从几个案例看高三课堂教学中对知识网络的构建

1、从几个案例看高三课堂教学中对知识网络的构建 徐荣新高三数学的课堂教学以复习为主，一轮重基础，达到基本知识点和基本方法的梳理；二轮重专题，知识的强化是目标。但更重要的应是如何在复习中使得学生达到能力的提高，能站在一定的高度来把握每章节的知识点、方法以及不同章节之间的联系，使知识达到一种整体性，即构建成知识的网络结构，从而使得学生对问题的剖析更有深度，让思考有一定的外延，培养创新意识和能力。笔者以下结合几个课堂教学案例谈谈自己的一些看法。案例1：导数应用复习课教师：学习了导数之后，我们研究函数如虎添翼，对函数的性质有了更好、更深刻的了解。这节课我们一起来领略导数的巨大作用。问题1：对于函数f（x）

2、=x33x，同学们利用导数可以研究哪些？学生活动（板演）：求解单调区间和极值。教师：很好！有了这些，我们还能对这个函数有更深一步的了解吗？学生活动：描绘出图像。教师：能求这个函数的最大和最小值吗？学生：不能，从图像上看出函数无最值。但添上闭区间就可以了。教师：那好，求f（x）=x33x在区间2，3上的最值。学生活动：列表或根据图像可得，最大值为f（3）=18，最小值为f（2）=f（1）=2。教师：设f（x）=x33x，是否存在实数a使得对任意的x1、x22，3,有| f（x1）f（x2）|a恒成立？学生活动：只要看f（x）的最大和最小值之差，为20，所以a20.教师：非常好！同学们能根据所学知

3、识非常严谨规范地解决函数的单调性问题、极值和最值问题，更关键的是我们可以了解函数的图像，为我们进一步研究函数问题做好了准备。问题2：函数f（x）=x3ax是（，1）上的增函数，（1，1）上的减函数，求a。学生活动：由题意=0，得a=3.教师：有问题吗？导数为0的点一定是极值点吗？一定保证1是极大值点吗？学生：不能，要检验。教师：如果函数f（x）=x3ax是R上的增函数，求a的取值范围。学生活动(讨论交流)： =3x2a0。结合二次函数图像或利用参数分离求得a0。教师：如果函数f（x）=x3ax是（2，1）上的减函数，求a的取值范围。学生活动(讨论交流)： =3x2a0。结合二次函数图像或利用参

4、数分离求得a12。教师：大家做的非常棒！对于含有参数的有关问题，利用导数的相关知识，结合其他相关的方法和知识，问题可以得到解决。但对于第一个问题，要注意问题的严谨性，加以检验。问题3：通过问题1，我们能够利用导数得到函数图像；通过问题2，我们可以研究含有参数的问题。那么请同学们讨论，能否编制一道结合这两个知识点的题目？学生交流活动，教师加以指导，请同学发言：试讨论函数f(x)=x33x的图像与函数y=a的图像的交点个数？学生活动：通过导数描绘出f（x）的图像，观察可得a2或a2时有一个交点；当a=±2时有两个交点；当2a2时有三个交点。教师：题目很好，但提示太明显。能否对图像的作用隐

5、晦点表露出来，以代数的形式来表达？学生讨论：讨论方程x33xa=0的解的个数。教师：这道题目更好地体现了数形结合的数学思想方法，实属高层次！师生小结本节课收获评述：导数的应用主要体现在函数的相关知识之中，其中有数的运算，有形的结合。本节课在例题的设置上，教师利用学生已有的知识基础，极好地整合了学生的主体性和教师的主导性，通过变式，使得问题层次不断提高，知识不断呈现巩固，强化了重要的知识点，让学生在头脑中清晰地形成本章节的知识脉络；同时思想方法在无形中渗透，使学生的能力得到了提高，思考问题有了一定的高度和深刻性。案例2：向量运算复习课教师：对于向量这一章，它的各种运算方式贯穿始终，先请大家回忆一

6、下向量有哪些运算类型？学生回答：向量的加法、减法、数乘和数量积。教师：下面请同学们合作讨论完成下表，其中 ，：（教师给予必要的指导）运算类型代数表达形式几何表达形式坐标表达形式运算性质加法平行四边形法则=（x1x2，y1y2）=（）=（）减法三角形法则=（x1x2，y1y2）=数乘共线的体现=（x1，y1）=Û（）数量积投影的问题=x1x2y1y22=|2|教师：从这张表格中，我们感受到了向量的多种运算表达方式，有几何形状的直观感受，也有数字形式的刻画，这也给我们在解决向量问题时带来了一种很好的数学思想方法，是？学生：数形结合的思想方法。教师：很好！下面请看2008年浙江高考题：已知

7、、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（）·（）=0，则|最大值是 。学生1：展开得，2=0，即2=（*），下面就不会处理了。学生2：要出现|，故左边变为|2，右边为|cos|cos，（、为与和的夹角），所以|=coscos，结合图像可得要取得最大值，=900，所以|=cossin=sin(450)，|的最大值为，=450。教师：非常好！带着目标意识对（*）进行了处理。请大家思考，能否简化，只出现一个未知夹角？学生3：把2=化简为|2=·（）=|cos，（为与的夹角），则|=cos，|的最大值为，=00。教师：不错，通过对式子（*）利用了运算性质，达到了减元的目标，简

