应力状态与强度理论

1、 第一节第一节 概述概述 第二节第二节 平面应力状态分析平面应力状态分析主应主应力力第三节第三节 强度理论及其应用强度理论及其应用1、一点处的应力状态、一点处的应力状态1 1 概述概述 构件内一点处各截面方向上的应力的情况，构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称为该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元称为该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元体表面上的应力表示。体表面上的应力表示。目的：目的：通过应力状态分析求出该点处的通过应力状态分析求出该点处的 max、 max及其作用面，从而更好地进行强度分析。及其作用面，从而更好地进行强度分析。 单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上单元体每个面上

2、应力均布；每对相互平行面上的性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截的性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上的应力。面上的应力。单元体如何取？单元体如何取？ 在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量dx、dy和和dz，如下图所示。，如下图所示。dydzdxzxy 对单轴或纯剪切应力状态，可由实验测得的对单轴或纯剪切应力状态，可由实验测得的相应的材料许用应力来建立正应力和切应力强度相应的材料许用应力来建立正应力和切应力强度条件。条件。2、强度理论、强度理论 而

3、当一点处的应力状态较为复杂时，因应力而当一点处的应力状态较为复杂时，因应力的组合形式有无限多的可能性，不可能由实验的的组合形式有无限多的可能性，不可能由实验的方法来确定每一应力组合下材料的极限应力，因方法来确定每一应力组合下材料的极限应力，因此需确定引起材料破坏的共同因素。此需确定引起材料破坏的共同因素。 关于材料破坏的共同因素（即破坏规律）的假关于材料破坏的共同因素（即破坏规律）的假说，即称为说，即称为强度理论强度理论。可根据强度理论来建立强度。可根据强度理论来建立强度条件。条件。2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析主应力主应力 对图对图a所示悬臂梁上所示悬臂梁上A点处单元体上的应力分点

4、处单元体上的应力分布（图布（图b）可见：有一对平面上的应力等于零，而）可见：有一对平面上的应力等于零，而不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。AF(a) adcbAabdc(b) adcbA 该应力状态则称为平面该应力状态则称为平面应力状态，其单元体可简化应力状态，其单元体可简化为左图所示情形。为左图所示情形。1、斜截面上的应力、斜截面上的应力已知如下图已知如下图a（或图（或图b）所示的一平面应力状态：）所示的一平面应力状态：xyzabcdxyyx(a) xyyxyxxyefanadabcxyyxxyx(b) xxyyyxy 可由截面法求与前、后两平面

5、垂直的斜截面可由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面上应力。上应力。如图如图b所示，斜截面所示，斜截面ef的外法线与的外法线与x轴间的轴间的夹角为夹角为a a，称为，称为a a截面。截面。应力的正负和斜截面夹角的正负规定应力的正负和斜截面夹角的正负规定：1）正应力）正应力 拉为正，压为负；拉为正，压为负；2）切应力）切应力 使单元体产生顺时针旋转趋势为正；使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反之为负；反之为负；3）对）对a a角，角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法线重合时，其值为正；反之为负。外法线重合时，其值为正；反之为负。 取图取图c所示分离体进行分析。图所示

6、分离体进行分析。图c中所示斜截中所示斜截面上应力为正，斜截面夹角为正。面上应力为正，斜截面夹角为正。efbyxxyaaa(c) xy 0ndd coscosd cossind sinsind sincos0 xxyyyxAAAAAaaaaaaaaa 由图由图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法所示体元上各面上的力的平衡，参考法线线n和切线和切线t方向可得：方向可得：ntydAsina(d) bfyxdAsinaadAxydAcosaeadAxdAcosacos2sin222xyxyxyaaa由此可得，任一斜截面上的应力分量为：由此可得，任一斜截面上的应力分量为： 0tdd cossind co

7、scosd sincosd sinsin0 xxyyyxAAAAAaaaaaaaaa其中其中dA为斜截面为斜截面ef的面积。的面积。sin2cos22xyxyaaa解解：C点应力状态如图点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：所示，其拉应力和切应力为：MPa7 .6310041050023AFx例例1 图示圆轴中，已知：圆轴直径图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向，轴向拉力拉力F=500kN，外力矩，外力矩Me=7kNm。求。求C点点a a = -30截面上的应力。截面上的应力。(b)Cxxxxxyyy(a)xTFTCF3000cos60sin602216.9MPaxxxy 300

