全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷(理科)及解析

1、全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的1.（5 分）已知集合 A=x|2 - x 0 , B=x|J）xv1，则（）2A. AnB=x|Ovx 1, Ovcvbv1,则下列不等式不正确的是()A.Iog2oi8alog20i8bB. logbavlogcaC.(a- c)ac(a- c)abD. (c- b)ac(c-b)ab9.(5 分)执行如图所示的程序框图，若输出的 n 值为 11，则判断框中的条件可以是()幵始1希讣軸如产血A.Sv1022?B. Sv2018?C

2、. S4095?f(x)=2sin(3X) ( 30,|)的部分图象如图2所示，将函数 f (x)的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数 y=g (x) L 2的图象重合，贝 U()A. g (x) =2sin (2x+) B. g (x) =2sin (2x+ ) C . g ( x ) =2sin2x36D. g (x) =2sin (2x-)11. (5 分)已知抛物线 C: y2=4x 的焦点为 F,过点 F 作斜率为 1 的直线 I 交抛物线 C 与 P、Q 两点，则的值为()17A. B.C. 1 D. 22812. (5 分)已知数列an中，a1=2，n (an+1- an)

3、 =an+1，n N，若对于任意的10. (5 分)已知函数a - 2, 2 , n N*，不等式_v2t2+at - 1 恒成立，则实数 t 的取值范围为 n+1( )A. (-X,-2U2,+x)B.(-X,-2U 1,+x)C.(-X, -1U2,+x)D. -2,2二、填空题(每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上)13. (5 分)已知向量二(1,入)，b= (3, 1),若向量 2 专-匸与；=(1, 2)共线,则向量在向量方向上的投影为_ .1+尸 414._ (5 分)若实数 x, y 满足 x 0, b 0)的下焦点 F1作 y 轴的垂线，交azb双曲线于 A, B

4、 两点，若以 AB 为直径的圆恰好过其上焦点 F2,则双曲线的离心率为_ .16.(5 分)一底面为正方形的长方体各棱长之和为24,则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为_.三、解答题(本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12 分)如图，在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,若2acosA=bcosCccosB.(1) 求角 A 的大小；(2) 若点 D 在边 AC 上，且 BD 是/ABC 的平分线，AB=2, BC=4,求 AD 的长.18. ( 12 分)如图， 在三棱柱 ABC- A1B1C1中， 侧棱 CG

5、 丄地面 ABC,且 CC=2AC=2BCAC 丄 BC, D 是 AB 的中点，点 M 在侧棱 CC 上运动.(1) 当 M 是棱 CG 的中点时，求证：CD/平面 MABi;(2) 当直线 AM 与平面 ABC 所成的角的正切值为时，求二面角 A-MBi- Ci的余弦值.19.(12 分)第一届 一带一路”国际合作高峰论坛于 2017 年 5 月 14 日至 15 日 在北京举行，这是 2017 年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具 有重要意义.某高中政教处为了调查学生对 一带一路”的关注情况，在全校组织 了 一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了 12 份问卷，得到

6、其测 试成绩(百分制)，如茎叶图所示.(1) 写出该样本的众数、中位数，若该校共有 3000 名学生，试估计该校测试成 绩在70 分以上的人数；(2) 从所抽取的 70 分以上的学生中再随机选取 1 人.1记 X 表示选取 4 人的成绩的平均数，求 P (X 87);2记E表示测试成绩在 80 分以上的人数，求E的分布和数学期望.11应扯P63 7 -i 6 6 6891 1 42 220.(12 分)已知椭圆 C: +* =1 (a b0)的左、右焦点为 F1，冃，离心 率为I点 P在椭圆 C 上，且 PF1F2的面积的最大值为 2 _.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 已知直线 I: y

7、=kx+2 (心 0)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N,若在 x 轴上存在点 G,使得| GM| =| GN|，求点 G 的横坐标的取值范围.21.(12 分)设函数 f (x) =ex- 2a- ln (x+a)，a R，e 为自然对数的底数.(1)若 a0,且函数 f (x)在区间0, +x)内单调递增，求实数 a 的取值范 围；(2)若 Ovav，试判断函数 f (x)的零点个数.3请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4 :坐标系与参数方程2 222.(10 分)已知在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的方程为丄一+ =1,以 016

