排队论在超市收银台管理与优化设计中的应用

1、排队论在超市收银台管理与优化设计中的应用摘要：排队论又称随机服务系统，本文介绍了排队论中处理超市收银服务的基本理论，并在此基础上应用M/M/c/排队模型对宣威的某一便民超市排队现象进行研究。通过收集、整理超市收银系统工作日和周末的接受收银服务的数据，根据排队论的相关理论建立模型，研究了该超市收银台的最优收费柜台数目。关键词：排队论；M/M/c/模型；超市；收银台；优化1 引言1.1问题的研究背景及其意义随着市场经济的发展，超市在中国城乡各地大量涌现，超市这一零售业已越来越受人们的欢迎。在激烈的市场竞争中，如何提高经济效益，吸收更多的顾客是超市经营商最关心的问题。而收银台的排队系统是超市和顾客接

2、触的平台，排队系统的服务质量将影响到超市整个运营的水平和绩效，利用排队论优化超市收银台，为顾客提供最佳服务将是超市竞争的必然选择。收银员的形象、服务态度、职业技能固然重要，而超市收银台的管理与优化也不容忽视。收银台前排队成龙的超市显然不是人们希望购物的环境，多数人宁愿放弃或稍远一点去购物，也不愿在拥挤中排队等待。特别是一些成功人士，宁愿多花一点钱也不愿排队，对他们来说时间就是金钱。由于顾客的到达是随机的，若开放的服务窗口过少，排队现象就会严重，影响服务质量造成顾客流失；但如果超市开放的收银台过多，虽然可以减少顾客等待时间，却意味着超市增加投资，有时还可能发生资源空闲浪费的现象。因此，如何根据客

3、流量动态的、合理的开放收银台数目，缩短顾客等待时间，同时降低超市经营成本，提高效益，显得尤为重要。1.2研究现状超市最初于20世纪30年代以不提供服务的廉价零售店在美国建立，之后成为美国主要食品市场通道，50年代传播到欧洲，超市的发展是发达国家降低成本，简化销售方式趋势的一部分。20世纪60年代超市在欧洲和拉丁美洲的发展中国家出现，主要受中、上层阶级欢迎，顾客以自助式的购买方式挑选商品。随着超市行业的迅速发展，对超市收银服务系统的研究已经受到人们的关注。因为就超市经营者而言，增加收银台就意味着增加投资，而收银台太少，排队现象就会严重影响服务质量，造成客源流失。那么到底设置多少收银台较为合适呢？

4、现阶段解决这一问题的方法是将系统中的由于等待所产生的损失费用加上超市开放收费窗口的费用作为总费用，使得这个总费用最小的收费窗口数即为所。排队论也称随机服务系统理论，是运筹学的一个重要分支，已经广泛地应用到实际生活中，尤其在通信系统、交通与运输系统、生产与服务系统、存贮与装卸系统、管理运筹系统、网络设计、计算机存储等领域都可用排队模型进行描述。把相应排队理论的研究成果应用到生产生活中，可以指导各种策略设计，给经济的发展带来巨大贡献，见文献5,6。而排队论理论也广泛地应用于超市收银系统见文献79，超市收银服务系统是一个动态的多服务台等待制随机服务系统，对服务系统的队长、等待时间等指标进行分析研究，

5、合理利用排队论来分析超市最佳的收银台数将具有重要的经济价值和实际意义。2等待制M/M/c/ 模型在M/M/c/ 模型中假设顾客到达的时间间隔服从参数为的负指数分布，顾客的服务时间服从参数为的负指数分布，到达时间与服务时间是相互独立的，有c个服务台。若顾客到达时服务窗全部处于忙的状态，则进行排队等待。等到服务完毕后才离开，另外规定各收银台工作是相互独立且平均服务率相同，于是整个服务机构的平均服务率为（当）;为（当）。令，只有当<1时才不会排成无限的队列，称它为这个系统的服务强度或称服务机构的平均利用率。其中>0是常数，为顾客到达强度，即单位时间内的顾客平均到达量。若表示时刻系统中的顾