8、sin2cos245.4MPa2xxyaa 图示斜截面上应力分量为：图示斜截面上应力分量为：MPa7 .351001610736PeWMxyCxxxxxyyy30n-30-302、应力圆、应力圆由任一斜截面上应力分量的计算公式可得：由任一斜截面上应力分量的计算公式可得： cos2sin222xyxyxyaaasin2cos22xyxyaaa两式两边平方后求和可得：两式两边平方后求和可得：222222xyyxyxaa而圆方程为：而圆方程为： 222Rbyax 可见前式实际上表示了在可见前式实际上表示了在 为水平轴、为水平轴、 为垂直为垂直轴的坐标系下的一个圆，其圆心坐标为：轴的坐标系下的一个圆，

9、其圆心坐标为：0,2yx半径为：半径为：222xyyxR如下图。如下图。 单元体斜截面上应力（单元体斜截面上应力（ a a， a a）和应力圆上点）和应力圆上点的坐标（的坐标（ a a， a a）一一对应，因此可通过确定应力）一一对应，因此可通过确定应力圆上相应点的坐标来求斜截面上应力（圆上相应点的坐标来求斜截面上应力（ a a， a a）。）。 因为圆心一定在因为圆心一定在 轴上，只要知道应力圆上的轴上，只要知道应力圆上的两点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力两点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力圆。圆。OC222xyx2yx) ,(aa222xyyx1）应力图的画法应力图的画法

10、xyxD,1yxyD,2已知已知 x、 y、 xy、 yx，如右图，假定如右图，假定 x y。在在 、 坐标系内按比例尺确定两点：坐标系内按比例尺确定两点：xyxD,1yxyD,2dabcefaxyyxyxnaxxyxyyxy 以以C为圆心，线段为圆心，线段CD1或或CD2为半径作圆，即为应为半径作圆，即为应 力圆。力圆。 连接连接D1、D2两点，线段两点，线段D1D2与与 轴交于轴交于C点。点。xyxD,1yxyD,2CxyxD,1yxyD,2C2）证明证明对下图所示应力圆可见对下图所示应力圆可见C点的点的横坐标为：横坐标为： 从从D1点按斜截面角点按斜截面角a a的转向转的转向转动动2a

11、a得到得到E点，该点的坐标值点，该点的坐标值即为斜截面上的应力分量值。即为斜截面上的应力分量值。xxD,1yyD,2C2aEOC2FA1B1B2A2D1D2Exyyx12a02aCBOBOC22由于由于CBDCBD1122可得：可得：CBCB12222/212yxyxyBBOBOC因此，因此，C点坐标为应力圆圆心坐标，并且点坐标为应力圆圆心坐标，并且22211221122xyyxDBBBCD 该线段长度等于应力圆半径。该线段长度等于应力圆半径。从而证明上述从而证明上述圆确为应力圆。圆确为应力圆。则：则：应力圆应力圆另外，另外，E点横坐标为：点横坐标为： sin2cos22xyExyEFaaaa

12、aaaaa2sin2sin2cos2cos22cos000CECEOCCEOCCFOCOFE可见，可见，E点坐标值即为点坐标值即为a a斜截面上的应力分量值。斜截面上的应力分量值。cos2sin222xyxyExyaaa即：即：同理可得同理可得E点的纵坐标为：点的纵坐标为：应力圆应力圆 由于应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分由于应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分量值一一对应，因此，按比例作图，可通过直接用量值一一对应，因此，按比例作图，可通过直接用尺子量出坐标值来求任意斜截面上的应力分量，此尺子量出坐标值来求任意斜截面上的应力分量，此即称为图解法。即称为图解法。解解：按一定比例画出应力圆。

13、：按一定比例画出应力圆。 0MPa7 .63x0yMPa7 .35yxxy例例2 用图解法求图示用图解法求图示a a = -30斜截面上的应力值。斜截面上的应力值。因为图示应力状态有：因为图示应力状态有：x30 x=35.7MPax=63.7MPayn 按一定比例，作出应按一定比例，作出应力圆，并找到斜截面对应力圆，并找到斜截面对应的点，量取其坐标可得：的点，量取其坐标可得： 3017MPa3046MPa 7 .357 .63，xD7 .35 0，yD则则x、y截面在应力圆上两点为：截面在应力圆上两点为：EDy(0, 35.7)Dx(63.7,-35.7)60-30-30， )20MPa圆上一

14、点，体上一面；圆上一点，体上一面；圆上半径，体上法线；圆上半径，体上法线；转向一致，数量一半；转向一致，数量一半；直径两端，垂直两面。直径两端，垂直两面。应力圆和单元体的对应关系应力圆和单元体的对应关系3、主平面和主应力、主平面和主应力对图对图a所示应力状态，作出应力圆（图所示应力状态，作出应力圆（图b）。）。1a01330,max1A 0,min2A主平面：剪应力主平面：剪应力 =0的平面；的平面；主应力：主平面上的正应力。主应力：主平面上的正应力。321321可证明：可证明：并规定：并规定：可见：可见：xy(a)ODyDxCA2A12a0(b)OC2FA1B1B2A2D1D2Exyyx12

