实际变压器适用理想化变压器模型的条件

1、实际变压器适用理想化变压器模型的条件收稿日期：2018-03-02; 修回日期: 2018作者简介：陈德智( 1969-)，男，博士，教授，主要从事电磁场理论、数值分析与应用领域的教学与科研。E-mail: dzhchen。本文得到国家自然科学基金面上项目（No. 11775088）资助。陈德智，宋菲，李冬（华中科技大学电气与电子工程学院，武汉430074）摘要：本文从一般的电感耦合电路出发，讨论了实际变压器电压、电流变比在不同条件下随负载阻抗的变化关系，提出了将实际变压器看作理想变压器所需要满足的条件：一个实际变压器，如果满足紧耦合，即耦合系数；损耗电阻及漏抗远小于负载阻抗；线圈感抗远大于负

2、载阻抗，它就可以被视为理想变压器。如果只满足和，可以实现理想的电压变比；如果只满足和，可以实现理想的电流变比。关键词: 变压器；理想变压器条件 中图分类号：G426 文献标识码：A 文章编号：Idealization Conditions of An Actual Transformer CHEN De-zhi, SONG Fei, LI Dong( Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China)Abstract: An engineering expression of the ideal transform

3、er conditions is put forward, that an actual transformer can be considered ideal on conditions that (1) it is tightly coupled, or the coupling coefficient is much close to 1; (2) its loss resistance and leakage reactance is far smaller to the load impedance; and (3) its coils impedance are far great

4、er to the load impedance. If only (1) and (2) are satisfied, the ideal voltage transform ratio can be realized, and if only (1) and (3) are satisfied, the ideal current transform ratio can be realized.Key words: transformer; ideal transformer condition60 引言变压器是电工和电子技术中常用的电气设备，广泛用于交流变压变流、功率传送、电隔离和阻抗变

5、换；它也是电路与电机学课程的重要教学内容。理想变压器是指端口电压、电流满足（1）（2）的变压器，是电路理论中的一个理想化元件。式中，、分别为一次侧与二次侧的电压与电流，参考方向见后文图1所示；称为变比。理想变压器是对一些设计良好的实际变压器的理想化模型。该模型简捷优美，应用方便，是变压器电路分析的得力工具。在电路理论中，一个变压器要成为理想变压器，须满足：无损耗；全耦合；一次侧与二次侧电感、趋于无穷大，并保持为定值。这三个条件称为理想变压器条件14。然而，上述三个条件在工程实际中都是无法满足的。为应用理想变压器模型进行实际变压器电路的分析，必须解决：（1）多小的损耗才能视作无损耗；（2）多紧密

6、的耦合才能视作全耦合；以及（3）多大的电感才能视作无穷大？换言之，在实际应用中，怎样的一个变压器才能视作理想变压器？理想变压器的条件跟运行状态有没有关系？这些内容在电路理论或电机学的教材中很少被述及。理想变压器的教学研究一直受到重视57，但是本文提出的问题未见有论及，因此本文略作探讨。为简便起见，本文假定变压器材料都是线性的，并且只讨论正弦稳态电路，使用相量、表示电压和电流，假定角频率为。下文不另做说明。1 变压器的等效电路从变压器的一般情形开始讨论。在较低的工作频率下，不考虑线圈的电容效应，一个实际变压器的电路模型可以用两个互相耦合的电感来表示，如图1所示。此处电流的参考方向与文献1, 2相

7、反，这样选择是为了使理想变压器一次侧电流与二次侧电流具有相同的相位，便于数据对照。图1 变压器电路模型列出一次侧和二次侧回路的KVL方程： （3）（4）（5）式中，为变压器负载阻抗；、分别表示一次侧与二次侧的损耗电阻（包括导线损耗和铁心损耗）；为两个线圈之间的互感。求解方程（3）（5），得到（6）（7）式（6）、（7）即互感耦合电路的电压、电流变比公式。2 实际变压器理想化的条件为讨论方便，考虑到，令（8）（9）并定义线圈耦合系数 （10）则（6）、（7）式可改写为（11）（12）从式（11）、（12）可以看出，如果理想变压器的三个条件得以满足，即：，和，则有理想变比关系：（13）（14）然而

