总复习工程力学

1、总总 复复 习习 、物体的受力分析静力学、力系的简化与合成、力系的平衡条件及平衡方程应用、物体的受力分析分析所要研究物体受几个力的作用：绳，光滑接触面；绳，光滑接触面；物体的受力分析与其所受约束有关。分析这些力的方向或方位。分析这些力的方向或方位。主动力主动力，约束反力约束反力。铰链铰链（中间铰，固定铰支座中间铰，固定铰支座，可动铰支座可动铰支座 ）；固定端：约束反力与约束力偶固定端：约束反力与约束力偶二力构件：二力构件：约束反力的方向是确定的。约束反力的方向是确定的。（力的大小、方向、作用点）（力的大小、方向、作用点）、力系的简化与合成平面任意力系的简化：平面任意力系的简化： 力系简化力系简

2、化 用一简单力系代替一复杂力系。用一简单力系代替一复杂力系。 、力系的平衡条件及平衡方程应用平面任意力系的平衡方程：平面任意力系的平衡方程： 0X0)(iAFm0)(iBFm二矩式二矩式0X0Y0)(iOFm一矩式一矩式条件：条件：x AB连线连线0)(iAFm0)(iBFm0)(iCFm三矩式三矩式条件：条件：A, B, C 不共线不共线ACBAxBkN71. 0AxFkN35. 0AyFmkN72. 2AM解得：解得： N25BxFa aIa aICF解：解：1. 对对DE： 0)(FMDaMFE2 FEsin 45a - M = 0， 2. 取取CEB： 0)(FMC2 FB 2a -

3、FEa = 0， aMFB =桁架桁架：由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。桁架的特点：桁架的特点：直杆，不计自重，均为二力杆；直杆，不计自重，均为二力杆； 杆端铰接；杆端铰接； 外力作用在节点上。外力作用在节点上。 力学中的桁架模型力学中的桁架模型 ( 三角形有稳定性三角形有稳定性1S1S杆数n节点数m3)3(2nm032mn平面静定桁架求解桁架内力的方法：节点法，截面法求解桁架内力的方法：节点法，截面法。11S）节点法：以节点为研究对象准备工作：给各杆编号，准备工作：给各杆编号， ,

4、 ,并给节点加符号。并给节点加符号。P13456789111026SDABCHEIDP9S7S节点的受力为一汇交力系，用汇交力系的方法来解，即：节点的受力为一汇交力系，用汇交力系的方法来解，即：:0X:0Y 因为，汇交力系只有两个平衡因为，汇交力系只有两个平衡方程，只能解两个未知力，所以，方程，只能解两个未知力，所以，先从两个未知力的节点出发。先从两个未知力的节点出发。各杆都假定为受拉力。各杆都假定为受拉力。求解桁架内力的方法：节点法，截面法求解桁架内力的方法：节点法，截面法。）截面法：用一截面将桁架截开，以截面一侧为研究对象。截面法：用一截面将桁架截开，以截面一侧为研究对象。13456789

5、11102DABCHEIP研究对象为一平面任意力系，用任意力系研究对象为一平面任意力系，用任意力系的方法来解，即：的方法来解，即： 任意任意力系有三个平衡方程，力系有三个平衡方程，所以，截取未知力的杆要所以，截取未知力的杆要适当适当的考虑的考虑。mm4S6S5SAYAXAEC:0X:0Y:0)(FAm一、基本变形一、基本变形刚度条件刚度条件内力内力1、积分法、积分法2、叠加法、叠加法变形变形,强度条件强度条件应力应力 外力外力弯曲弯曲扭转扭转拉伸与压缩拉伸与压缩FFNenMM外力对形心之矩外力MFSAFNPnIMzzSzbISFIMy*,maxmaxmaxmaxEAlFlNPnGIlM180m

6、axmaxPnGIM,maxmax yy轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 基本要求：基本要求： 1. 轴力计算，绘轴力图；轴力计算，绘轴力图； 2. 横截面上的正应力计算，强度计算；横截面上的正应力计算，强度计算； 3. 绘变形与位移图，变形与位移计算；绘变形与位移图，变形与位移计算； 4. 材料的力学性质；材料的力学性质； 5. 求解简单拉压超静定问题。求解简单拉压超静定问题。 难点：难点： 绘变形与位移图；求解简单拉压超静定问题。绘变形与位移图；求解简单拉压超静定问题。 典型例题：典型例题： 解解 （一）校核两杆强度（一）校核两杆强度 首先必须确定两杆的内力，由首先必须确定两杆的内力，由节点节

7、点B的受力图（见图的受力图（见图b）列出静力）列出静力平衡方程平衡方程KNFFFFFKNFFFFFABBCABxbcBCy3 .173, 030cos, 0202,60cos, 000MPaMPaAFMPaMPaAFBCBCABAB1603.33773.121对两杆进行强度校核对两杆进行强度校核 例例1 钢木构架如图钢木构架如图a所示。所示。BC杆为钢制圆杆，杆为钢制圆杆，AB杆为木杆。若杆为木杆。若F=10kN，木杆木杆AB的横截面面积为的横截面面积为A1=10000mm2，弹性模量，弹性模量E1=10GPa，许用应力，许用应力=7MPa；钢杆；钢杆BC的横截面面积为的横截面面积为A2=60

