第二章1信号与系统,课后答案

1、第二章2.1 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入相应（1）y(t)+5y(t)+6y(t)=f(t), y(0-)=1, y(0-)=-1解：微分方程对应的特征方程为 2+5+6=0其特征根为1=-2，2=-3,系统的零输入 响应可写为yzi (t)=C1e-2t+C2e-3t又yzi (0-)=y(0-)=1, yzi(0-)=y(0-)=-1,则有 1=C1+C2 -1=-2 C1-3C2由以上两式联立，解得 C1 =2，C2=-1即系统的零输入响应为yzi(t)=2e-2t -e-3t,t0(2)yt+2yt+5yt=ft, y(0-)=2,y0-=-2微分方程的特征方程

2、为 2 +2+5=0其特征根 12=-1j2, 系统的零输入响应可写为 yzit=C1e-tcos2t+C2e-tsin2t又yzi0-= y(0-)=2, yzi(0-)= y(0-)=-2,则有yzi(0-)=C1=2yzi0-=C1+2C2=-2以上两式联立，解得C1=2，C2=0因此系统的零输入响应为yzit=2e-t cos2t，t0(3) yt+2yt+yt=ft ,y(0-)=1,y0-=1微分方程对应的特征方程为2 +2+1=0其特征根为1,2=-1，系统的零输入响应可写为yzit=(C1+C2t)e-t又yzi(0-)= y(0-)=1, yzi(0-)= y0-=1,则有y

3、zi(0-)= C1=1 ，yzi(0-)=- C1+C2=1以上两式联立，解得C1=1，C2=2因此系统的零输入响应为yzit=1+2te-t, t0(4) yt+yt=ft ,y(0-)=2,y0-=0微分方程对应的特征方程为2 +1=0其特征根为1,2=j. 系统的零输入响应可写为yzit=C1 cost+C2sint又yzi(0-)= y(0-)=2, yzi(0-)= y0-=0,则有yzi(0-)= C1=2 yzi(0-)=C2=0因此系统的零输入响应为yzit=2cost,t0(5)yt+4yt+5yt+2yt=ft,y0-=0,y0-=1,y0-=-1 微分方程对应的特征方程

4、为3+42 +5+2=0其特征根为1,2=-1,3=-2, 系统的零输入响应可写为yzit=(C1t+C2) e-t+C3e-2t又yzi(0-)= y(0-)=0, yzi(0-)= y0-=1,yzi(0-)=y(0-)=-1,则有yzi(0-)= C2+C3=0yzi(0-) =C1-C2-2C3=1yzi(0-)=-2C1+C2+4C3=-1 以上三式联立，解得C1=2，C2=-1，C3=1因此系统的零输入响应为yzit=2t-1e-t+e-2t,t02.2已知描述系统的微分方程和初始态度如下，试求其0+值y0+和y(0+) (1) yt+3yt+2yt=ft ,y(0-)=1,y0-

5、=1,ft=(t)输入ft=t，则方程右端不含冲激函数项，则f(t)及其导数在t=0处均不发生跃变，即y0+=y0-=1, y0+=y0-=1(2) yt+6yt+8yt=ft ,y(0-)=1,y0-=1,ft=(t) 将ft=(t)代入微分方程，有yt+6yt+8yt=(t) 由于方程右端含有(t)项，则yt中含有(t)，设yt=at+b(t)+ ct+r1t 其中r1t不含t及其导数项。对式两边从-到t积分，得yt=a(t)+b t+r2t 其中r2t=c t+r1(-1)(t)，而r1(-1)(t)=-tr1()d,故r2t 不含t及其导数项。同理，对式两边从-到t积分，得yt=a t

6、+r3t 其中r3t=b t+r2-1t,不含t及其导数项。将式代入 式，整理得at+(6a+b) (t)+(8a+6b+c) t+r1t+6r2t+8r3t=t比较上式两端t及其 各阶导数前的系数，有a=16a+b=08a+6b+c=0以上三式联立，解得a=1,b=-6,c=28对两式两端从0-到0+积分，得y0+-y0-=c=28 y(0+)-y(0-)=b=-6则有y0+=y0-+28=29y(0+)= y(0-)-6=-5（3）yt+4yt+3yt=ft+f(t) ,y(0-)=2,y0-=-2ft=t 将ft=t 代入微分方程，有yt+4yt+3yt=t+t 由于方程右端含有t项，则