15、a02a返回返回；3211OAOA02具体值可在应力圆上量取，即：具体值可在应力圆上量取，即：主平面位置主平面位置：图：图a中中 1主平面的方位角主平面的方位角a a0对应于应力对应于应力 圆（图圆（图b）上的圆心角）上的圆心角2a a0。 主应力值和主应力平面的计算：主应力值和主应力平面的计算： 由图由图b可见，可见，A1、A2两点的横坐标为：两点的横坐标为：11CAOCOA22CAOCOA应力圆应力圆yxxyCBBDa22tan111022122xyyxyx22322xyyxyx由此可得两个主应力值为：由此可得两个主应力值为：因为因为 1主平面方位角的两倍主平面方位角的两倍对应于应力圆上对

16、应于应力圆上2a a0，而，而 应力圆应力圆所以，所以， 1主平面方位角主平面方位角a a0为：为： yxxya2arctan2102231minmax22xyyxR）（半径对应的最大切应力为：对应的最大切应力为：xyyxa22tan142tan12tan1010aaaa应力圆应力圆例例 3 求图求图a所示应力状态的主应力及方向。所示应力状态的主应力及方向。MPa100 xMPa40 xyMPa30yMPa40yx40,100 xD 40,30yD解解：1、应力圆图解法：、应力圆图解法：因为：因为：所以：所以：按一定比例作出应力圆（图按一定比例作出应力圆（图b）。）。yx30MPa100MPa

17、=40MPax(a)DxDyA3A12a0(b)MPa403MPa110102163020a 8150a 由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大小关系可得：小关系可得：由此可得：由此可得：主应力单元体以及主平面的方位如图主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：所示：1a01yx(c)2、解析法、解析法 ：MPa11022221xyyxyxMPa4022223xyyxyx1383010040222tan0yxxya163020a02 8150a所以：所以：7-3 7-3 强度理论及其应用强度理论及其应用1 1、概述、概述 0maxn 1 1）单向应力状态单向

18、应力状态： 图示拉伸或压缩的单向应力状态，材料的破图示拉伸或压缩的单向应力状态，材料的破坏有两种形式：坏有两种形式：塑性屈服：极限应力为塑性屈服：极限应力为2 . 0p0或s脆性断裂：极限应力为脆性断裂：极限应力为b0 此时，此时， s、 p0.2和和 b可由实验测得。由此可建可由实验测得。由此可建立如下强度条件：立如下强度条件：其中其中n为安全系数。为安全系数。0maxn2)2)纯剪应力状态纯剪应力状态： 图示纯剪应力状态，材料的破图示纯剪应力状态，材料的破坏有两种形式：坏有两种形式：塑性屈服：极限应力为塑性屈服：极限应力为s0脆性断裂：极限应力为脆性断裂：极限应力为b0 其中，其中， s和

19、和 b可由实验测得。由此可建立如下可由实验测得。由此可建立如下强度条件：强度条件：max3 3）复杂应力状态复杂应力状态xx来建立，因为来建立，因为 与与 之间会之间会相互影响。相互影响。 研究复杂应力状态下材料破坏的原因，根据一研究复杂应力状态下材料破坏的原因，根据一定的假设来确定破坏条件，从而建立强度条件，这定的假设来确定破坏条件，从而建立强度条件，这就是强度理论的研究内容。就是强度理论的研究内容。对图示平面应力状态，不能分别用对图示平面应力状态，不能分别用max4 4）材料破坏的形式材料破坏的形式 塑性屈服型：塑性屈服型：常温、静载时材料的破坏形式大致可分为：常温、静载时材料的破坏形式大

20、致可分为： 脆性断裂型：脆性断裂型：铸铁：拉伸、扭转等；铸铁：拉伸、扭转等；低碳钢：三向拉应力状态。低碳钢：三向拉应力状态。低碳钢：拉伸、扭转等；低碳钢：拉伸、扭转等；铸铁：三向压缩应力状态。铸铁：三向压缩应力状态。例如：例如：例如：例如： 可见：可见：材料破坏的形式不仅与材料有关，还与材料破坏的形式不仅与材料有关，还与应力状态有关。应力状态有关。 根据一些实验资料，针对上述两种破坏形式，根据一些实验资料，针对上述两种破坏形式，分别针对它们发生破坏的原因提出假说，并认为不分别针对它们发生破坏的原因提出假说，并认为不论材料处于何种应力状态，某种类型的破坏都是由论材料处于何种应力状态，某种类型的破

