第4章位错的弹性性质

1、4.1 弹性力学基础知识弹性力学基础知识所谓弹性连续介质，是对晶体作了简化假设之后提所谓弹性连续介质，是对晶体作了简化假设之后提出的模型：出的模型：(1) 晶体是完全晶体是完全弹性体弹性体，因此服从胡克定律；，因此服从胡克定律；(2) 晶体是晶体是各向同性各向同性的的，因此其弹性常数（弹性模因此其弹性常数（弹性模量、泊松比等）不随方向而变化；量、泊松比等）不随方向而变化；(3) 晶体晶体内部由内部由连续介质连续介质组成，因此晶体中的应力、组成，因此晶体中的应力、应变、位移可用连续函数表示。应变、位移可用连续函数表示。1）弹性连续介质弹性连续介质 A A在在 m-m截面上截面上P点处点处定义：定

2、义：FSFNFAFNA0limAFSA0limAFpA0lim p物体在受力状态下，其内部不同部分之间互相产生作用物体在受力状态下，其内部不同部分之间互相产生作用力，这种作用力称为内力。作用在某点处的内力，在该力，这种作用力称为内力。作用在某点处的内力，在该点的微面积上的集度点的微面积上的集度p，叫该点处的应力。叫该点处的应力。2）应力应力变形体内某点处取出的边长无限小的体积微元变形体内某点处取出的边长无限小的体积微元在直角坐标系下，单元体为无限小正六面体在直角坐标系下，单元体为无限小正六面体xyzxyz单元体的三对表面：单元体的三对表面：外法向与坐标轴同向：外法向与坐标轴同向：外法向与坐标轴

3、反向：外法向与坐标轴反向单元体是变形体单元体是变形体的最基本模型的最基本模型为了表达弹性体内部任意一点为了表达弹性体内部任意一点M 的应力状态，利的应力状态，利用三个与坐标轴方向一致的微分面，通过用三个与坐标轴方向一致的微分面，通过M点截点截取一个平行六面体单元取一个平行六面体单元,如图所示如图所示 xyzxyzxy该分量的指向该分量的指向所在面的法向所在面的法向xyxzxxyyyzyxzyzzzxzyzzzxyyyzyxxyxzxx两脚标相同两脚标相同正应力正应力两脚标不同两脚标不同切应力切应力xOzydzdxdyXYZO yy yy zz zz zy yz yz zy yx yx xy x

4、y xx xx zx xz zx xz正面正方向为正，负面负方向为正正面正方向为正，负面负方向为正正面负方向为负，负面正方向为负正面负方向为负，负面正方向为负应力的正负号应力的正负号圆柱坐标：用圆柱坐标：用z轴、轴、方向及方向及角来描述角来描述为表示任一点应力为表示任一点应力状态状态也是取一个体也是取一个体积元积元，其上的应力其上的应力分量也有分量也有9个，个，3个个正应力正应力 ,6个切应力个切应力棱边长度的改变量与原棱长之比棱边长度的改变量与原棱长之比 。以线段伸以线段伸长为正，线段缩短为负。长为正，线段缩短为负。正应变正应变切应变切应变原来成直角的两棱之间角度的改变量。以原来成直角的两棱

5、之间角度的改变量。以角角度减小度减小为正，以角度增大为负。为正，以角度增大为负。3）应变应变4）泊松比泊松比一般情况下，任意一点存在一般情况下，任意一点存在3636个常数个常数cijcij值。晶体的对称值。晶体的对称性越强，独立的弹性常数数目越少。在弹性连续介质中，性越强，独立的弹性常数数目越少。在弹性连续介质中，只有只有2 2个独立的个独立的cijcij值，工程上分别用值，工程上分别用E E、G G标记标记: :六个应力分量与六个应变分量之间，均遵循胡克定六个应力分量与六个应变分量之间，均遵循胡克定律律: :ijij= =cijcij。式中。式中cijcij为弹性模量，是量度材料抵抗为弹性模