8、0mm2，许用应力，许用应力=160MPa。试：。试：(1)校核两杆的强度；校核两杆的强度；(2)求许用载荷求许用载荷F；(3)根据许用载荷，重新设计钢杆根据许用载荷，重新设计钢杆BC的直径。的直径。 由上述计算可知，两杆内的正应力都远低于材料的许用应力由上述计算可知，两杆内的正应力都远低于材料的许用应力, ,强度强度尚没有充分发挥。因此，悬吊物的重量还可以增加。尚没有充分发挥。因此，悬吊物的重量还可以增加。 （二）求许用载荷（二）求许用载荷两杆分别能承担的许用应力为两杆分别能承担的许用应力为KNAFKNAFBCAB96702211由前面两杆的内力与外力由前面两杆的内力与外力F F之间的关系可

9、得之间的关系可得 KNFFFFKNFFFFBCBCABAB482,24 .403,321 根据上面计算结果，若以根据上面计算结果，若以BC BC 杆为准，取杆为准，取 F F=48KN48KN ，则，则 AB AB 杆的强杆的强度显然不够，为了结构的安全，应取度显然不够，为了结构的安全，应取 F F=40.4KN40.4KN。 根据许用载荷根据许用载荷40.4 kN，对于，对于AB 杆来说，恰到好处，但对杆来说，恰到好处，但对BC 杆杆来说，强度是有余的，也就是说来说，强度是有余的，也就是说BC 杆的截面还可以适当减小。由杆的截面还可以适当减小。由BC杆的内力与载荷的关系可得杆的内力与载荷的关

10、系可得KNFFBC8.80222505mmFABC根据强度条件，根据强度条件，BC BC 杆的横截面面积应为杆的横截面面积应为mmAd4 .254BC BC 杆的直径为杆的直径为 例例2结构受载荷作用如图所示，已知杆结构受载荷作用如图所示，已知杆AB 和杆和杆BC 的抗拉刚度为的抗拉刚度为EA.试求节点试求节点B 水平及铅垂位移。水平及铅垂位移。解得解得FN1F （拉）拉） FN2 F（拉）（拉） 2 （2）变形计算）变形计算AB AB 杆：杆：BC BC 杆：杆： EAFaEAlFlN111EAFaEAaFEAlFlN2222220ixF045cos102NNFF0iyF045sin02 F

11、FN 解解（1）轴力计算）轴力计算 由节点由节点B（图（图b）的平衡条件）的平衡条件（3）节点）节点B 的位移计算的位移计算结构变形后，两杆仍应相交在一点，结构变形后，两杆仍应相交在一点，这就是变形条件，根据变形条件，作出这就是变形条件，根据变形条件，作出结构的变形图（见图结构的变形图（见图c）.因为因为AB 杆受的是拉力，所以沿杆受的是拉力，所以沿AB 延延长线量取长线量取BB1等于等于L1；同理，；同理，CB 杆受杆受的也是拉力，所以沿杆的也是拉力，所以沿杆CB 的延长线量取的延长线量取BB2 等于等于L。分别在点分别在点B1 和和B2 处作处作BB1 和和BB2 的垂的垂线，两垂线的交点

12、线，两垂线的交点B为结构变形后节点为结构变形后节点B应有的新位置。即结构变形后成为应有的新位置。即结构变形后成为ABC 的形状。图的形状。图c称为结构的变形图。称为结构的变形图。为了求节点为了求节点B的位置，也可以单独作出节点的位置，也可以单独作出节点B的位移图。位移图的作的位移图。位移图的作法和结构变形图的作法相似，如图法和结构变形图的作法相似，如图d所示。所示。结构变形图和节点位移图，在计算节点位移中是等价的。在今后的结构变形图和节点位移图，在计算节点位移中是等价的。在今后的计算中，可根据情况选作一图。由位移图的几何关系可得计算中，可根据情况选作一图。由位移图的几何关系可得水平位移水平位移

13、BxBxBBBB1 1l l1 1（）垂直位移垂直位移 ByByBBBB = （）EAFa010245tan45sinllEAFaEAFa22EAFa)221 ( 讨论讨论画结构变形图或节点位移图时，杆杆画结构变形图或节点位移图时，杆杆受拉力，则在延长线上画伸长变形；杆件受拉力，则在延长线上画伸长变形；杆件受压力则画缩短变形。受压力则画缩短变形。由于我们在画节点位移图时，是按杆由于我们在画节点位移图时，是按杆件的伸长或缩短的实际情况而绘制的，即件的伸长或缩短的实际情况而绘制的，即在画节点位移图时已考虑了是拉伸还是压在画节点位移图时已考虑了是拉伸还是压缩这一现实，所以，在节点位移图中各线缩这一现

14、实，所以，在节点位移图中各线段之间的关系仅是一般的几何关系，计算段之间的关系仅是一般的几何关系，计算位移时，只要代之以各杆伸长或缩短的绝位移时，只要代之以各杆伸长或缩短的绝对值就可以了。对值就可以了。例例3如图如图a所示结构中三杆的截面和材所示结构中三杆的截面和材料均相同。若料均相同。若F60kN， 140MPa，试，试计算各杆所需的横截面面积。计算各杆所需的横截面面积。 （2）画节点）画节点A的位移图的位移图 根据内力和变形一致的原则，绘根据内力和变形一致的原则，绘A点位移图点位移图如图如图c所示。所示。 即即0102330tan30sinlll 解解这是一次超静定问题。这是一次超静定问题。

15、 （1）画出）画出A点的受力图（见图点的受力图（见图b） 静力平衡方程静力平衡方程Fix0 ， FN1FN2cs300 (1)Fiy0， FN3FN2sin30F0 (2)（3）建立变形方程）建立变形方程12332lll根据根据A点的位移图，变形方程为点的位移图，变形方程为（4）建立补充方程）建立补充方程由虎克定律由虎克定律 EAFEAlFlNN13333EAFEAlFlNN22222EAFEAlFlNN31111 联立（联立（1）、（）、（2）、（）、（3）式，解得各杆的轴力分别为：）式，解得各杆的轴力分别为： FN17.32kN （压）（压）; FN28.45kN （拉）（拉）; FN35