21、坏都是由同一因素引起，此即为同一因素引起，此即为强度理论强度理论。maxl脆性断裂：脆性断裂：maxl塑性屈服：塑性屈服：maxdV5 5）强度理论强度理论常用的破坏判据有：常用的破坏判据有： 下面将讨论常用的、基于上述四种破坏判据的下面将讨论常用的、基于上述四种破坏判据的强度理论。强度理论。2 2、四个常用的强度理论、四个常用的强度理论 01强度条件：强度条件：01n1 1）最大拉应力理论最大拉应力理论( (第一强度理论第一强度理论) ) 假设最大拉应力假设最大拉应力 1是引起材料脆性断裂的因是引起材料脆性断裂的因素。不论在什么样的应力状态下，只要三个主应素。不论在什么样的应力状态下，只要三

22、个主应力中的最大拉应力力中的最大拉应力 1达到极限应力达到极限应力 0，材料就发，材料就发生脆性断裂，即：生脆性断裂，即：可见：可见：a) 与与 2、 3无关；无关； b) 应力应力 0可用单向拉伸试样发生脆性断裂的可用单向拉伸试样发生脆性断裂的 试验来确定。试验来确定。实验验证：实验验证：铸铁：单拉、纯剪应力状态下的破坏与铸铁：单拉、纯剪应力状态下的破坏与该理论相符；平面应力状态下的破坏和该理论基本该理论相符；平面应力状态下的破坏和该理论基本相符。相符。存在问题：存在问题：没有考虑没有考虑 2、 3对脆断的影响，无法解对脆断的影响，无法解释石料单压时的纵向开裂现象。释石料单压时的纵向开裂现象

23、。2）最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论(第二强度理论第二强度理论)实验验证：实验验证： a) 可解释大理石单压时的纵向裂缝；可解释大理石单压时的纵向裂缝； b) 铸铁二向、三向拉应力状态下的实验不符；铸铁二向、三向拉应力状态下的实验不符； c) 对铸铁一向拉、一向压的二向应力状态偏于对铸铁一向拉、一向压的二向应力状态偏于 安全，但可用。安全，但可用。强度条件为：强度条件为：0321n 第一、二强度理论都是以第一、二强度理论都是以脆性断裂脆性断裂作为破作为破坏标志的。坏标志的。231max0max 对低碳钢等塑性材料，单向拉伸时的屈服是对低碳钢等塑性材料，单向拉伸时的屈服是由由45斜截面上的

24、切应力引起的，因而极限应力斜截面上的切应力引起的，因而极限应力 jx可由单拉时的屈服应力求得可由单拉时的屈服应力求得，即：，即：02s常3）最大切应力理论最大切应力理论(第三强度理论第三强度理论) 假设最大切应力假设最大切应力 max是引起材料塑性屈服的因是引起材料塑性屈服的因素，则：素，则：因为：因为：实验验证：实验验证：c) 二向应力状态基本符合，偏于安全。二向应力状态基本符合，偏于安全。b) 仅适用于拉压性能相同的材料。仅适用于拉压性能相同的材料。由此可得，强度条件为：由此可得，强度条件为：31nsa) 仅适用于拉压性能相同的材料；仅适用于拉压性能相同的材料；b) 低碳钢单拉低碳钢单拉(

25、压压)时时45 滑移线吻合；滑移线吻合；存在问题：存在问题：a)没考虑没考虑 2对屈服的影响，偏于安全，对屈服的影响，偏于安全，但误差较大；但误差较大； 假设形状改变能密度假设形状改变能密度vd是引起材料塑性屈服的是引起材料塑性屈服的因素，即：因素，即： jxvvdds10324）形状改变能密度理论形状改变能密度理论(第四强度理论第四强度理论)因为材料单拉屈服时有：因为材料单拉屈服时有： jxvd可通过单拉试验来确定。可通过单拉试验来确定。所以：所以： 2d261sjxEv231232221d61Ev又：又：s2312322212121231232221ns因此：因此：由此可得强度条件为：由此可得强度条件为：实验验证：实验验证：a) 较第三强度理论更接近实际值；较第三强度理论更接近实际值；b) 材料拉压性能相同时成立。材料拉压性能相同时成立。 第三、四强度理论是以出现第三、四强度理论是以出现塑性屈服塑性屈服或发生或发生显著显著塑性变形塑性变形为破坏标志的。为破坏标志的。近似包络线近似包络线极限应力