6、量，是量度材料抵抗弹性变形能力的物理量。弹性变形能力的物理量。iiiiEiiiiGG G为切应变弹性模量，也叫切变模量：为切应变弹性模量，也叫切变模量：E E为正应变弹性模量，也叫杨氏模量：为正应变弹性模量，也叫杨氏模量：E和和G之间存在如下关系：之间存在如下关系：E=G/2(1-)，其中其中是表示是表示纵横变形茉系的参量，称为泊松比纵横变形茉系的参量，称为泊松比xxzzAAEuxdxuzdzECFCFdxxuuxxdxxuzdzzuxdzzuuzz5）应变与位移的关系应变与位移的关系zuxuzuyuuyuxuyuxuxzzxzzzzyyzyyyyxxyxxx z ；该式表明了一点处的位移分量

7、和应变分量所应满足的该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满足的关系，称为几何方程，也称为柯西（关系，称为几何方程，也称为柯西（AugustinAugustin-Louis -Louis CauchyCauchy）几何关系。）几何关系。4.2 位错的应力场位错的应力场位错中心部分畸变程度最为严重，超出了弹性应变范位错中心部分畸变程度最为严重，超出了弹性应变范围，不讨论。仅讨论中心区以外的弹性畸变区，借助围，不讨论。仅讨论中心区以外的弹性畸变区，借助弹性连续介质模型。假设弹性连续介质模型。假设：晶体是各向同性的均匀连晶体是各向同性的均匀连续弹性介质，位错处在无限大的连续介质中续弹性介质，位错处

8、在无限大的连续介质中。 优优 点点缺缺 点点中心区不适用，忽略晶体结构的影响中心区不适用，忽略晶体结构的影响 1）刃位错的应力场刃位错的应力场1.1.在圆柱体中心挖出一在圆柱体中心挖出一个半径为个半径为rOrO的小洞的小洞2.2.沿沿xozxoz平面从外部切平面从外部切通至中心通至中心3.3.在切开的两面上加外在切开的两面上加外力，使其沿力，使其沿x x轴作相轴作相对位移对位移b;b;再把切开的再把切开的面胶合起来面胶合起来4.4.撤去外力撤去外力这样的圆柱体与包含一个刃型位错的晶体相似。这样的圆柱体与包含一个刃型位错的晶体相似。同时存在着正应力与切应力同时存在着正应力与切应力;刃型位错的应力

9、场，对称于多余半原子面刃型位错的应力场，对称于多余半原子面; ;滑移面上无正应力，只有切应力，且其切应力最大。滑移面上无正应力，只有切应力，且其切应力最大。正刃型位错的滑移面上侧，在正刃型位错的滑移面上侧，在x x方向的正应力为压应力方向的正应力为压应力; ; 滑移面下侧，在滑移面下侧，在x x方向上的正应力为拉应力方向上的正应力为拉应力半原子面上或与滑移面成半原子面上或与滑移面成4545的晶面上，无切应力。的晶面上，无切应力。)1(2 0 )()( )( )()( )()3( 222222222222222bDyxyxxDyxyxyDyxyxyDzyyzzxxzyxxyyyxxzzyyxx2

10、）螺型位错的应力场螺型位错的应力场沿沿xz平面剖开使之沿平面剖开使之沿z轴产生相对位移轴产生相对位移b，然后再粘合。当然，然后再粘合。当然也要挖去位错线附近的严重畸变区域。也要挖去位错线附近的严重畸变区域。0222222yxxyzzyyxxzyyzzxxzyxxbyxyb只有切应力分量（只有切应力分量（z、z ），而无正应力。），而无正应力。螺型位错的应力场，是对称于位错线的。所产生螺型位错的应力场，是对称于位错线的。所产生的切应力大小只与的切应力大小只与r r的大小有关，即只与离位错的大小有关，即只与离位错线的距离成反比，而与线的距离成反比，而与无关。无关。002zzrrrzzrrrzzzr