8、，工程上上述三个理想化条件都不可能真正满足。为此需要给出适合于工程应用的描述方式。观察式（11）、（12），耦合系数无疑是最重要的一个参数。工程上，设计良好的变压器可以非常接近1但不能达到1，因此可将“全耦合”改为“紧耦合”，即。这是实际变压器理想化的第一个条件。在紧耦合（）条件下，如果进一步满足则理想变比关系（13）、（14）成立。式中，（15-1）、（15-2）、（15-3）是理想电压变比关系成立的必要条件。式（15-1）表示损耗电阻远小于负载阻抗。式（15-2）中，由于数值通常很大，即使的数值非常接近1，也不能轻易忽略。事实上，这一项代表绕组的漏抗：（16）是二次侧绕组的漏抗，是一个对变

9、压器性能有重要影响的参数。对于大型变压器，漏抗通常远大于损耗电阻8。式（15-3）对于变压器线圈通常都满足，故可作为默认条件，不必单列出来。因此，实际变压器满足理想电压变比关系的条件是： 紧耦合（）； 损耗电阻与绕组漏抗远小于负载阻抗。注意，电压变比关系要求负载阻抗远大于损耗电阻及漏抗，但并不要求负载阻抗一定小于线圈感抗。因此，这组条件隐含着不允许二次侧短路（），但允许开路（）。式（15-4）是理想电流变比关系成立的必要条件，它表示线圈阻抗要远大于负载阻抗与损耗电阻之和。由于可以默认成立，因此只需声明。故实际变压器满足理想电流变比关系的条件是： 紧耦合（）； 二次侧线圈感抗远大于负载阻抗。不同

10、于电压变比公式，电流变比公式要求负载阻抗远小于线圈感抗，但并不要求负载阻抗大于损耗电阻。因此这组条件隐含着不允许二次侧开路（），但允许短路（）。由于一次侧与二次侧在实际应用中是可以交换的，因此对任意一侧的要求也适用于另一侧。综上，得到实际变压器理想化的条件： 紧耦合（）； 损耗电阻及漏抗远小于负载阻抗； 线圈感抗远大于负载阻抗。一个实际的变压器只要满足这三个条件，就可以采用理想变压器模型来分析。这个表述把变压器所带的负载作为判定其能否视为理想变压器的决定性因素，具有明显的工程意义。按照这个表述，只要负载阻抗足够小，1mH甚至1H的电感都可以视作无限大；反之，如果负载阻抗很大，那么1kH的电感也

11、不一定就可以认为无限大。3 算例验证为验证上节的结论，考虑如图2所示一个简化的铁心变压器，设它在垂直于纸面方向的长度为无限长，这样可以采用二维模型进行计算。设一次侧和二次侧线圈匝数，铁心相对磁导率，截面几何尺寸如表1所示，垂直于纸面方向取单位长度。设工作频率为50Hz。利用磁路方法和有限元方法分别得到线圈的电感及阻抗如表2所示。磁路方法由于不考虑漏磁，因此得到一个全耦合模型，；而有限元法考虑了漏磁，25，是一个非常接近于全耦合的“紧耦合模型”。后面的分析将显示，这微小的差别对变压器性能的影响是很显著的。图2 一个简化的铁心变压器模型表1 计算模型的几何参数项目及符号数量磁路平均长度a0.3 m

12、磁路平均高度b0.2 m磁路平均宽度t0.02533 m磁路深度1 m线圈宽度c0.02 m线圈高度h0.12 m线圈与铁心间隙0.01 m表2 线圈的电感与阻抗线圈参数磁路法结果（忽略漏磁）有限元结果（考虑漏磁）自感L1=L2=L3.1831 H3.3416 H互感M3.1831 H3.3257 H线圈感抗1000 1049.8 耦合系数k10.99525漏抗04.9855 利用表2中的数据，针对全耦合（）和紧耦合（）两种情况，分别取损耗电阻和，计算了负载阻抗从0逐渐增大至范围内的电压与电流变比，如图3图6所示。图3、图4给出了全耦合（）时电压、电流变比随负载的变化曲线，图5、图6给出了紧耦

