7. 在n阶行列式D = |aij|中, 当i < j时aij = 0 (i, j =1, 2, , n), 则D = _.解: 8. 设A为3×3矩阵, |A| =2, 把A按行分块为, 其中Aj (j = 1, 2, 3)是A的第j行, 则行列式_.解:二计算证明题1.计算以下行列式的值 2. 设a，b，c是互异的实数，证明：=0的充要条件是解：因为a，b，c是互异的实数，所以。3. 设解：= = 所以 4. 计算n阶行列式(n ³ 2).+ =+ + = 0当5.设计算A41 + A42 + A43 + A44 = ?, 其中A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A|中元素a4j的代数余子式. 解：6.已知试求：（1）=（2）=解：（1）=0（2）解 ：根据第5、6题可以总结：代数余子式的性质：、和的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子