16、5.8kN （拉）（拉） 代入变形方程得补充方程代入变形方程得补充方程 EAFEAFEAlFNNN3221333得得 FN34FN23FN1 （3）变形方程变形方程0102330tan30sinlll333AFN22663333981039810140108 .55mmmFAN（5）各杆的横截面面积计算）各杆的横截面面积计算根据题意，三杆面积相同，由杆根据题意，三杆面积相同，由杆的强度条件的强度条件即即 A1A2A3398mm2FN17.32kN （压）（压）; FN28.45kN （拉）（拉）; FN355.8kN （拉）（拉） 例例4 简单构架如图简单构架如图a所示。所示。A 点为铰接，可

17、作水平移动，但不能作竖点为铰接，可作水平移动，但不能作竖向移动。当向移动。当AB 杆的温度升高杆的温度升高30时，试求两杆内横截面上的应力。已知时，试求两杆内横截面上的应力。已知两杆的面积均为两杆的面积均为A1000mm2 材料的线膨胀系数材料的线膨胀系数12106/，弹性模，弹性模量量E200GPa。 因为节点因为节点A A有三个未知力，而有三个未知力，而平面汇交力系只有两个独立的平衡平面汇交力系只有两个独立的平衡方程，所以本题为一次超静定问题。方程，所以本题为一次超静定问题。列静力平衡方程列静力平衡方程 Fix 0， FN1 cos30FN20 (1)（2）画节点）画节点A的位移图（见图的

18、位移图（见图c）（3）建立变形方程）建立变形方程 L1L2cos30（4）建立补充方程）建立补充方程 L1LN1LT，解解 （1）画出）画出A点的受力图（见图点的受力图（见图b） 即杆即杆的伸长的伸长l1由两部份组成，由两部份组成，l N1表示由轴力表示由轴力FN1引起的变形，引起的变形，lT表示温度升高引起的变形，因为表示温度升高引起的变形，因为T 升温，故升温，故lT 是正值。是正值。46. 33010121010001020046. 36691111NNFTlEAlFla692222101000102003NNFEAlFl 代入变形方程得补充方程代入变形方程得补充方程46. 330101

19、21010001020046. 36691NF692101000102003NF（5 5）应力计算）应力计算 MPaAFN6.43101000106.436311MPaAFN8 .37101000108 .376322即即 2.598 FN23.46 FN1 249103 （2） FN1 cos30 FN20 (1)联立（联立（1）、（）、（2）式，得）式，得FN143.6kN（压）（压）FN237.8kN （拉）（拉） 例例4 简单构架如图简单构架如图a所示。所示。A 点为铰接，可作水平移动，但不能作竖点为铰接，可作水平移动，但不能作竖向移动。当向移动。当AB 杆的温度升高杆的温度升高30时

20、，试求两杆内横截面上的应力。已知时，试求两杆内横截面上的应力。已知两杆的面积均为两杆的面积均为A1000mm2 材料的线膨胀系数材料的线膨胀系数12106/，弹性模，弹性模量量E200GPa。、几何方程几何方程变形协调方程：变形协调方程：、物理物理方程变形与受力关系方程变形与受力关系解解：、平衡方程平衡方程: :、联立方程联立方程(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)可得可得:) 1 (0sinsin021aaNNFFX)2(0coscos0321FFFFYNNNaaacos321Lll333113333331121121cos2F ; cos2cosAEAEFAEAEAEFAEFFNNNa

21、aa)3(cos33331111补补充充方方程程aAELFAELFNNABDC132aa例例：图示杆系结构，图示杆系结构，33221121,AEAEAEll，求：各杆的内力。求：各杆的内力。FN1Aa aFN2 2FN3 3yxFF3A1A1l2A2l3l超静定结构的特征：内力按照刚度分配 能者多劳的分配原则acos321Lll补补充充方方程程acos33331111AELFAELFNNacos331131AEAEFFNNABDC132aaF3A1A1l2A2l3l例例 木制短柱的四角用四个木制短柱的四角用四个 40*40*4 的等边角钢加固，角钢和木的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为

22、材的许用应力分别为 1 =160 MPa 和和 2 =12 MPa，弹性模弹性模量分别为量分别为 E1=200 GPa 和和 E2 =10 GPa；求许可载荷求许可载荷 F.04021FFFYNN21LL 、几何方程：、几何方程：、力的、力的补充方程补充方程：解：解：、平衡方程平衡方程: :EALFLN22221111AELFAELFNNF1m250250FFFFNN72.0 ; 07.021F14NF2NF例例 木制短柱的四角用四个木制短柱的四角用四个 40*40*4 的等边角钢加固，角钢和木的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为材的许用应力分别为 1 =160 MPa 和和 2 =12

23、 MPa，弹性模弹性模量分别为量分别为 E1=200 GPa 和和 E2 =10 GPa；求许可载荷求许可载荷 F.FFFFNN72.0 ; 07.021F1m250250 、求结构的许可载荷：求结构的许可载荷： AFN maxmax AFNmax a) 角钢 面积由型钢表: A 1=3.086 c)(4 .491016086.33max1kNFN b) 木柱 面积 : A 2= 25*25 c)(750122502max2kNFN)(4 .70507. 0/maxmax11kNFFN由角钢)(104272. 0/maxmax22kNFFN 由木柱：Fmax= 705.4 kNF14NF2NF