11、b柱坐标表达柱坐标表达式式4.3 位错的应变能位错的应变能位错在周围晶体中引起畸变，使晶体产生畸变能，这位错在周围晶体中引起畸变，使晶体产生畸变能，这部分能量称为位错的应变能。部分能量称为位错的应变能。p 与位错的畸变相对应，位错的能量也可分为两部与位错的畸变相对应，位错的能量也可分为两部分：一是位错中心畸变能；二是位错中心以外的分：一是位错中心畸变能；二是位错中心以外的能量即弹性应变能能量即弹性应变能。p 根据点阵模型对位错中心能量的估算得：弹性应根据点阵模型对位错中心能量的估算得：弹性应变能占总能量的变能占总能量的90%，所以位错中心畸变能可忽，所以位错中心畸变能可忽略不计，即通常用弹性畸

12、变能表示位错的应变能。略不计，即通常用弹性畸变能表示位错的应变能。1）刃型位错的应变能刃型位错的应变能02ln)1 (4rRGbW刃2）螺型位错的应变能螺型位错的应变能02ln4rRGbW螺 ln402rRkGbW混2GbWR位错应力场最大作用范围的半径位错应力场最大作用范围的半径r0 位错中心区域的半径位错中心区域的半径混合位错的柏氏矢量与位错线的夹角混合位错的柏氏矢量与位错线的夹角由位错的类型、密度由位错的类型、密度(R值值)决定，其值决定，其值0.51.03）混合位错的应变能混合位错的应变能 cos112vvk讨讨 论论。1 1）位错的能量包括两部分：）位错的能量包括两部分：EcEc和和

13、EeEe。位错中心区的能量。位错中心区的能量EcEc一一般小于总能量般小于总能量1/10,1/10,常可忽略；而位错的弹性应变能常可忽略；而位错的弹性应变能ln(R/rln(R/r0 0),),它随它随r r缓慢地增加缓慢地增加, ,所以所以位错具有长程应力场位错具有长程应力场。2 2）位错的应变能与）位错的应变能与b b2 2 成正比。从能量的观点来看，晶体中具成正比。从能量的观点来看，晶体中具有最小有最小b b的位错应该是最稳定的，因此的位错应该是最稳定的，因此位错趋向于取位错趋向于取b b最小最小的组态的组态。3 3）W W螺螺/W/W刃刃=1-=1-，常用金属材料的，常用金属材料的约为

14、约为1/31/3，故，故螺型位错的弹螺型位错的弹性应变能约为刃型位错的性应变能约为刃型位错的2/32/3。4 4）位错的能量是以单位长度的能量来定义的，故位错能量还）位错的能量是以单位长度的能量来定义的，故位错能量还与位错线的形状有关。由于两点间以直线为最短，所以直与位错线的形状有关。由于两点间以直线为最短，所以直线位错的应变能小于弯曲位错的，即更稳定，因此线位错的应变能小于弯曲位错的，即更稳定，因此位错线位错线有尽量变直和缩短其长度的趋势有尽量变直和缩短其长度的趋势。5 5）位错的存在均会使体系的内能升高。因此，位错的存在使）位错的存在均会使体系的内能升高。因此，位错的存在使晶体处于高能的不

15、稳定状态，可见晶体处于高能的不稳定状态，可见位错是热力学上不稳定位错是热力学上不稳定的晶体缺陷的晶体缺陷。 ln402rRkGbW混1）位错的线张力位错的线张力位错的总能量与位错线的长度成正比，因此为降位错的总能量与位错线的长度成正比，因此为降低能量，位错线有缩短变直的倾向，好像沿位错低能量，位错线有缩短变直的倾向，好像沿位错线有个张力，这个张力叫位错的线张力。线有个张力，这个张力叫位错的线张力。单位长度位错线单位长度位错线的能量的能量4.4 位错的受力位错的受力物理意义物理意义位错呈三维网状分布位错呈三维网状分布rTfdrddsdTfdsF22sin, 2sin2(1) (1) 分析该位错环

16、各段位错的分析该位错环各段位错的结构类型。结构类型。(2) (2) 求各段位错线所受的力的求各段位错线所受的力的大小及方向。大小及方向。(3) (3) 在在的作用下，该位错环的作用下，该位错环将如何运动？将如何运动？(4) (4) 在在的作用下，若使此位的作用下，若使此位错环在晶体中稳定不动，其半错环在晶体中稳定不动，其半径应为多大？径应为多大？ 如图某晶体的滑移面上有一柏氏矢量为如图某晶体的滑移面上有一柏氏矢量为b b的位错环，并受到一均匀切应力的位错环，并受到一均匀切应力。例例 题题(1)(1)令逆时针方向为位错环的方向，则令逆时针方向为位错环的方向，则a a点为正刃型位点为正刃型位 错，