8、4为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线I 的极坐标方程为psin( (+ ) =3.3(1) 求直线 I 的直角坐标方程和椭圆 C 的参数方程；(2) 设M(x，y)为椭圆 C 上任意一点，求|2 x+y- 1|的最大值.选修 4-5:不等式选讲23.已知函数 f (x) =|x-2| .(1) 求不等式 f (x) +f (2+x) m| a- b| .2018 年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. （5 分）

9、已知集合 A=x|2 - x 0 , B=x|J）xv1，则（）illA.AHB=x|Ovx 0=x|xv2，B=x| （二）x0，则 AHB=x|0vxv2，AUB=R故选：D.2. （5 分）已知 i 为虚数单位，a 为实数，复数 z 满足 z+3i=a+ai,若复数 z 是纯虚 数，则（）A.a=3 B. a=0 C. a0 D.av0【解答】解：由 z+3i=a+ai，得 z=a+ (a- 3) i，又复数 z 是纯虚数,解得 a=0.故选：B.3. （5 分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图中用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图

10、中勾为 3, 股为 4,若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）DA.B. I C.匕 D.494977【解答】解：设直角三角形的长直角边为 a=4,短直角边为 b=3.由题意c=5,v大方形的边长为a+b=3+4=7,小方形的边长为c=5, 则大正方形的面积为49,小正方形的面积为 25, 满足题意的概率值为：1-=1.49 49故选：B.4.(5 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 S9=6n,则 tan a5=()A.琴 B.二 C.-二 D.-琴339(曰+自口)【解答】解：由等差数列的性质可得：S9=6n= =9 氏，贝 U tan a5=tan =-：

11、.故选：C.5.(5 分)已知函数 f (x) =x (a R),则下列结论正确的是()xA. ? a R, f (x)在区间(0, +x)内单调递增B. ? a R, f (x)在区间(0, +x)内单调递减C. ? a R, f (x)是偶函数D. ? a R, f (x)是奇函数，且 f (x)在区间(0, +x)内单调递增【解答】解：当 a0 时，函数 f (x) =x+ :在区间(0,J 上单调递减，在I,+x)内单调递增,故 A, B 均错误，? a R, f (- x) =- f (x)均成立，故 f (x)是奇函数，故 C 错误，故选：D.6.(5 分)(1+x) (2 - x

12、)4的展开式中 x 项的系数为()A.- 16 B. 16 C. 48 D.- 48【解答】解：( 2-x)4展开式的通项公式为 Tr+1= :?24-r(-x)r，( 1+x) (2 - x)4的展开式中 x 项的系数为-:?23+24= - 16，故选：A.7.(5 分)如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是()A. n+4J：+4B. 2n+4 厂+4 C. 2n+4Q：+2 D.2n+2)+4【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体.其直观图如下所示：其表面积S=2X丄n?2+2X丄X2X1+. 1+1 . - 2X1=2n+4 ：+4,故选：B第

13、10 次执行循环体,8. (5 分)若 a 1, Ovcvbv1,则下列不等式不正确的是()A.Iog2oi8alog20i8bB. logbavlogcaC. (a- c) ac(a- c) abD. (c- b) ac( c- b) ab【解答】解：根据对数函数的单调性可得 log2oi8alog2oi8b 正确，logbavlogca 正 确，a1,0vcvbv1, acvab,a-c0,( a- c) acv(a - c) ab,故 C 不正确，Ic- bv0, ( c- b) ac( c- b) ab正确，故选：C.9. (5 分)执行如图所示的程序框图，若输出的 n 值为 11，则

