追及与相遇问题详解

1、追及与相遇问题 刘玉平课时安排：3课时三维目标：1、 掌握匀变速直线运动的速度、位移公式以及速度位移公式；2、 能灵活选用合适的公式解决实际问题；3、 通过解决实际问题，培养学生运用物理规律对实际生活中进行合理分析、解决问题的能力；4、 通过教学活动使学生获得成功的愉悦，培养学生参与物理学习活动的兴趣，提高学习自信心。教学重点：灵活选用合适的公式解决实际问题；教学难点：灵活选用合适的公式解决实际问题。教学方法：启发式、讨论式。教学过程两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。因此应分别对两物体进行研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系

2、求解。一、 追及问题1、追及问题的特征及处理方法：“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种： 初速度比较小（包括为零）的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上。a、追上前，当两者速度相等时有最大距离；b、当两者位移相等时，即后者追上前者。 匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，存在一个能否追上的问题。判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。 a、当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者，则永远追不上，此时两者间有最小距离； b、若两者速度相等时，两者的位移也相等，则恰能追上，也是两者

3、避免碰撞的临界条件；c、若两者速度相等时，追者位移大于被追者，说明在两者速度相等前就已经追上；在计算追上的时间时，设其位移相等来计算，计算的结果为两个值，这两个值都有意义。 即两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个较大值。 匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，情形跟类似。 匀速运动的物体甲追赶同向匀减速运动的物体乙，情形跟类似；被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。2、分析追及问题的注意点： 要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好

4、追不上等。两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。 若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意图象的应用。二、相遇 同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。 相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。【典型例题】【例1】 在十字路口，汽车以0.5m/s2的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以5m/s的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：（1） 汽车追上自行车之前，什么时候它们相距最远？最远距离是多少？（2） 在什么地方汽车追上自行

5、车？追到时汽车的速度是多大？解：汽车追上自行车之前，两车速度相等时相距最远，设所用时间为t v汽atv自 t10s 最远距离xx自x汽v自tat225m设汽车追上自行车所用时间为t 此时x自x汽 v自ta t2 t20s 此时距停车线距离 xv自t100m 此时汽车速度 v汽a t10m/s【例2】 客车以30m/s的速度行驶,突然发现前方72 m处有一自行车正以6m/s的速度同向匀速行驶,于是客车紧急刹车,若以3m/s2的加速度匀减速前进,问：（1） 客车是否会撞上自行车?若会撞上自行车，将会在匀减速前进多久时撞上？（2） 若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时距离自行车至少多远？（3） 若

6、要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时的加速度至少多大？1） 速度相等时用时t，则30-3t=6m/s解得t=8s，此时自行车行驶6*8=48m，客车行驶30*8-1/2*3*8*8=144,72+48=120m<144m,所以会撞上。假设t时刻撞上，则有30*t-1/2*3t2=72+6*t解得t1=4s，t2=12s（舍去）2）不会撞上则速度相同时刚好不会撞上。由（1）中得144=48+S，所以至少相差96m【例3】 在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面作初速度为15m/s，加速度大小为0.5m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使：（

7、1）两车不相遇；（2）两车只相遇一次；（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）。a=-0.5 v1=10 v2=15当甲车减速为v=10时，两车速度相同。即之后甲车速度小于乙车。设甲车v=10时，辆车正好相遇。t=(v1-v2)/a=10.s甲=v2*t+at2/2=15*10-0.5*10*10/2=125s乙=v1*t=100L=s甲-s乙=25（m）即当L<25时为两车相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动） 当L=25时为两车只相遇一次 当L>25时为两车不相遇ABSV1V2【例4】 如图,A、B两物体相距S=7米,A正以V1=4米/秒的速度向右做匀速直线运

8、动,而物体B此时速度V2=10米/秒,方向向右,做匀减速直线运动(不能返回),加速度大小a=2米/秒2,从图示位置开始计时,经多少时间A追上B.解: 物体B的运动时间为 秒 在此时间内B前进了 米 这时A前进了 米可见在此时间内A没有追上B,必须在B停止后,A才能追上B.故A追上B的时间为: 秒【例5】 一辆摩托车行驶的最大速度为30m/s。现让该摩托车从静止出发，要在4分钟内追上它前方相距1千米、正以25m/s的速度在平直公路上行驶的汽车，则该摩托车行驶时，至少应具有多大的加速度？解：假设摩托车一直匀加速追赶汽车。则：V0t+S0 （1）a =（m/s2） （2）摩托车追上汽车时的速度： V