8、洁！还有其他做法吗？学生4：因为、是平面内两个互相垂直的单位向量，我想到了建立直角坐标系，如图：Oxy设=（1，0），=（0，1），=（x，y）。则（1x，y）·（x，1y）=0，得x2xy2y=0，即，所以终点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故|的最大值为。AB教师：很好，同学4极好地抓住了题目条件，通过建立坐标系的方式实现了代数运算，过程简洁。学生5：看到（）·（）=0即（）（），我想到了作图，由于、终点固定，所以由图可得的终点轨迹是以AB为直径的圆周，故|的最大值为。教师：非常漂亮的利用图像解决了问题，很好地体现了图形的作用。刚才通过大家的努力，我们从三个角度解决了这道

9、高考题，关键在于我们能站在一定的高度从整体上把握了向量的运算，从而有效利用题中条件，找到解决问题的突破口，也很好地体现了数形结合处理问题的思想方法。评述：向量运算的多种呈现方式使得向量运算成为本章的重点和难点，特别是学生在遇到类似问题时运算方式的选择、取舍成为首要解决的问题。本节课开始教师直接引导学生对向量的运算进行了整体的回顾认识，使得学生在开始就对向量的运算有了一定高度的认识和把握，建构起向量运算的知识网络图，使不同运算之间建立了联系，当然做到这一点需要教师的深厚的教学功底和能力。2008年浙江高考题的呈现成为本章知识网络建构的催化剂，通过问题的解决，同学们对向量的每种运算有了更深的认识和

10、把握，并能灵活运用，数形结合的思想方法也得到了强化。相信通过这样的课堂组织和安排，建构起章节的知识方法网络对学生来说不是难事！案例3：一道高考题的解答教师：请同学们看2006年江苏卷的一道题：设a为实数，记函数的最大值为g（a）（）设t，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；（）求g（a）；（）试求满足的所有实数a。此题的关键点在于第一问中的t范围的解答，本节课我们就来重点研究这个问题，请同学们尝试能否从多个角度来思考这个问题，找到可行的方法或线索。（学生活动交流）学生1：可以尝试平方得，t222，而x1，1，故t22，4，由t0，所以t，2。教师：很好，俗话说：“根号怕平方”，

11、看样子很有道理。有同学能从另一个角度理解“根号怕平方”的意思从而寻找到别样的方法吗？学生2：让根号里面变成平方式，用三角换元。因为x1，1，令x=cos，0，则=2，由0，可得t=，2。教师：很好，原来通过三角换元的知识构造根号里面的平方式赋予了“根号怕平方”另一层含义，真是长了见识！学生3：求导好像也可行！=0，解得x=0。由 x1，1，列表得x1（1，0）0（0，1）10t2从而t，2。教师：对，别忘了对付函数的最值问题我们还有最基本的方式：求导。不管函数是高次多项式形式，还是根式形式，或者对数形式，三角形式等等，都可一试！xyO学生4：考虑到=2，故不妨设a=，b=，则t=ab，即b=a

12、t，其中a2b2=2，（a0，b0）变成一道线性规划的问题，结合图像可求得t，2。教师：这位同学很好地抓住了=2，从而换元，相比前面的方法，虽然有两个未知数出现，但由于这两个未知数所满足的关系，巧妙地用线性规划知识解决了问题。非常棒！请同学们思考，=2此关系式还可以挖掘一下利用价值吗？（学生沉默）教师提示：譬如向量中某个相关的知识？学生（兴奋）：向量的模！即可以设向量，但如果由此利用终点的轨迹是个圆的话，解法跟上面的做法就一样了。教师提示：既然我们已经想到了向量的思路，那的形式是否也可变一下，譬如=？学生：是数量积形式！设向量，则·=|cos=2cos，由图可得的终点轨迹是位于第一象

13、限的四分之一圆周，故00，450，2。教师：在大家的努力下我们利用平方、换元、求导，甚至线性规划和向量解决了这道高考问题，只要肯动脑、多联系，原来高考题也是如此简单！下面大家能否利用刚才的一些方法解决下面这道题：求y=的值域。学生5：求导仍然可以操作。=0，解得x=0。由 x1，2，列表得x1（1，0）0（0，2）20t3从而y，3。学生6:由于=5x，不是定值。但是如果设a=，b=,则2a2b2=6（a0，b0），y=ab，仍然可以用线性规划解决，不过可行域不再是四分之一圆周，而是位于第一象限的椭圆部分，结合图像可求得，只是相对于圆周，最大值不太好求，要联立求解。教师：由于化成了椭圆，运算过程稍显复杂，请大家思考，能否变化成圆的形式？学生7：把原式变为y=，设a=，b=，则a2b2=3（a0，b0），y=ab，可行域再次变成四分之一圆周，好求了！学生8：这样，向量的方法也可行了，设向量，则·=|cos=3cos，由图可得的终点轨迹是位于第一象限的四分之一圆周，故最小是00，此时·=3；最大时=（，0），此时·=。所以y，3。师生小结评