17、错，b b点为负刃型位错，点为负刃型位错，c c点为左螺旋位错，点为左螺旋位错，d d点为右螺旋点为右螺旋 位错。环上其它各点为混合型位错。位错。环上其它各点为混合型位错。(2)(2)各点均受力均为各点均受力均为F=F=bb，方向垂直于位错线并指向滑移面，方向垂直于位错线并指向滑移面 的未滑移区。的未滑移区。(3)(3)在应力作用下位错环在晶体中扩展，直至达到应力与位在应力作用下位错环在晶体中扩展，直至达到应力与位 错线的线张力的平衡，位错环最后在晶体中稳定不动。错线的线张力的平衡，位错环最后在晶体中稳定不动。(4)(4)使位错环不动时，作用在位错线的向心恢复力与外加应使位错环不动时，作用在位

18、错线的向心恢复力与外加应 力作用在单位位错线上的力平衡，所以：力作用在单位位错线上的力平衡，所以： rbrTbf222brc答答 案案2）外加应力场作用在位错线上的力外加应力场作用在位错线上的力 它是虚设的、驱使位错滑移的力，它必然与它是虚设的、驱使位错滑移的力，它必然与位错线运动方向一致，即处处与位错线垂直，位错线运动方向一致，即处处与位错线垂直，指向未滑移区。指向未滑移区。 虚功原理：外力使晶体变形所做的功虚功原理：外力使晶体变形所做的功=位错位错运动所作的功。运动所作的功。外力作用在晶体上后，使位错线向着与之垂直外力作用在晶体上后，使位错线向着与之垂直的方向移动，好象有个力，垂直作用在位

19、错线的方向移动，好象有个力，垂直作用在位错线上，称之为外加应力场作用在位错线上的力。上，称之为外加应力场作用在位错线上的力。bFbDlDlFWWDlFWbDlW2121虚虚 功功 原原 理理应力：单位面积上的内力应力：单位面积上的内力 作用在单位位错线上的力作用在单位位错线上的力F与外加切应力与外加切应力及柏氏矢量及柏氏矢量b成正比，由于同一位错线各成正比，由于同一位错线各点柏氏矢量点柏氏矢量b相同，所以当外加切应力均相同，所以当外加切应力均匀作用在晶体上时，位错线各点所受力的匀作用在晶体上时，位错线各点所受力的大小是相同的。大小是相同的。 作用于位错线上的力作用于位错线上的力F与外加切应力与

20、外加切应力的的方向不一定是一致的方向不一定是一致的(纯刃型位错与纯刃型位错与同向，同向，纯螺型位错与纯螺型位错与垂直垂直)。特特 点点柏氏矢量分解为：柏氏矢量分解为：kbjbibbzyxzzzyzxyzyyyxxzyxxx 应力在面积应力在面积 上的作用力为：上的作用力为：sdld )(sdld 若晶体中有一段位错线元若晶体中有一段位错线元dl,dl,它的柏氏矢量为它的柏氏矢量为b,b,在外加应力在外加应力场场作用下，位移作用下，位移dsds, ,把应力把应力场写成场写成ldkjibbbldbFzzzyzxyzyyyxxzxyxxzyx ) ( sdFWFld2 sdldbsdF 作用在位错线

21、 上的力所作的功为又：W1=W2 所以，即：sdldbWbsdldWb11 )( 时所作的功为由混合积性质得：此作用力位移例例1 1：晶体中有一位错环：晶体中有一位错环ABCDABCD，柏氏矢量为，柏氏矢量为b b，求在切应力作用下各段位错线上受力。求在切应力作用下各段位错线上受力。解：首先设位错环的正方向如解：首先设位错环的正方向如图上箭头所示，然后按力的一图上箭头所示，然后按力的一般表达式求出各段位错受力。般表达式求出各段位错受力。外加应力场为：外加应力场为：0 0 0 00 0 0zyyz0 0ybb 柏氏矢量为：柏氏矢量为： ibjkbjkjibFjbikbikjibFyyzyzyzy