24、例例: 图示结构图示结构,已知：已知： L、A、E、a、F , AB为刚体为刚体.求：各杆轴力。求：各杆轴力。123FLaaAB解解：1 1、平衡方程、平衡方程: :2 2、几何方程：、几何方程：3 3、物理、物理方程方程：4 4、联立平衡方程和补充方程得、联立平衡方程和补充方程得: :02, 00, 012321aFaFMFFFFYNNANNN3122lll,332211EAlFlEAlFlEAlFlNNN.65;31;61321FFFFFFNNNF3NF2NF1NFABC1B1l1C2l1A3l3122NNNFFF例例: 图示结构图示结构,AB为刚性杆，杆为刚性杆，杆1、杆、杆2为相同材料

25、，为相同材料， 横截面积均为横截面积均为A=300mm2，许用应力，许用应力 ，载荷，载荷 。试校核杆。试校核杆1、杆、杆2的强度。的强度。12FlaaAB解解：1 1、平衡方程、平衡方程: :2 2、几何方程：、几何方程：3 3、物理、物理方程方程：4 4、联立平衡方程和补充方程得、联立平衡方程和补充方程得: :022, 021aFaFaFMNNB122 llEAlFlEAlFlNN2211,KNFKNFNN40;2021F2NF1NFABC122NNFF1A1C1l2l5 5、求应力并校核强度、求应力并校核强度: :,2 .133,7 .662211MPaAFMPaAFNN MPa160k

26、NFp50剪剪 切切 基本要求：基本要求：1. 联接件的剪切强度的计算；联接件的剪切强度的计算；2. 联接件的挤压强度的计算。联接件的挤压强度的计算。难点：难点：双剪的剪切、挤压强度的计算；双剪的剪切、挤压强度的计算；联接件的综合计算。联接件的综合计算。连接件的强度条件连接件的强度条件剪切的强度条件剪切的强度条件SSAF挤压强度条件挤压强度条件bsbsbsbsAF钢板拉伸强度破坏钢板拉伸强度破坏bsFbsN净面积AF典型例题：典型例题： 例例1 有两块钢板，其厚度分别为有两块钢板，其厚度分别为t18 mm，t210 mm，b=200mm。用。用五个直径相同的铆钉搭接。受拉力五个直径相同的铆钉搭

27、接。受拉力F200kN的作用，如图的作用，如图a所示。材料的所示。材料的许用应力分别为许用应力分别为160MPa，140MPa，C320MPa，求铆钉所需，求铆钉所需的直径的直径 d。 解解 两块钢板搭放用铆钉联接的两块钢板搭放用铆钉联接的形式称为搭接（见图形式称为搭接（见图a）。）。 绘出上钢板的受力图和轴力图绘出上钢板的受力图和轴力图（见图（见图b）。绘出铆钉的受力图（见）。绘出铆钉的受力图（见图图c）。因为上钢板的厚度）。因为上钢板的厚度t18mm，小于下钢板的小于下钢板的t210mm，所以我们只，所以我们只对上钢板进行挤压和抗拉强度计算。对上钢板进行挤压和抗拉强度计算。 由强度条件由强

28、度条件QQAF故应有故应有42QFd（1）铆钉的剪切强度计算）铆钉的剪切强度计算得得mFdQ363101.191014014.3104044挤压力挤压力: FC40103N，挤压面积挤压面积:ACdt1d8103m2 由挤压强度条件由挤压强度条件 CCCCAF 得得md3633106.15103201081040（2）挤压强度计算）挤压强度计算 (如图如图c 所示所示) 由图由图b可知，可知，11截面为危险截面，此面上截面为危险截面，此面上FN200kN，其净面积，其净面积Aj（b2d）t1 = (0.22d)810-3m2。即即 63310160108)22 .0(10200d得得 d0.0

29、22m=22mm所以所以d的取值范围内应为的取值范围内应为 ： 19.1mmd22mm取取 d20mm（3）钢板的拉压强度计算）钢板的拉压强度计算111jNAF由抗拉强度条件由抗拉强度条件 例例2 图图a所示中间的两块主钢板通过上下两块盖板对接。铆钉与钢板材所示中间的两块主钢板通过上下两块盖板对接。铆钉与钢板材料相同。材料的许用切应力料相同。材料的许用切应力=130MPa，许用挤压应力，许用挤压应力C=300MPa，许用，许用拉应力拉应力=170MPa。铆钉直径。铆钉直径D=20mm，主板厚度，主板厚度t1=10mm，盖板厚度，盖板厚度t2=6mm，宽度，宽度 B=200mm。在。在 F=20

30、0kN作用下，试校核该接头的强度。作用下，试校核该接头的强度。 解解 1）校核铆钉的剪切强度）校核铆钉的剪切强度 F力由主板传给铆钉，再由铆钉力由主板传给铆钉，再由铆钉将力传给盖板。当接头处的铆钉直径将力传给盖板。当接头处的铆钉直径相同时，外力相同时，外力F由铆钉平均承担。由铆钉平均承担。 左（右）侧主板传给每个铆钉的左（右）侧主板传给每个铆钉的外力为外力为F/n=F/5，盖板传给每个铆钉，盖板传给每个铆钉的外力为的外力为F/2n=F/10，铆钉受力如图，铆钉受力如图b所示。所示。 此铆钉有两个剪切面，由平衡条此铆钉有两个剪切面，由平衡条件得剪切面上的剪力为件得剪切面上的剪力为FQ=F/10。