14、判断框中的条件可以是()A.Sv1022?B. Sv2018?C. S4095?【解答】解：第 1 次执行循环体，S=3,应不满足输出的条件，n=2 ,第 2 次执行循环体,S=7,应不满足输出的条件,n=3,第 3 次执行循环体,第 4 次执行循环体,S=15,应不满足输出的条件,S=31,应不满足输出的条件,n=4,n=5,第 5 次执行循环体,第 6 次执行循环体,S=63 应不满足输出的条件，S=127,应不满足输出的条件,n=6,n=7,第 7 次执行循环体,S=255 应不满足输出的条件,n=8,第 8 次执行循环体,S=511,应不满足输出的条件,n=9,第 9 次执行循环体，n

15、=10,S=1023,应不满足输出的条件，S=2047 应不满足输出的条件,n=11第 11 次执行循环体,S=4095,应满足输出的条件,第 10 次执行循环体,故判断框中的条件可以是 Sv4095?,y=x-1，故选：c.10.(5分)已知函数f(X)=2Sn(3豪)(S012)的部分图象如图 所示，将函数 f (X)的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数 y=g (X)12的图象重合，贝 U()C . g ( x )=2sin2x根据(旦)+ =2?(-2L) + =0 =，故 f (x) =2sin (2x).12 12 6 6将函数 f (x)的图象向左平移个单位长度后，所得图象

16、与函数 y=g (x)的图 丄 W象重合，ITIT1T故 g (x) =2sin (2x+ + ) =2sin (2x+ ).6 63故选：A.11. (5 分)已知抛物线 C: y2=4x 的焦点为 F,过点 F 作斜率为 1 的直线 I 交抛物线 C 与 P、Q 两点，则的值为()17A. 一 B.C. 1D. 228【解答】解：抛物线 C: y2=4x 的焦点为 F (1，0)，过点 F 作斜率为 1 的直线 I:可得*【解答】解：根据函数 f(x)=2sin( sx)(S0,| |w)的部分图象，可2得 =+44312兀B. g (x) =2sin (2x+ )6D. g (x) =2

17、sin (2x-可得 t2 或 tW-2,消去 y 可得：x2- 6x+1=0，可得XP+XQ=6,XPXQ=1,I PF =xp+1, | QF|=XQ+1,| PFI QF|=XQ+XP+XPXQ+仁6+1+仁8,则丨+-冋十=1、|i “.*1故选：C.12.(5 分)已知数列an中，a1=2, n (an+1- an)=為+1, n Na - 2, 2 , n N*，不等式亠一v2t2+at - 1 恒成立，则实数n+12t2+at 13,化为：2t2+at 4 0,设 f (a) =2t2+at 4, a 2, 2,可得 f (2)0 且 f (- 2)0, t2-bt日仃2、即11

18、-x -20则实数 t 的取值范围是(-x,-2U2,+x).故选：A.,若对于任意的t 的取值范A. ( x,2U 2,+xB.( x,2U 1,C.( x, 1U2,+x)D. -2,2an中，【解答】解：根据题意，数列即 nan+1( n+1) an=1,贝 U 有一- -n+1rm若an+l(an+l %, /an则有厂(|-)+(-,= (-) +( ：) +- n n+1n-1 n n-2n-1v 2t2+at - 1 即 3-v2t2+at - 1, n+1n+1丄n n(n+1) n n+1 =(_亠+(二-一)(an+1 an)=3n+1 ,(1) + (a2 a1)+a1n

19、-1n-2+-+(14) +2=3話3，对于任意的 a 2, 2 , n N*，不等式an+ln+Tv2t2+at 1 恒成立,所以 z=x- 3y+1 的最大值是： - i二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. （5 分）已知向量二（1,入），b= （3, 1）,若向量 2 亏-匸与；=（1, 2）共线,则向量在向量方向上的投影为 0.【解答】解：向量 F （1,八，】尸（3, 1）,向量 2.= （- 1, 2 入1）,向量 2 厂与=（1, 2）共线，二 2 入仁-2, 即卩入二.2二向量 1= （1,-亍）,-十十-lXl-2Xy向量 在向量 方向上的投影