22、yzyBCyyzyzyzyyzAB0 0 0 00 0 00 0)(0 0 0 00 0 00 0y 刃型、螺型位错均受力，在刃型、螺型位错均受力，在作用下，环在滑移作用下，环在滑移面上滑移，结果使环扩大，滑出表面。面上滑移，结果使环扩大，滑出表面。ibFjbFyyzDAyyzCD , 解：首先设位错环的正方向如解：首先设位错环的正方向如图上箭头所示，然后按力的一图上箭头所示，然后按力的一般表达式求出各段位错受力。般表达式求出各段位错受力。外加应力场为：外加应力场为：0 0 00 00 0 0yy0 0ybb 柏氏矢量为：柏氏矢量为：例例2 2：晶体中有一位错环：晶体中有一位错环ABCDAAB

23、CDA，柏氏矢量为，柏氏矢量为 , , 求在正应力作用下各段位错线上的受力。求在正应力作用下各段位错线上的受力。b0 , 0)(0 0 0 0 00 0 00 0)()(0 0 00 00 0 00 0 BDAyyyCDyyyyyBCyyyyyyyyABFkbFjjbikjibFkbijbikjibF 在正应力作用下，刃型位错作攀移运动，螺位错在正应力作用下，刃型位错作攀移运动，螺位错不受力，不动。不受力，不动。3）位错间的相互作用力）位错间的相互作用力两个位错靠近到一定程度，即达到它们彼此两个位错靠近到一定程度，即达到它们彼此的应力场范围以内时，就相互吸引或相互排的应力场范围以内时，就相互吸

24、引或相互排斥，好象它们之间存在着作用力，这就是位斥，好象它们之间存在着作用力，这就是位错间的相互作用力。错间的相互作用力。从能量角度看，位错有应变能，两个位错无从能量角度看，位错有应变能，两个位错无论相斥或相吸，其趋势是力求降低总的弹性论相斥或相吸，其趋势是力求降低总的弹性应变能。应变能。S1的应力场的应力场:则位错则位错S1对位错对位错S2的作用力的作用力 ：)(2221j yi xrbGbf设两平行螺型位错平行于设两平行螺型位错平行于z轴，轴，S1原点，原点，S2在（在（x,y）两个螺型位错间的相互作用力两个螺型位错间的相互作用力矢量矢量(xi+yj)正好是大小为正好是大小为r而方向由位错

25、而方向由位错b1指向位错指向位错b2的矢的矢量。无论第二个位错处于什么方向量。无论第二个位错处于什么方向(即任何即任何角角)，受到永远，受到永远沿着它们之间的连线的排斥力，其大小则为沿着它们之间的连线的排斥力，其大小则为ub1b2/2r0 0 0 0 0zyzxyzxz(1)(1)如果第二个位错是左螺型位错，则它受到的是第如果第二个位错是左螺型位错，则它受到的是第一个即右螺型位错的吸引力。即两个平行异号螺型位一个即右螺型位错的吸引力。即两个平行异号螺型位错是相吸的，同号则是相斥的。错是相吸的，同号则是相斥的。(2)(2)第二个螺型位错第二个螺型位错对第一个螺型位错施加同样大小但方向相反的力。对

26、第一个螺型位错施加同样大小但方向相反的力。(3)(3)作用力随两者的距离呈反比变化。作用力随两者的距离呈反比变化。(4)(4)因设位错线很因设位错线很长，各处均受到同样作用力。长，各处均受到同样作用力。 位错位错A、B相互作用力：相互作用力： 20 0 0 0 0 00 0 22BjyxybbikjibFBAzxyzxzAB两两相互垂直螺位错相互垂直螺位错A、B的柏氏矢量分别为的柏氏矢量分别为bA和和bB，A/z轴，轴，Bx轴轴，bB=(bB 0 0)，位错，位错B为为单位位错线长单位位错线长i讨讨 论论1.当当bA与与bB同向时，同向时，FAB0，即，即两异号相互垂两异号相互垂直的螺型位错相