31、所。所以以 MPaMPadFAFQQ1306 .631020102044102332）（2）校核铆钉的挤压强度）校核铆钉的挤压强度 主板厚度（主板厚度（10mm）比两块盖板厚度之和（）比两块盖板厚度之和（12mm）小，而它们受到）小，而它们受到的挤压力一样，故应该校核铆钉与主板之间的挤压强度，即的挤压力一样，故应该校核铆钉与主板之间的挤压强度，即 MPaMPadtFAFCCC3002001010205102005631（3）校核主板的抗拉强度）校核主板的抗拉强度 画出左边主板的受力图和轴力图画出左边主板的受力图和轴力图（见图（见图d），校核），校核， 截面的抗拉强度。截面的抗拉强度。 MPaM

32、PatdbFAFN1701251010)202200(10200)2(6311MPaMPatdbFAFN1707 .851010)203200(5102003)3(5/36312综合上述计算，可见该连接件强度条件满足。综合上述计算，可见该连接件强度条件满足。 MPaMPatdbFAFN170119106)203200(210200)3(2/6322 （4）校核盖板的抗拉强度）校核盖板的抗拉强度 画出盖板受力图和轴力图（见画出盖板受力图和轴力图（见图图e），可见在），可见在截面处轴力最截面处轴力最大而截面积最小，大而截面积最小， 截面即为截面即为危险截面。危险截面。扭扭 转转基本要求：基本要求：

33、1. 圆杆受扭时的扭矩计算和扭矩图的绘圆杆受扭时的扭矩计算和扭矩图的绘 制；制；2. 圆杆受扭时的横截面上的切应力计算和强度条件；圆杆受扭时的横截面上的切应力计算和强度条件；3. 圆杆受扭时的变形计算和刚度条件。圆杆受扭时的变形计算和刚度条件。难点：难点： 圆杆受扭时，扭矩正、负符号的确定；圆杆受分圆杆受扭时，扭矩正、负符号的确定；圆杆受分布扭时，扭矩图及扭布扭时，扭矩图及扭转角的计算。转角的计算。 例例3. 图图a所示为装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已所示为装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知：知：T11.5KNm，T22KNm，T39KNm，T44.5KNm；各轮的间各轮

34、的间距为距为:L10.8m，L21.0m，L31.2m；材料的材料的80MPa，=0.3/m，G80109Pa。 （1）设计轴的直径）设计轴的直径D；（；（2）轴的直径）轴的直径D0105，试计试计算全轴的相对扭转角算全轴的相对扭转角D-A。 解解（1 1）绘出扭矩图（见图）绘出扭矩图（见图b b） （2 2）设计轴的直径）设计轴的直径 由扭矩图可知，圆轴中的最大扭矩发由扭矩图可知，圆轴中的最大扭矩发生在生在ABAB段和段和BCBC段，其绝对值段，其绝对值M Mn n4.5KNm4.5KNm。由强度条件由强度条件 161633maxDMDMWMnnPn求得轴的直径为求得轴的直径为mMDn066

35、.01080105.41663633由刚度条件由刚度条件 180maxPnGIM 即即 3 .0180108032105 .4943D 得得mD102.03 .01080180105 .4323923 由上述强度计算和刚度计算的结果可知，该轴之直径应由刚度条件由上述强度计算和刚度计算的结果可知，该轴之直径应由刚度条件确定，选用确定，选用D102mm。 （3）扭转角）扭转角 D-A计算计算 根据题意，轴的直径采用根据题意，轴的直径采用DO105，其极惯性矩为，其极惯性矩为 444410119032)105(32mDIABBCCDADGIlMGIlMGIlMABnBCnCDn123)()()(89

36、389389310119010808 . 0105 . 410119010801105 . 410119010802 . 1105 . 1 1.891034.731033.78103 2.84103（rad）0.163扭转角为扭转角为弯曲内力弯曲内力 基本要求：基本要求： 1. 求指定截面上的内力；求指定截面上的内力； 2. 建立剪力方程建立剪力方程Fs（x），弯矩方程，弯矩方程M（x）； 3. 熟练并正确地作出剪力图、弯矩图。熟练并正确地作出剪力图、弯矩图。 难点：难点： 分布载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系；分布载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系； 剪力图、弯矩图的凹向、极值判定。剪力图、弯

37、矩图的凹向、极值判定。 例例1 试作图示梁和剪力图和弯矩图试作图示梁和剪力图和弯矩图。 ,7KNFAyKNFDy9解解 （一）求约束力（一）求约束力 典型例题：典型例题： （二）建立剪力方程和弯矩方程（二）建立剪力方程和弯矩方程 由于梁上的载荷将梁分成四个域，因此由于梁上的载荷将梁分成四个域，因此须分须分 AB，BC，CD，DE 四段四段 写出剪力方程写出剪力方程和弯矩方程。和弯矩方程。KNFFxFAyQ3)(12)21 (2mxm) 1()(2122xFxFxMAy)21 (2mxmBC BC 段段：CDCD段段：)2(3)2()(3313xqxqFFxFAYQ)42(3mxm2)2() 1

38、()(2303133xqmxFxFxMAy)42(3mxmKNFxFAyQ7)(1)10(1mx xxFxMAy7)(1)10 (1mx AB段：段：22)(14DyAyQFqFFxF)54(4mxm)4()3(2) 1()(4404144xFxqmxFxFxMDyAy)54(4mxmDEDE段段：（三）作剪力图和弯矩图（三）作剪力图和弯矩图 根据各段的剪力方程，作出剪力图根据各段的剪力方程，作出剪力图如图如图b所示。根据各段的弯矩方程，作所示。根据各段的弯矩方程，作出弯矩图如图出弯矩图如图c所示。所示。 应当指出的是，在应当指出的是，在图和图和M图中应标图中应标出各控制截面上的剪力数值和弯矩