13、合（）时电压、电流变比随负载的变化曲线。图中，横坐标是以负载阻抗与线圈感抗之比（ZL/Z0）、负载阻抗与损耗电阻之比（ZL/R）给出的。由于变比不是一个实数，分别给出了模值与辐角的变化曲线。在曲线左半部分（对应低负载阻抗），电流变比等于理想变比；在曲线右半部分（对应高负载阻抗），情况相反。变比曲线偏离理想变比的右限是由线圈感抗值控制的；左限在全耦合时由损耗电阻值控制，在非全耦合时受漏抗值控制。结合前面的理论分析，从这些结果可以得出如下结论：（1）正如前文所揭示的，只有在满足的范围内，电压、电流变比都接近于理想变比（本例中理想变比）。在数值很小（接近或者小于）时，理想电流变比关系成立，但理想电压

14、变比关系不成立；当数值很大（接近或者大于时，理想电压变比关系成立，但理想电流变比关系不成立。（2）耦合系数对电压、电流变比具有显著的影响。不仅直接作用于变比n上，而且还是产生漏感的根源。漏感对变压器性能影响甚大。（3）如果电路的任务是利用变压器实现“变压”，则可以选用比较大的负载阻抗，或者等价的，采用较小的线圈感抗；如果电路的任务是利用变压器实现“变流”，则应选择较小的负载阻抗，或者等价的较大的线圈感抗。（4）如果兼顾“变压”和“变流”，则应选取负载阻抗等于线圈感抗与漏抗的几何平均值作为折中。当时，由于漏抗，使变压器特性最接近理想变压器的负载阻抗为；当时，漏抗可能显著大于损耗电阻R，此时使变压

15、器特性最接近理想变压器的负载阻抗为。以上计算中选取了纯阻性负载。计算表明，纯感性负载变化规律与之类似。容性负载会在若干点上形成谐振，但总体变化规律也与之类似。（a）模值（b）辐角图3 全耦合、损耗电阻R = 0.1时，电压、电流变比随负载阻抗的变化曲线（a）模值（b）辐角图4 全耦合、损耗电阻R = 0.5时，电压、电流变比随负载阻抗的变化曲线（a）模值（b）辐角图5 紧耦合、损耗电阻R = 0.1时，电压、电流变比随负载阻抗的变化曲线（a）模值（b）辐角图6 紧耦合、损耗电阻R = 0.5时，电压、电流变比随负载阻抗的变化曲线4 结论（1）以实际变压器所带的负载为参照，本文对电路理论中的理想

16、变压器条件提出了工程化的表述：一个实际的变压器，如果满足紧耦合，即；损耗电阻及漏抗远小于负载阻抗；线圈感抗远大于负载阻抗，就可以被视为理想变压器。（2）如果电路的任务是利用变压器实现“变压”，则可以采用较小的线圈感抗，较大的负载阻抗，其应用如电压互感器。如果电路的任务是利用变压器实现“变流”，则应选择较大的线圈感抗，较小的负载阻抗，其应用如电流互感器。（3）在耦合系数的情况下，使变压器特性最接近理想变压器的负载阻抗为，是二次侧绕组的感抗。致谢：本文先后承蒙雷银照教授、颜秋容教授、李承教授、詹琼华教授、李大伟博士审阅，提出了许多宝贵的意见，在此表示感谢。不当之处概由作者本人负责。参考文献：1 邱关源，罗先觉. 电路（第5版）M. 北京：高等教育出版社，20162 颜秋容电路理论基础篇M北京: 高等教育出版社，20173 李瀚荪. 电路分析基础（第四版（下册）M. 北京：高等教育出版社，20064 陈希有. 电路理论基础（第三版）M. 北京：高等教育出版社，20045 陈希有, 刘凤春, 董维