线性规划化问题的简单解法

1、简单线性规划问题的几种简单解法依不拉音。司马义（吐鲁番市三堡中学，838009）“简单的线性规划问题”属于高中数学新课程必修5，进入了高考试题，并且保持了较大的考察比例，几乎是每年高考的必考内容，也是高中数学教学的一个难点。简单的线性规划是指目标函数只含两个自变量的线性规划。简单线性规划问题的标准型为：，下面介绍简单线性规划问题的几种简单解法。1. 图解法第一步、画出约束条件表示的可行区域，这里有两种画可行区域的方法。代点法：直线Ax+By+C=0（c不为0）的某侧任取一点，把它的坐标代入不等式，若不等式成立，则不等式表示的区域在该点的那一侧；若不成立，则在另一侧。B判别法：若0（），则不等式

2、Ax+By+C0（）表示的区域在直线Ax+By+C0的上方；若（），则不等式Ax+By+C(0)表示的区域在直线Ax+By+C0的下方。（即若B与0的大小方向跟不等式的方向相同，则可行区域是边界线的上方；若B与0的大小方向与不等式的方向相反，则可信分区域是边界线的下方）用上面的两种方法画出可行区域是很简单，所以这里不必举例说明。第二步、在画出的可行区域内求最优解（使目标函数取最大值或最小值的点），这个可以用下面的两种办法解决。y轴上的截距法：若，直线所经过可行域上的点使其y轴上的截距最大（最小）时，便是z取得最大值（最小值）的点；若，直线所经过可行域上的点使其y轴上的截距最大（最小）时，是z取

3、得最小值（最小值）的点（提醒：截距不是距离，截距可以取正负）。例1设x,y满足约束条件求的最大值、最小值。解：如图1作出可行域，因为y的系数1大于0，目标函数表示直线在y轴上的截距，当直线过A（1，0）时，截距值最大，当直线过点O（0，0）时，截距值最小。图1例2若变量满足约束条件，求的最大值和最小值。解：如图作出可行域，y的系数-2小于0，过点A(1,-1)时在y轴上的距最小，目标函数取得最大值，所以；过点B（-1,1）时在y轴上的截距最大，目标函数取得最，所以。法向量法：目标函数的法向量为（A，B），它垂直于目标函数直线的向量。当目标函数的值线沿目标函数法向量方向平移时，目标函数值逐步增加

4、，与可行区域最后（最先）相交的点上取最大值（最小值）；当等值线沿目标函数法向量反方向平行移动时，目标函数值逐步减少，与可行区域最后（最先）相交的点上取最小值（最大值）。例3点P(x, y)在以A(2, 1)、B(1, 6)、C(3, 2)为顶点的三角形区域（包括边界）内，求z= 4x3y的最大值与最小值。解：目标函数z= 4x3y的法向量为（4，-3），目标函数的直线沿法向量的方向平移时，最先与可行域在C点上相交，最后在B点上相交（因为目标函数的等值线从左上角平移过来）。所以目标函数在点C（-3,2）上取最小值，在点B（-1，-6）上取最大值。图解法虽然直观、形象，它容易使人具体地认识线性规划

5、模型的求解过程，但是，这里难点至少有二；一是必要考虑y的系数b的正负，否则容易得出反相的结论；二是要注意直线束的倾斜程度，尤其，要注意与约束条件中的一条或两条只想的倾斜程度的关系，即斜率大小对直线倾斜程度的影响。其中，当斜率为负值时，是学生最感头疼的，也是学生最易出错的。为此，下面介绍通过向量数量积解决线性规划问题的方法，这种方法尽量避开以上两个难点，使解法更直观，更简单，更不易出错。2. 向量的数量积法把看成平面内的向量与的数量积，即。因为为定值，所以当且仅当取最大值（最小值）时，z取最大值（最小值），即当且仅当在上的射影取最大值（最小值）时，z取最大值（最小值）（注意：在正方向上的射影是正

6、值，在负方向上的射影是负值）。这样目标函数在约束条件下的最大值（最小值）问题，就转化为研究点O与可行域内的任意一点N所组成的向量在上的射影的最大值（最小值）问题。即线性规划最大值（最小值）问题就转化为一向量在另一向量上的射影的最大值（最小值）问题。例4若实数，满足，求的最小值。解：设是向量与的数量积。因为，所以当且仅当取最小值时z取最小值，即当且仅当在上的射影OP取最小值时，取得最小值。如图，当点N与点B（4，-2）重合时，在负方向上的射影OP取最小值，所以最小值为。3. 顶点法目标函数的最优解肯定在可行区域的顶点上（这个命题可以证明）。因此，首先求约束表示的可行区域顶点的坐标，代入目标函数，然后从计算出来的几个函数值里面选最大（或最小）的即可。把约束条件中的每两个不等式组成一个方程组，方程组的解是两条边界线的交点。有些交点肯能不属于可行区域，所以每个交点必须代入约束条件检验不等式是否成立。若不成立排除这个交点（它不属于可行区域）；若成立它是可行区域的顶点。例5.求满足线性约束条件的目标函数的最大值和最小值。解：先找出约束条件表示的可行区域的顶点。，的解分别为A（1,1），B（0,3），C（，0），D（0，），E（3,0），F（0,0）。其中B和E不满足约束条件，所以排除。可行区域是以点