39、数出各控制截面上的剪力数值和弯矩数值。值。 所谓控制截面，是指梁的端截面、所谓控制截面，是指梁的端截面、载荷变化截面、极值剪力和极值弯矩载荷变化截面、极值剪力和极值弯矩所在截面。由图所在截面。由图b,c可知全梁的最大剪可知全梁的最大剪力和最大弯矩分别为力和最大弯矩分别为 KNFQ7maxKNmM8max 例例2 2 试用试用q,Fq,FQ Q,M ,M 之间的微分关系作图之间的微分关系作图示梁的剪力图和弯矩图。示梁的剪力图和弯矩图。 KNFKNFDyAy5 .12,5 . 5 解解（一）求支座约束力（一）求支座约束力 （二）（二） 作剪力图作剪力图 根据梁上受力情况，将梁分成根据梁上受力情况，

40、将梁分成AC、CD、DB三段。三段。AC段：段： 无载荷作用，即无载荷作用，即 q(x)=0，故此段剪力故此段剪力图为一条平行于梁轴的水平线。图为一条平行于梁轴的水平线。A截面有集截面有集中力中力FAy=5.5KN作用作用,其突变其突变FQA=FAy=5.5KN ,此段剪力图即为一条此段剪力图即为一条FQ=5.5KN水平线。水平线。 CD段：载荷为段：载荷为 q(x)=2KN 方向向下，故此段剪力图为递减，是一条向右方向向下，故此段剪力图为递减，是一条向右下方倾斜的直线，须由两个截面上的剪力来确定该斜直线。下方倾斜的直线，须由两个截面上的剪力来确定该斜直线。 KNFQC5 . 5KNqFQD5

41、 . 65 . 56左DB段段：载荷为载荷为q(x) =2KN ，方向向下。故此段剪力图仍为一条向右下方倾，方向向下。故此段剪力图仍为一条向右下方倾斜的直线。因为斜的直线。因为D截面上有集中力作用（支座约束力截面上有集中力作用（支座约束力FDy），所以此截面剪），所以此截面剪力有突变，突变值为力有突变，突变值为FDy=12.5KN ,故故KNFFFQDDyQD65 . 65 .12左右B截面有集中力作用，突变值为截面有集中力作用，突变值为F=2KN KNqFFQDQB22 右左全梁的剪力图如图全梁的剪力图如图b所示。所示。 KNFQ5 . 6max （三）作弯矩图（三）作弯矩图AC段：段：q(

42、x)=0, FQ(x)0 此段弯矩图为递增，形状是一条向右下方此段弯矩图为递增，形状是一条向右下方倾斜的直线。须定两个截面的弯矩倾斜的直线。须定两个截面的弯矩mKNFMMAyCA112, 0左E截面上截面上FQ=0故弯矩在该截面有极值，其故弯矩在该截面有极值，其大小为大小为mKNME56. 275. 22211675. 45 . 52mKNMD82221222DBDB段段: : q(x)=2KN/mq(x)=2KN/m，方向向下，此段，方向向下，此段弯矩仍为一条下凸的曲线，考虑到此段内弯矩仍为一条下凸的曲线，考虑到此段内无无F FQ Q=0 =0 的截面，而的截面，而F FQ Q0 0 ，所以

43、弯矩为递，所以弯矩为递增增M MD D=-8KN.m=-8KN.m，M MB B=0=0, , 全梁的全梁的M M图如图图如图c c所示。所示。mKNM11maxC C截面有集中力偶截面有集中力偶m m0 0 作用，故作用，故C C截面弯矩有截面弯矩有突变，其值为突变，其值为mKNMMmCC160右左mKNMmMCC511160左右CDCD段：段：q(x)=2KN/mq(x)=2KN/m 方向向下，此方向向下，此 段弯矩图为一条下凸的曲线。段弯矩图为一条下凸的曲线。1m4m10kN/m20kN40kN、mCBA解解：1 1、支反力、支反力).(25);(3504405202410, 00410

44、20, 0kNRkNRRMRRYBAABBA2 2、画内力图、画内力图Fsx（kN）BRAR-2015-25x202.5m31.25-20M(x)kNmKNmMMMAE25.3125.1120155 . 121max右E2FF1.4 m0.6 mFFFs0.8F0.6FM附录附录 平面图形的几何性质平面图形的几何性质基本要求：基本要求：1 1静矩和形心静矩和形心2 2惯性矩、极惯性矩、惯性积惯性矩、极惯性矩、惯性积3. 3. 平行移轴公式平行移轴公式难点：难点：组合图形的形心、惯性矩计算组合图形的形心、惯性矩计算典型例题：典型例题：例例 试计算图示槽形截面的形心主惯性矩试计算图示槽形截面的形心

45、主惯性矩。 解解 （1）形心坐标）形心坐标 ZC的计算。的计算。Z 为对称轴，形心必在为对称轴，形心必在Z 轴上轴上 11110.589.540010.52 89.51810.52240010.52 89.51826.9niiyicniiA ZSZAAmm （2）确定形心主轴）确定形心主轴 z 为对称轴，故为形心主轴，另一条形心主轴必须过形心并与为对称轴，故为形心主轴，另一条形心主轴必须过形心并与 z 轴轴垂直，即图中垂直，即图中 y 轴。轴。（3 3）形心主惯矩计算）形心主惯矩计算 3324410.540089.5182200989.51812121.73610zIm 23238440010

