一元二次方程复习要点

1、一元二次方程的复习一、1、一元二次方程的要点：它的左右两边都是整式，只含一个未知数，且未知数的最高次数是2。2、能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）。一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式中“”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现，但二次项必须存在，而且左边通常按未知数的次数从高到低排列，特别注意的是“”的右边必须整理成0。要很熟练地说出随便一个一元二次方程中二次项、一次项、常数项：二次项系数、一次项系数例题讲解：1、把方程化成一般形式是_2、当m_时，关于x的方程(m-1)xm+1+2mx+3=0是一元二次方程。二、一元二次方程的解法：（一）、估算法

2、：采用”夹逼法”的思想，列表，观察。此类题主要在填空或选择题中，方程的解或根在代数式的值的正与负之间。（二）直接开平方法：一般地，对于形如 或 的方程，根据平方根的定义，可解这种解一元二次方程的方法叫做开平方切记，开平后有正负两种情况。例题讲解：（1）方程x249的根是_； (2)9x2160的根是_；（三）配方法：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根。配方的步骤：（1）先把二次项系数化为1；（2）先把方程常数项移到方程的右边，即移项（3）方程的两边同加一次项系数的一半的平方，左边配成完全平方式；（4）若方程右边为非负数时，就可以用开平方法解出方程的根；（5）若配方后，方程右边为负数，

3、那么原方程无解。即:化、移、配、开、解例题：1、 （用配方法解）2、例题讲如果x2+2（m2）x+9是完全平方式，那么m的值等于（     ）A.5        B.5或1        C.1        D.5或13、2x2-9x+8=0 4、用配方法证明：5x26x11的值恒大于0.(四) 公式法：（1）把方程化成一般形式，并写出a，b，

4、c的值.（2）求出的值.（3）代入求根公式 :     （4）写出方程的解例题讲解:1. （用公式法解）2.x2+4x+4=0相关知识链接：跟与系数关系复习要点的根为， 综上所述得，设的两根为、，则有 根的判别式：当=b2-4ac0时,方程有两个不相等的实数根；当=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根；当=b2-4ac0时,方程没有实数根请利用以上结论解决下列问题：1、（1）若的两根为1和3，求b和c的值。 （2）设方程的根为、，求的值。2、为何值时，方程两实数根互为倒数。3.若关于的方程有实数根，求的取值范围。4、已知关于的方程没有实数根，求证：

5、关于的方程一定有两个实数根。5、若关于x的方程x2+2(k+2)x+k20 两个实数根之和大于-4，求k的取值范围。6、已知是关于的一元二次方程的两个实数根，当时，求的值。（五）分解因式法：当一元二次方程的一边为0，另一边容易分解成两个一次因式的积时，用因式分解法求解方程比较方便。步骤： (1)若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；（2）将方程的左边分解成两个一次因式的乘积的形式；（3）根据若M·N=0，则M=0或N=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。常用到的方法有：提公因式法、平方差和完全平方公式法、十字相乘法、换元法等。例题讲解：1、 2、 3、（3x-2)

6、2=2（2-3x)综合例题：用适当的方法解方程1、x(x+3)=16x 2、x2+(3+2)+6=0 3、（2x+3）(x-2) = 44、 5、2x2-9x+8=0 6、(y+1)(y-4)=2y2-2一元二次方程的应用类常见类型分析1. 数字问题：对于此类问题，一要明确最高位上的数字为不大于9的正整数，其他位上的数字为不大于9的非负整数；二要会用字母正确的表示数。两位数=十位上的数字×10+个位数字。例题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数。十位恰小各位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？2. 几何图形问题：（1）一般是从面积（或体积）

7、等方面找相等的关系，要熟练掌握公式。V长方体=abh,v圆柱=rh ,v正方体=a3 例题：有一个面积为150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35米，求鸡场的长与宽各为多少米？ 如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽。（2）勾股定理的应用例题：两艘船同时从A港出发，一船的速度为15海里每小时，航向为东北方向，另一艘船比他快5海里，航向是东南方向，问多少小时后两船相距100海里？（3）动点问题。此类问题的关键是学会用运动的观点看问题，根据条件设出未知数后，想办法

8、把图中变化的线段用未知数表示出来，在根据题目中的等量关系（可以是图形的面积、勾股定理或相似等）列出方程。例题：. （如下图，在ABC中，B= 90°，点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动。（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，PBQ的面积等于8厘米2 ？（2）如果P、Q两分别从A、B两点同时出发，并且P到B又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，PCQ的面积等于126厘米2 ？一根木棍OE垂直平分柱子AB,AB=200cm,OE=260cm,一只老鼠C由柱子底端以2cm/s的速度

9、向顶端B爬行，同时，另一只老鼠D从O点以3cm/s的速度沿木棍OE爬行，问是否存在这样的时刻，使两只老鼠与O点组成的三角形面积为1800cm2?某飞机在大连海域失事，为调查事故原因，决定打捞黑匣子，派一潜水员在A处以8海里/小时的速度向正东方向潜行，在A处测得黑匣子在被偏东60方向，潜行半小时后到达C处，测得黑匣子B在北偏东45方向，潜水员继续潜行多少小时，距离黑匣子最近？求出最近距离。（精确到百分位）3平均增长或降低率：其基本公式为Q=a(1±x)n,n是增长或降低的次数，x是平均增长或降低率。例题：一商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3025元，这两个月的利润平均月增

10、长的百分率是多少？这个商店三个月共盈利多少元？4.双向活动类，如握手或比赛，公式为1/2【x(x-1)】=a5、利润问题的应用：此类问题的等量关系是“总利润=总售价-总成本”或“总利润=每件商品的利润×数量”，通常可以直接设商品的价格。例题：某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多卖5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？、某人购买了1000元债券，定期一年，到期兑换后他用去了440元，然后把剩下的钱又全部购买了这种债券，定期仍为一年，到期后他兑现得款624元。求这种债券的年利率。、将进货单价40元的商品按50元出售，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，就会少销售10个。为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个。补充练习1已知的两根，则_，_。2、 方程 的一个根是另一个根的5倍，则m= ；3、设 是方程