27、互排斥直的螺型位错相互排斥。 222jyxybbFBAABjyxyxybGbbFiyxyxxbGbbFxxyyxx22222212222221)()3()1 (2)()()1 (2设两平行位错为设两平行位错为同号位错同号位错。将坐标原点定在位错线。将坐标原点定在位错线上，以上，以此位错线为此位错线为z z轴。位错轴。位错位于位于( (x,yx,y) )处处. .因为位错在滑移面上因为位错在滑移面上容易滑移。由位错容易滑移。由位错I I的应力的应力yxyx引起的作用于位错引起的作用于位错IIII上的力上的力F Fx x使位错使位错沿沿x x轴方向滑移，叫滑移力。由轴方向滑移，叫滑移力。由xxxx

28、引起的作用力引起的作用力F Fy y使位错使位错沿沿y y轴方向攀移，叫攀移力。轴方向攀移，叫攀移力。 两个刃型位错间的相互作用力两个刃型位错间的相互作用力2222221)()()1 (2yxyxxbGbFx讨论讨论Fx(1)(1)当当x=0 x=0即位错即位错2 2在在Y Y轴上，或轴上，或x=x=y y即位错即位错2 2在在x-yx-y坐标的坐标的4545线上时，线上时，FxFx=0=0，没有使位错，没有使位错2 2滑移的力。滑移的力。前者稳定，后者亚稳前者稳定，后者亚稳(2)xy(2)xy，即位错，即位错2 2处于处于, ,两个区间时，两个区间时，FxFx 0 0，应，应力场斥力使它力场

29、斥力使它向距向距Y Y轴更远方向滑移轴更远方向滑移，使两位错分开，使两位错分开(3)xy(3)xy，即位错，即位错2 2处于处于, , 两个区间时，两个区间时，FxFx 0 0y0，FyFy00，即指向上；当位错，即指向上；当位错e2e2在位在位错错e1e1的滑移面下边时，的滑移面下边时，y0y0，FyFy00，即指向下。，即指向下。l 同号位错沿同号位错沿y y轴方向互相排斥；异号位错沿轴方向互相排斥；异号位错沿y y轴方轴方向互相吸引向互相吸引( (进而相接而消失进而相接而消失) )两垂直的刃型位错，其垂直情况可有几种、两垂直的刃型位错，其垂直情况可有几种、但不管取哪一种，其相互作用力都表

30、现为攀但不管取哪一种，其相互作用力都表现为攀移力。移力。两刃、螺型位错间的相互作用力两刃、螺型位错间的相互作用力相互相互平行平行螺型位错的应力场没有使刃型位错受螺型位错的应力场没有使刃型位错受力的应力分量，刃型位错的应力场也力的应力分量，刃型位错的应力场也没有使螺型位错受力的应力分量，所没有使螺型位错受力的应力分量，所以两个位错间没有相互作用。以两个位错间没有相互作用。相互相互垂直垂直刃型位错线与螺型位刃型位错线与螺型位错线垂直时，因其垂错线垂直时，因其垂直情况不同，其相互直情况不同，其相互作用情况也不同，比作用情况也不同，比较复杂；较复杂；结论：众多位错之间即有吸引又有排斥，结论：众多位错之

31、间即有吸引又有排斥，交互作用的结果使体系处于较低的能量状交互作用的结果使体系处于较低的能量状态，或者说位错将处于低能的排列状态。态，或者说位错将处于低能的排列状态。上面只是讨论了简单的位错交互作用情况，实上面只是讨论了简单的位错交互作用情况，实际晶体中位错往往是混合型的，它们的排列也际晶体中位错往往是混合型的，它们的排列也不可能完全平行或垂直的，所以位错间的交互不可能完全平行或垂直的，所以位错间的交互作用十分复杂。作用十分复杂。42GbF在两个弹性模量不同在两个弹性模量不同的介质的界面（如相界面）的介质的界面（如相界面）当位错处于自由表面附近时，便有自动移向表面，以降低位当位错处于自由表面附近