46、.510.526.940010.51221889.589.5210026.989.51812267510yIm 弯曲应力弯曲应力 基本要求：基本要求：1. 梁弯曲时，横截面上的正应力及强度计算；梁弯曲时，横截面上的正应力及强度计算；2. 梁弯曲时，横截面上的切应力及强度计算。梁弯曲时，横截面上的切应力及强度计算。 难点：难点：梁的截面上下不对称、材料的拉压性能不同、梁的截面上下不对称、材料的拉压性能不同、梁的弯矩有正负时的正应力强度计算。梁的弯矩有正负时的正应力强度计算。典型例题：典型例题： 例例1 有一外伸梁受力情况如图有一外伸梁受力情况如图a所示。其容许拉应所示。其容许拉应t=40MPa

47、，容许压应力容许压应力c=100MPa 。试校核梁的强度。试校核梁的强度。 解解（一）作梁的弯矩图（一）作梁的弯矩图(如图如图c所示所示)最大正弯矩最大正弯矩 MC=10kN.m最大负弯矩最大负弯矩 MB=20kN.m （二）确定中性轴的位置（二）确定中性轴的位置 截面形心距底边为截面形心距底边为cmyC1392003017030185200308517030 通过截面形心与纵向对称轴垂直的形通过截面形心与纵向对称轴垂直的形心主轴心主轴z即为中性轴即为中性轴(见图见图d）。）。 （三）截面对中性轴的惯矩（三）截面对中性轴的惯矩462323103 .40541703012170304630200

48、1230200mIz（四）校核梁的强度（四）校核梁的强度 因为梁的许用拉、压应力不同，而且因为梁的许用拉、压应力不同，而且梁的截面形状对中性轴不对称，所以，必梁的截面形状对中性轴不对称，所以，必须校核梁的最大正弯矩截面（须校核梁的最大正弯矩截面（C截面）和截面）和最大负弯矩截面（最大负弯矩截面（B截面）的强度。截面）的强度。 (2) B 截面强度校核截面强度校核 MB=20KN.m为负弯矩，故截面上边缘为最大拉应力；截面下边缘为为负弯矩，故截面上边缘为最大拉应力；截面下边缘为最大压应力。最大压应力。 ttMPa5 .34103 .40101391010)(633max ccMPa1 .1510

49、3 .4010611010)(633max (1) C 截面强度校核截面强度校核 MC=10KN.m为正弯矩，故截面上边缘为正弯矩，故截面上边缘为最大压应力，截面下边缘为最大拉应力。为最大压应力，截面下边缘为最大拉应力。讨论讨论 如果将此梁的截面倒放成如果将此梁的截面倒放成 形，这时梁的最大拉应力将发生在形，这时梁的最大拉应力将发生在B B截截面的上边缘，其值为面的上边缘，其值为 MPaMPatt4069103 .40101391020)(633max 此时梁的强度就不足。由此可见，对于这种抗拉、抗压强度不相同、此时梁的强度就不足。由此可见，对于这种抗拉、抗压强度不相同、截面上下又不对称于中性

50、轴的梁，须根据梁的受力情况合理放置梁的截截面上下又不对称于中性轴的梁，须根据梁的受力情况合理放置梁的截面。面。 ttMPa2 .30103 .4010611020)(633max ccMPa69103 .40101391020)(633max (2) B 截面强度校核截面强度校核 MB=20KN.m为负弯矩，故截面上边缘为最大拉应力；截面下边缘为为负弯矩，故截面上边缘为最大拉应力；截面下边缘为最大压应力。最大压应力。 解：1)求约束反力求约束反力.5 .10,5 . 2kNFkNFBYAY)(5 . 2下下拉拉、上上压压kNmMC （上上拉拉、下下压压）kNmMB4 例、例、T 字形截面的铸铁

51、梁受力如图，铸铁的字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的 t=30 M Pa， c=60 M Pa.其截面形心位于其截面形心位于C点，点，y1=52mm， y2=88mm，I z =763cm4 ，试校核此梁的强度。，试校核此梁的强度。y 2y 1C Cz1m1m1mABCD2.5kNm-4k N m2 2）画弯矩图）画弯矩图AyFByFxkNF91kNF423 3）求应力）求应力B截面截面（上拉下压）（上拉下压）MC截面截面（下拉上压）（下拉上压）zCCtIyM2maxC截面截面（下拉上压）（下拉上压）:y 2y 1C Cz1m1m1mABCDF 2 =4kNF 1 =9kN tt2 .28max

52、cc2 .46maxMPa2 .281076310885 . 246zCCIyMc1maxMPa04.174 ) 4 ) 强度校核强度校核A1A2A3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa2.5kNm-4k N mxMB截面截面（上拉下压）（上拉下压）:,2 .271076310524461maxMPaIyMzBBtMPaIyMzBBc2 .461076310884462max最大拉、压应力不在同一截面上最大拉、压应力不在同一截面上A1A2y 2y 1C CzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa结论结论对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面一个截面：对Z轴不对称截面的弯曲

53、梁，必须计算两个截面两个截面：maxMmaxmax; MMx 2.5kNm-4k N mM 例例2 有一外伸梁受力如图所示，已知许用应力有一外伸梁受力如图所示，已知许用应力160MPa， 100MPa，试选择钢梁的型号。，试选择钢梁的型号。 解解 （1）作梁的）作梁的Fs图和图和M图图 由内力图可知由内力图可知 Mmax=20kNm FQmax=50kN （2 2）按正应力强度条件选择型号）按正应力强度条件选择型号 得得 3663max10125101601020mMWz 若用若用16号工字钢，则其号工字钢，则其 Wz141cm3=14110-6m3Wz=12510-6m3能能满足梁的正应力强