9、 = at = 0.24´240 = 58 (m/s) （3）因为摩托车的最大速度为30m/s，所以摩托车不能一直匀加速追赶汽车。应先匀加速到最大速度再匀速追赶。 （4） Vm at1 （5）由（4）（5）得：t1=40/3（秒） a=2.25 (m/s)【例6】汽车以1m/s2的加速度起动，同时车后60m远处有一人以一定速度V0匀速追赶要车停下已知人在离车小于20m，且持续时间为2s喊停车，方能把停车信息传达给司机，问V0至少要多大？如果以V0=10m/s的速度追车，人车距离最小值应为多少？解：方法一、 设经过时间T人和车相距20m，则根据位移关系可得 60 m1/2aT²

10、;V0T20m将a1m/ s2代入上式并整理得 T 22V0T800设为该方程的两个根，由韦达定理有 T1T22V0 T1·T280 又因为人车相距20m以内的时间至少持续2s，所以有 T1T22 解可得的最小速度为9m/s。当V010m/s时经过一段时间t后人车之间距离为d1/2aT 260V0T1/2T 210T601/2(T10) 210当T10s时,d取得最小，即人与车的最小距离为10m。点评 本题可以有多种解法，相比较而言用韦达定理和配方法求解更为简便一些，这种简便不仅体现在求解运算上，更体现在解题思路上。方法二、已知人在离车小于20m，且保持时间为2s喊停车方能把停车信息

11、转达到司机，那么题意就是当距离为20m后，再经过2s，距离仍然不超过这个范围。相当于人追赶了车40m.所以有，vt-1/2at2=40 同时v(t+2）-1/2a (t+2)2=40 -得 t=v/a+1 将代入得最小速度v = 9m/s.如果10m/s，当然是车的速度也是10m/s的时候，距离最小。所以最小距离=60-10*10-1/2*102=10m 方法三、因为人在离车距离小于20m.持续时间为2s喊停车.才能把信息传给司机.经过时间t后人与车相距为20m 即 1/2at2+60-vot=20 此时车速为at ，接下来2s内保持20m距离即 2vo=at2+1/2a22. 解得

12、 t=8s. vo=9m/s方法四、 根据题意，要在汽车的速度达到V之前，人与车的距离小于20m，因为如果在汽车速度达到V的时候人车的距离还大于20m，那汽车在加速，速度变得比人快，人车的距离就在变大了，永远超都追不上了，同时也不能等于，因为人在叫的时候要2秒，那会儿，汽车还在行进，我们的目标是要使人在叫的过程中人车的距离都要小于20m,既然这样那就分析当人叫完两秒的时候的情况。人距车的距离关于t=v/a对称，也就是说t=v/a+1也就是t=v+1（因为a=1）时，人距车必须小于20米，有60+1/2*(v+1)2-v*(v+1)<=20,解出v就o了方法五、根据判别式等于零来求解。作业

13、：1一辆值勤的警车停在公路边。当警员发现从他旁边以v=8ms的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶。经2.5s，警车发动起来，以加速度a=2ms2做匀加速运动，试问：（1）警车要多长时间才能追上违章的货车?（2）在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多大?解析：方法1、利用速度相等这一临界条件求解，警车和货车速度相等时相距最远。v警=at，v货=v0，由v警=v货得at1=v0即相距最远时警车所用的时间为t1=4s此时货车和警车前进的距离分别为 x货=v0（t0+t1）=8ms×（2.5s+4s）=52ms警=×2ms2×（4s）2=16m两车的最大距离为