20、为| “？cosv1, = =- =0.Ic| Vl2+22故答案为：0.+y=4y 满足 x2y，则 z=x- 3y+1 的最大值是耳_.【解答】解：实数 x, y 满足 x0, b0)的下焦点 Fi作 y 轴的垂线，交 违b双曲线于 A, B 两点，若以 AB 为直径的圆恰好过其上焦点 F2,则双曲线的离心率为_.【解答】解：过双曲线/=1 (a0, b0)的下焦点 Fi作 y 轴的垂线，己？ b2交双曲线于 A, B 两点，则|AB|= ,a以 AB 为直径的圆恰好过其上焦点 F2,1 2可得：c - a2- 2ac=0,可得 e2- 2e-仁 0,a解得 e=1+ :, e=1 -舍去

21、.故答案为：1+匚.16. (5 分)一底面为正方形的长方体各棱长之和为 24,则当该长方体体积最大 时，其外接球的体积为4_.【解答】解：设该项长方体底面边长为 x 米，由题意知其咼是：i；=6-2x, (0vxv3)则长方体的体积 V (x) =x2(6 - 2x), (0vxv3),V (x) =12x-6X2=6X(2 x),由V(x) =0,得 x=2,且当 Ovxv2 时，V(x) 0, V (x)单调递增; 当 2vxv3 时，V(x)v0, V (x)单调递减.体积函数 V (x)在 x=2 处取得唯一的极大值，即为最大值, 此时长方体的高为6-2x=2,其外接球的直径 2R=

22、2， R=,3.其外接球的体积 V=-=4 .故答案为：4 =.三、解答题(本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12 分)如图，在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,若2acosA=bcosCccosB.(1) 求角 A 的大小；(2) 若点 D 在边 AC 上，且 BD 是/ABC 的平分线，AB=2, BC=4,求 AD 的长.【解答】 解：(1 ) 2acosA=bcosC+ccosB 2si nAcosA=si nBcos+si nCcosB=si n( B+C) =si nA,/sinAM0,.cosA- 2

23、r(2)在厶 ABC 中，由余弦定理的 cosA=1= -，解得 AC=1+.二或 AC=1-.二(舍). BD 是/ ABC 的平分线，如型_H 卞一.，18. ( 12 分)如图,在三棱柱 ABC- A1B1C1中，侧棱 CG 丄地面 ABC,且 CG=2AC=2BCAC 丄 BC, D 是 AB 的中点，点 M 在侧棱 CG 上运动.(1)当 M 是棱 CG 的中点时，求证：CD/平面 MABi;(2)当直线 AM 与平面 ABC 所成的角的正切值为时，求二面角 A-MBi- Ci的余弦值.【解答】证明：(1)取线段 AB 的中点 E,连接 DE, EM.AD=DB AE=EB 二 DE

24、/ BBi,EDBB】，2又 M 为 CC 的中点 CMyBBr四边形 CDEM 是平行四边形. CD/ EM，又 EM? MABi，CD?MABi CD/平面 MABi；解(2)vCA, CB CG 两两垂直，.以 C 为原点，CA, CB, CG 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系.在三棱柱 ABC- AiBiCi中，侧棱 CG 丄地面 ABC,可得/ MAC 为直线 AM 与平 面ABC 所成的角，设AC=1，tanI，得 CM% C( 0, 0, 0), A (i, 0, 0), B (0, i , 0), Bi(0, i, 2), M (0, 0,号)AM= (-1,

25、Q,汀画二(7,1- 2) 3AM n=-x+-|*z=0 =ABj np-x+y+20又平面 BiGCB 的法向量为- 1. I .19.(12 分)第一届 一带一路”国际合作高峰论坛于 2017 年 5 月 14 日至 15 日 在北京举行， 这是 2017 年我国重要的主场外交活动， 对推动国际和地区合作具 有重要意义.某高中政教处为了调查学生对一带一路”的关注情况，在全校组织了 一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12 份问卷，得到其测试成绩(百分制)，如茎叶图所示.(1) 写出该样本的众数、中位数，若该校共有 3000 名学生，试估计该校测试成 绩在70 分以上的人数；(