54、度条件。满足梁的正应力强度条件。 zWMmaxmax由强度条件由强度条件讨论讨论:在校核梁的强度或进行截面设计时，必须同时满足梁的正应力在校核梁的强度或进行截面设计时，必须同时满足梁的正应力强度条件和切应力强度条件。强度条件和切应力强度条件。在工程中，通常是先按正应力强度条件设计出截面尺寸，然后再进在工程中，通常是先按正应力强度条件设计出截面尺寸，然后再进行切应力强度校核。行切应力强度校核。但由于在一般情况下按正应力强度条件所设计的截面，常可使得梁但由于在一般情况下按正应力强度条件所设计的截面，常可使得梁内横截面上的最大切应力远远小于材料的许用切应力内横截面上的最大切应力远远小于材料的许用切应

55、力，因此，对，因此，对于一般的细长梁，我们总是根据梁中的最大正应力来设计截面，而不于一般的细长梁，我们总是根据梁中的最大正应力来设计截面，而不一定需要进行切应力强度校核。一定需要进行切应力强度校核。只是在以下几种特殊情况下，还必须注意校核梁的切应力强度。只是在以下几种特殊情况下，还必须注意校核梁的切应力强度。 MPaMPaItSFzwzQ1006 .59101130106108 .8010508363maxmax故选用故选用1616号工字钢能满足切应力强度条件。号工字钢能满足切应力强度条件。 （3）校核梁的切应力强度）校核梁的切应力强度 16号工字钢的有关数据由型钢表查得号工字钢的有关数据由型

56、钢表查得Iz1130cm4,tw=6mm,Sz=80.8cm3，梁内最大切应力梁内最大切应力 1）梁的跨度很短而又受到很大的集中力作用，或有很大的集中力作）梁的跨度很短而又受到很大的集中力作用，或有很大的集中力作用在支座附近。在这两种情况下，梁内可能出现的弯矩较小，而集中力作用在支座附近。在这两种情况下，梁内可能出现的弯矩较小，而集中力作用处横截面上的剪力却很大。用处横截面上的剪力却很大。 2）工字梁的腹板宽度很小，或在焊接、铆接的组合截面钢梁中，当其）工字梁的腹板宽度很小，或在焊接、铆接的组合截面钢梁中，当其横截面腹板部分的宽度与梁高之比小于型钢截面的相应比值时，应对腹板横截面腹板部分的宽度

57、与梁高之比小于型钢截面的相应比值时，应对腹板上的切应力进行强度校核。上的切应力进行强度校核。 3）木梁。由于木材在顺纹方向的抗剪能力较差，在横力弯曲时可能）木梁。由于木材在顺纹方向的抗剪能力较差，在横力弯曲时可能因中性层上的切应力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。因此，还需要按因中性层上的切应力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。因此，还需要按木材顺纹方向的许用切应力木材顺纹方向的许用切应力对木梁进行强度校核。对木梁进行强度校核。 弯曲变形弯曲变形基本要求：基本要求：1. 1. 用积分方法求梁的变形时的边界条件与连用积分方法求梁的变形时的边界条件与连续条件；续条件；2. 2. 用叠加法求梁的变形；梁

58、的刚度计算；用叠加法求梁的变形；梁的刚度计算；3. 3. 用变形比较法求解简单超静定梁。用变形比较法求解简单超静定梁。难点：难点： 变形比较法求解简单超静定梁。变形比较法求解简单超静定梁。 典型例题：典型例题： 例例1 1 求如图所示梁的求如图所示梁的B B、C C 截面的挠度。截面的挠度。 解解 B截面的挠度有两部分组成。截面的挠度有两部分组成。 （1）由图）由图b可知，由于可知，由于C 截面的挠截面的挠度度 yc而引起而引起CB 段的刚性平移，因段的刚性平移，因此有此有EIqlEIlqyyCB12882441(2)由图由图b可知，由于可知，由于C 截面的转动截面的转动C将带动将带动CB 段

59、作刚性转动，因此有段作刚性转动，因此有 EIqllEIlqyCB962622432B截面的总挠度为截面的总挠度为EIqlEIqlEIqlyyyBBB38479612844421 例例 2. 外伸梁受力如图所示。外伸梁受力如图所示。EI为常为常数，试用叠加法求自由端数，试用叠加法求自由端C截面的挠度截面的挠度yC。 解解 首先将原图看成由图首先将原图看成由图b b、c c两部两部分所组成。分所组成。 由（由（b b）图可知，因）图可知，因B B截面的转动截面的转动将带动将带动BCBC段作刚体般的转动，故有段作刚体般的转动，故有 aEIFalaEImlayBC331 而而F力通过力通过B支座，对梁

60、不产生变形。支座，对梁不产生变形。由图（由图（c）可知，）可知，C截面的挠度为截面的挠度为 EIFayC332所以，所以，C C 截面的总挠度为截面的总挠度为alEIFaEIFaEIlFayyyCCC33323221 例例3 悬臂梁悬臂梁ABC受力如图所示。受力如图所示。EI,q,l均已知。试用叠加法求均已知。试用叠加法求B,yB,C,yC。 解解 首先，将原梁设想为由图首先，将原梁设想为由图6所示的所示的b，c，d，e所组成，即所组成，即AB部分受均布载荷部分受均布载荷q及在及在B截面受到集中力截面受到集中力F=ql/2 和集中力偶和集中力偶mo=ql2/8 作用下的悬臂梁。作用下的悬臂梁。