14、xmax=x货x警=52m16m=36m两车的位移分别为x警=，x货=v0（t+t0）追上时两车位移相等x警=x货，即= v0（t+t0）解得追上时所用时间t2=10s。方法2、利用二次函数的知识求解。货车和警车的位移分别为x警= ，x货=v0（t+t0），两车的位移之差为x=x货x警=v0（t+t0）=t2+8t+20=（t4）2+36当t=4s时，x有最大值36m，即追上之前相距最大为36m。当t=l0s时，x=0，即相遇。2客车以20m/s的速度行驶,突然发现同轨道前方120处有一货车正以5m/s的速度同向匀速行驶,于是客车紧急刹车,若以0.9m/s2的加速度匀减速前进, 问：（1） 客

15、车是否会撞上货车?若会撞上货车，将会在匀减速前进多久时撞上？（2） 若要保证客车不会撞上货车，客车刹车时距离货车至少多远？（3） 若要保证客车不会撞上货车，客车刹车时的加速度至少多大？3甲、乙两车在同一条平直公路上行驶，甲车以v1=10m/s的速度做匀速运动，经过车站A时关闭油门以a1=4m/s2的加速度匀减速前进。2s后乙车与甲车同方向以a2=1m/s2的加速度从同一车站A出发，由静止开始做匀加速直线运动。问乙车出发后经多长时间追上甲车？解析： 解法一（公式法）：甲、乙两车自同一地点于不同时刻开始运动，乙车出发时甲车具有的速度为m/sm/s=2 m/s，此时离甲车停止运动的时间 s=0.5s

16、。根据题设条件，乙车在0.5s内追不上甲车，也就是说乙车追上甲车时，甲车已经停止了运动。甲车停止时离车站A的距离m=12.5m，设乙走完这段路程所需的时间为t，由得s=5s。故乙车出发后经过5s追上甲车。联想 求解本题最易犯的错误是：根据追上的条件 ，有 ，MMMM图237sxAxBvAvB代入数据可得t=2.6s。错误的原因在于对汽车等运输工具做减速运动的实际规律理解不深。本题中甲车在被乙车追上前已停止运动。上述计算的实质是认为甲车速度减为0后又反向加速运动，所以计算出与乙车相遇的时间就短了。4在水平直轨道上有两列火车A和B相距s。A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动；

17、而B车同时做初速度为0、加速度大小为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足的条件。解析： 要使两车不相撞，A车追上B车时其速度最多只能与B车速度相等。设A、B两从相距s到A车追上B车时，A车的位移为xA，末速度为vA，所用时间为t；B车的位移为xB，末速度为vB，运动过程如图237所示。 现用四种方法求解。解法一（利用位移公式和速度公式求解）：对A车有 ，。对B车有 ，。两车有 ，追上时，两车刚好不相撞的条件是 ，由以上各式联立解得 。故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是 v0。解法二（利用速度公式和速度位移关系式求解）：两车刚好不相撞的临界

18、条件是：即将追上时两车速度相等。设此速度为v，A车追上B车前，A车运动的时间为 ，B车运动的时间为 , 因为，所以 ，即 A车的位移 ， B车的位移 ，因为，所以 。 即 两式联立解得 。故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是 v0。解法三（利用判别式解）：由解法一可知，即 ，整理得  。这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式0时，t无实数解，即两车不相撞。故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是 v0。解法四（用速度图象解）：如图238所示，先作A、B两车的速度图象。设经过时间t两车刚好不相撞，则图238Ottvvv0AB对A车有 ，对B车有 ，由以上两式

19、联立解得 。经时间t两车的位移之差，即为原来两车间的距离s，它可用速度图象中阴影部分的面积表示，由速度图象可知 。故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是 v0。联想 分析解决两物体的追及、相遇类问题，应首先在理解题意的基础上，认清两物体在位移、速度、时间等方面的关联，必要时须画出运动关联的示意图。这类问题的特殊之处是常与极值条件或临界条件相联系。分析解决这类问题的方法有多种，无论哪一种方法，分析临界条件、解决相关的临界条件方程或用数学方法找出相关的临界值，是解决这类问题的关键和突破口。5甲、乙两车相距为s，同时同向运动，乙在前面做加速度为a1、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度