32、时，便有自动移向表面，以降低位错应变能的趋势。这个现象说明自由表面对位错具有吸引力错应变能的趋势。这个现象说明自由表面对位错具有吸引力4 4）晶体表面作用于位错上的力）晶体表面作用于位错上的力5）半点阵模型与派）半点阵模型与派纳力纳力yx -u(x)u(x) (x)刃型位错芯部构造示意图刃型位错芯部构造示意图aPeielsPeiels和和NabarroNabarro提出了半点阵模型，导出了提出了半点阵模型，导出了P-NP-N力公式。具有简单立力公式。具有简单立方点阵的晶体，沿滑移面将晶体切为二部分，相对位移方点阵的晶体，沿滑移面将晶体切为二部分，相对位移b/2b/2，然后适当，然后适当压缩上部

33、晶体，拉伸下部晶体，使压缩上部晶体，拉伸下部晶体，使A A、B B两个原子面上的原子，靠原子两个原子面上的原子，靠原子间的互相作用合并到一起，形成刃位错。间的互相作用合并到一起，形成刃位错。由图可知：由图可知：P-NP-N模型的假设：模型的假设：1) 1) 仍将仍将A A面以上和面以上和B B面以下晶体看成是连续介质。面以下晶体看成是连续介质。2) 2) 将将A A、B B面之间的切应力面之间的切应力认为是其面上对应原子之间的相对认为是其面上对应原子之间的相对 位移位移 (x)(x)的正弦函数，周期为的正弦函数，周期为b b。首先求首先求B B面对面对A A面的切应力面的切应力 xyxy2)(

34、2)(bxuxbxcxy)(2sinbxcxy)(2当当 (x)(x)很小时很小时二式相等：二式相等：当当 (x)(x)很小时，很小时，满足胡克定律：满足胡克定律：axxyxy)(abc2bxuabbxubabbxabxy)(4sin22)(22sin2)(2sin2EshelbyEshelby提出一个近似方法，将柏氏矢量为提出一个近似方法，将柏氏矢量为b b的位错分解成位的位错分解成位错强度为无限小的无穷多个弹性位错，沿滑移面连续分布。错强度为无限小的无穷多个弹性位错，沿滑移面连续分布。再求再求A A面以上的弹性体对面以上的弹性体对A A面的作用力面的作用力 xyxy在滑移面上，某弹性位错在

35、在滑移面上，某弹性位错在x x处产生的切应力处产生的切应力d d xyxy整个位错在整个位错在x x处产生的切应力是处产生的切应力是- , , 内诸位错积分：内诸位错积分：xdxbb)(xxxdbdxy1)1 (2xdxxbxy)1 (2又因为：又因为：xdxddududxdb22，代入上式，代入上式单位长度的单位长度的x x轴上的强度分布为轴上的强度分布为 ，在，在 范围内的强范围内的强度就应该是度就应该是 ，在整个，在整个x x轴上的强度之和等于轴上的强度之和等于b b，则，则)(xbxd xdxb)(xdxxxdduxy/2)1 (2在平衡状态下：在平衡状态下：0 xyxybxuabxd

36、xxxddu)(4sin2)1 (/此即此即PN模型的基本公式，它的方程解：模型的基本公式，它的方程解：axtgbxu)1 (22)(1u(x)即位错中心上下面原子的位移。即位错中心上下面原子的位移。8)(8bxub得得位错宽度位错宽度12afW一定晶体中，密排面间距越大，面间原子对齐能一定晶体中，密排面间距越大，面间原子对齐能力越弱，所以位错宽度越大。原子结合键力方向力越弱，所以位错宽度越大。原子结合键力方向性越强的晶体，位错宽度越小。当性越强的晶体，位错宽度越小。当V V=1/3=1/3时，位时，位错宽度仅为错宽度仅为1.5a,1.5a,即约即约1.51.5个面间距。个面间距。定义：原子发生位移小于定义：原子发生位移小于极限值一半时的宽度。极限值一半时的宽度。)1 (2afA A、B B面的对应原子铺开面的对应原子铺开(x(x) )产生的错排能。产生的错排能。每