26、2) 从所抽取的 70 分以上的学生中再随机选取 1 人.记 X 表示选取 4 人的成绩的平均数，求 P (X 87)记E表示测试成绩在 80 分以上的人数，求E的分布和数学期望.设 AMBi 的法向量为 祜(丈,y,幻, - = - .11=14二面角二面角A-MBi- C 为钝角，A- MBi - C 的余弦值为-匸亠143 7 8亍J 6 6 681 91 4【解答】解：(1)众数为 76,中位数为 76,抽取的 12 人中，70 分以下的有 4 人，不低于 70 分的有 8 人，故从该校学生中任选 1 人，这个人测试成绩在 70 分以上的概率为7=:，12 3该校这次测试成绩在 70

27、分以上的约有：3000X：=2000 人.3(2)由题意知 70 分以上的有 72，76，76，76，82，88，93，94，当所选取的四个人的成绩的平均分大于 87 分时，有两类：一类是：82, 88, 93, 94，共 1 种；另一类是：76, 88, 93, 94,共 3 种. P (X 87)=.由题意得E的可能取值为 0, 1, 2, 3, 4,昭C：1(乞=)=1=F 1了(E =)=尬18仁=)=.，广3厂3代=)=-ccj 1仁=)=,=,E的分布列为:01234P18188170353535702220.(12 分)已知椭圆 C: +丿=1 (ab0)的左、右焦点为 Fi,

28、离心 率为I,点 P 在椭圆 C 上，且 PF1F2的面积的最大值为 2 .3(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 已知直线 I: y=kx+2 (心 0)与椭圆 C 交于不同的两点M, N,若在 x 轴上存在点 G,使得| GM| =| GN|，求点 G 的横坐标的取值范围.【解答】解：(1)显然当点 P 位于短轴端点时， PFF2的面积取得最大值，c 1a 3yX2cXb=2V2，解得椭圆的方程为十匚=1.98直线 I 恒过点(0, 2), 直线 I 与椭圆始终有两个交点，设 M (X1, y1), N (X2, y2),贝 U x+X2= 一一死死 g ,8+9设 MN 的中点为 E (X

29、0, y。),则刈=7 毗毗,y0=kx)+2=16.8+98+9|GM|=|GN| , GEMN ,168+9k2设 G (m, 0),贝 U kGE=8+9 kzf+3Xi+4Xi70=2.狂9b2=8(2)联立方程组、，消元得(8+9)/+36kx- 36=0,即 k= 时取等号;1当 k 0 时,9k+：2.F=12.当且仅当 Lwmv0,12当 kv0 时，9k+:w2=12，当且仅当 9k=，即 k=-二！时取等号;kk30vmw - .12点 G 的横坐标的取值范围是21. ( 12 分)设函数 f (x) =ex 2a In(x+a)，a R, e 为自然对数的底数.(1) 若

30、 a0,且函数 f (x)在区间0, +x)内单调递增，求实数 a 的取值范 围；(2) 若 0vav，试判断函数 f (x)的零点个数.3【解答】解：(1)v函数 f (x)在区间0, +x)内单调递增，f(x) =ex- 0 在区间0, +x)恒成立，s+a即 aex x 在0, +x)恒成立，记 g (x) =ex x,则 g(x) = ex 1v0 恒成立，故 g (x)在0, +x)递减，故 g(x)wg(0)=1,a1,故实数 a 的范围是1, +);(2)v0vav： f(x)=ex,3x+a记 h (x) =f (x),贝Uh( (x) =ex+-_-0, G+R2知 f (X)在区间(-a, +X)递增，又 f(0)=1丄v0,f(1)=e0,a1+af(x)在区间(-a, +x)内存在唯一的零点 X。，即 f (x0)=0,切+吕于是 X0= In (x0+a),当-avxvx0时，f(x)v0, f (x)递减，当 x X0时，f( x) 0, f (x)递增，故 f (x)min=f