20、为a2、初速度为v0的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系。解析 解法一（物理方法）：由于两车同时同向运动，故有  v甲= v0+ a2t，v乙= a1t。    （1）当a1<a2时，a1t< a2t，可得两车在运动过程中始终有v甲> v乙.。由于原来甲车在后，乙车在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然追上乙车。由于甲车追上乙车时v甲> v乙，所以甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次。（2）当a1= a2时，a1t= a2t，v甲> v乙，因此甲、乙两车也只

21、能相遇一次。     （3）当a1>a2时，a1t>a2t，v甲和v乙的大小关系会随着运动时间的增大而发生变化.。刚开始a1t和a2t相差不大且甲有初速度v0，所以v甲> v乙.。随着时间的推移，a1t和a2t相差越来越大，当a1t-a2t= v0时，v甲= v乙，接下来a1t-a2t> v0，则有v甲<v乙。若在v甲= v乙之前，甲车还没有超过乙车，随后由于v甲<v乙，甲车就没有机会超过乙车，即两车不相遇；若在v甲= v乙时，两车刚好相遇，随后由于v甲<v乙，甲车又要落后乙车，这样两车只能相遇一次；若在v甲=

22、v乙之前，甲车已超过乙车，即已相遇一次，随后由于v甲<v乙，甲、乙距离又缩短，直到乙车反超甲车时，再相遇一次，则两车能相遇两次。方法二(数学方法）： 设经过时间t两车能够相遇，由于 ， ，相遇时有，则 ，所以 。  （1）当a1<a2时，t只有一个解，则相遇一次。  （2）当a1= a2时，所以.。t只有一个解，则相遇一次。  （3）当a1>a2时，若，t无解，即不相遇；若，t只有一个解，即相遇一次；若，t有两个正解，即相遇两次。联想 以上两种解法，正好体现了解答物理问题的两种典型思路。方法一从比较两车的速度关系和位

23、移关系出发，经过仔细而严密的逻辑推理，得出了不同条件下的不同结果。这种解法注重物理过程的分析，物理情景比较清楚。方法二先假设两车相遇，由两车位移之间的关系列出求解相遇时间的方程，然后再对方程解的个数展开讨论。这种解法的特点是将物理问题转化为数学问题，充分运用数学规律和技巧使问题得以解决，论述简洁明了。6 羚羊从静止开始奔跑，经过s1=50m的距离能加速到最大速度v1=25m/s，并能维持一段较长的时间。猎豹从静止开始奔跑，经过s2=60m的距离能加速到最大速度v2=30m/s，以后只能维持这个速度4.0s。设猎豹距离羚羊x时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0s开始奔跑，假设羚羊和猎豹在加速

24、阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，问：(1) 猎豹要在达最大速度且未减速前追到羚羊，x值应在什么范围？ (2) 猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x值应在什么范围？解析： (1) 猎豹在达最大速度且尚未减速前追到羚羊，即猎豹的运动只能是先匀加速运动后匀速运动。设猎豹在维持最大速度的时间t内追到羚羊，由题意知t4.0s。现在我们首先探索的问题是：当猎豹追上羚羊时，羚羊的运动情况如何？为此，我们可先分别求出羚羊和猎豹做加速运动的加速度和时间。羚羊做加速运动的加速度为  m/s2=6.25m/s2，羚羊做加速运动的时间为  s=4.0s；而猎豹做加速运动的加速度为 m/s2=7

25、.5m/s2，猎豹做加速运动的时间为 s=4.0s。若猎豹刚达到最大速度时追上羚羊，则羚羊只加速了t=3s，有 mm=32m；若猎豹刚要减速时追上羚羊，则有 mmm=55m。由此可知，猎豹要在达最大速度且未减速前追到羚羊，x值应为 32mx55m。(2) 羚羊刚要开始奔跑时，猎豹已前进的距离m=3.75m。由此可知。猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x值应为  3.75mx32m。联想： 本题的求解告诉我们，研究物体的运动，首先要分析清楚物体的运动过程。特别是当物体有多个运动阶段时，必须明确问题所研究的是运动的哪一个阶段。当问题涉及多个物体的运动时，应先分别独立研究各个物体的运动，然后找出它们之间的联系。7甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v1=16m/s的初速度，a1=-2m/s2的加速度作匀减速直线运动，乙车以v2=4ms的速度，a2=1m