7、yt中含有t，设yt=at+b(t)+c t+r1t 其中r1t不含t及其导数项。对式两端从-到t积分，得yt=a(t)+b t+r2t 其中r2t=ct+r1(-1)(t),不含t及其导数项。对式两端从-到t积分，得yt=a t+r3t 其中r3t=b t+r2-1t，不含t及其导数项。将 式代入中，整理得at+4a+b(t)+(3a+4b+c) t+r1t+4r2t+3r3t=t+ t比较上式两端t及其导数前的系数，有a=14a+b=03a+4b+c=1以上三式联立，解得a=1,b=-4,c=14对两断从0-到0+积分，得y0+-y0-=c=14y(0+)-=b=-4则有y0+=y0-+1

8、4= y(0-)12 y(0+)= y(0-)-4=-2(4)yt+4yt+5yt=ft,y0-=1，y(0-)=2,f(t)=e-2t(t）由f(t) =e-2t(t）求得ft=-2e-2tt+e-2t t=-2e-2t+t将上式代入微分方程，得yt+4yt+5yt=-2e-2t+t 由于方程右端含t项，则yt中含t，设yt=a t+r1t 其中r1t不含t及其导数项。对式两端从-到t积分，得y(t)=r3t= r1(-1)(t) 其中r2t=a (t）+r1(-1)(t)，不含t及其导数项将 与上式代入式，整理得a t+r1t+4r2t+5r3(t)=-2e-2t+t比较上式两端t前系数，

9、知a=1对 式两端从0-到0+积分，得y0+-y0-=a=1y(0+)-y(0-)=0 因此，y0+=y0-+1=3，y(0+)= y(0-)=12.3+如图所示RC电路中，已知R=1，uc(t)CRus(t)C=0.5F，电容的初始状态uc0+=-1V，试求激励电压源us(t)为下列函数时电容电压的全响应uc(t)(1) us(t)=(t) (2) ust=e-t (t)(3) us(t)= e-2t (t) (4) ust=t (t)解：根据电路列出微分方程，有uct+RCductdt=ust代入元件参数值，整理得uct+2uct=2ust(1) 当ust= t 时，系统的微分方程为uct

10、+2uct=2(t)由于方程右端不含冲激项，故uc0+=uc0-=-1微分方程的齐次解为ucpt=C1e-2t易求其特解为ucpt=1,t0故微分方程的完全解为 uct=ucht+ucpt=C1e-2t+1，t0代入初始值 uc0+=C1+1=-1故C1=-2因此，电路在ust= t的激励作用下的全响应为uct=-2e-2t+1，t0(2) 当ust=e-t t时，系统的微分方程为uct+2uct=2e-t(t)由于方程右端不含冲激项，故uc0+=uc0-=-1微分方程的齐次解为ucht=C1e-2t易求其特解为ucpt=2e-t，t0故微分方程的完全解为uct=ucht+ucpt=C1e-2

11、t+2e-t，t0代入初始值uc0+=-1，有C1+2=-1，即C1=-3因此电路在ust=e-t t时全响应为uct=-3e-2t+2e-t，t0(3) 当ust=e-t t时，系统的微分方程为uct+2uct=2e-2t(t)由于方程右端不含冲激项，故uc0+=uc0-=-1微分方程的齐次解为ucht=C1e-2t易求其特解为ucpt=2te-2t，t0故微分方程的完全解为uct=ucht+ucpt=C1e-2t+ 2te-2t, t0代入初始值uc0+=-1，有uc0+=C1=-1因此电路在ust=e-2t t时全响应为uct=-e-2t+2te-2t，t0（4） 当ust=t t时，系统的微分方程为uct+2uct=2t(t)由于方程右端不含冲激项，故uc0+=uc0-=-1微分方程的齐次解为ucht=C1e-2t易求其特解为ucpt=t-0.5，t0故微分方程的完全解为uct=ucht+ucpt=C1e-2t+t-0.5 , t0代入初始值uc0+=-1，有uc0+=C1-0.5=-1,即C1=-0.5因此电路在ust=t t时全响应为uct=-