6、客数，设表示时间内有个顾客到达的概率。当<1时，系统可以达到稳态，且有平稳分布其中 ，;3 超市收银台服务系统模型假设及建立3.1分析超市收银台系统特征超市顾客交费排队系统是一个动态的多服务台等待制排队系统，它有如下特征：（1）顾客到达交费服务系统是相互独立的，顾客到达的时间间隔是随机的。（2）服务规则遵从先到先服务原则，且为等待制，即当所有服务台均有人时，则需排队等待。（3）收银员看作系统的服务员系统由多服务员组成，且对每个顾客的服务时间是相互独立的。3.2超市收银台服务系统模型的假设由于可假设超市收银台服务系统中有c个服务台或服务员，顾客源是无限的，顾客按泊松流来到服务系统，到达强度

7、为，服务员的服务能力为，各个服务台的服务时间都是具有相同服务率的负指数分布。当顾客到达时，如果每个收银台都有人则参加排队等待服务，直到服务完成为止。所以假设超市收银台服务系统是一个多服务台等待制M/M/c/ 排队模型。（1）顾客流量假设假设顾客到达的规律可用概率来描述，即顾客到达的时间间隔符合泊松分布。泊松分布的函数为（为常数，k=0,1,2,）即在时间T内有k位顾客到达的概率为：，其中是时间T内顾客到达的平均数，为平均到达率。（2）服务时间收银台对顾客是一个一个进行服务的，而且每一位顾客服务时间长短不一，将服务时间看做相互独立的随机变量，则排队系统的服务时间服从负指数分布。其分布函数为：，。

8、其中为常数，代表单位时间内的平均服务率。则平均服务时间可表示为：。（3）服务机构设超市有c个相互独立的服务台，且假定每个服务台的服务能力相同，每个服务台每次只能服务一个顾客。服务时间服从参数为的负指数分布。（4）排队规则按先到先服务排队，当各服务台都有人时则需要排队，通常顾客到达后总是排在最短的队列后面，所以我们可以认为每个服务台的队列是一样长的。3.3模型变量及参数的含义在超市购物中，顾客与超市为了照顾自己的利益，从而对排队中的几个指标：队长、等待时间、服务台的忙期都是很关心的。因此，这几个指标就成了排队论的主要研究内容。（1）为顾客到达强度，即单位时间内的顾客平均到达量。（2）为各个服务台

9、的平均服务速率（设每个服务台速率都为），即服务员的服务能力。（3）为服务强度，即平均每单位时间中系统可以为顾客服务的时间比例，。（4）为排队服务系统中没有顾客的概率。（5）表示系统中的顾客数（包括排队等候的和正在接受服务的所有顾客）称平均队长。（6）表示系统中排队等候的顾客数，称为平均队列长。（7）表示顾客在系统中平均逗留时间（包括等待时间和服务时间）。（8）表示顾客在系统中的平均等待时间，称平均排队等待时间。如果设顾客接受服务的时间均值为，则有：=+说明：后四项指标的值越小，说明系统中排队的越少，等待时间越少，因而系统的性能就越好。3.4模型中系统的相应运行指标（1）平均排队等待队长（2）系

10、统队长（系统中平均顾客数）（3）平均等待时间（4）平均逗留时间其中： ， ， ;4 模型应用实例及结果分析4.1超市实际数据的收集我所选定的便民超市有500多平方米，工作日有2个收银台对顾客进行服务，周末有3个收银台对顾客进行服务。有时在收银台付款时需要等待几分钟才能得到服务，据了解在中午和周末排队现象相对更严重。所以决定选此建模分析得出最优收银台数。因此我对该超市进行了为期一周（7月20日7月26日）的数据调查统计(数据网络借鉴仅供参考)。对工作日和周末分别分十三个时段进行调查研究。采用人工统计的方法，每1个小时记录一次通过所有收银台接受收银服务的客流量，对顾客的到达情况统计整理如下：表4.

11、1工作日等待接受收银服务的顾客数人数 时间 星期一二三四五各时间段总人数9:0010:00_694832598229010:0011:008899814211242211:0012:007765941036140112:0013:0014712816214419978013:0014:00817459913033514:0015:00623119484120115:0016:00487156832828616:0017:00706179516432517:0018:0016818220114621290918:0019:001511381596018217080019:0020:0014212

12、81081026154120:0021:0012914115318820081121:0022:003752916297339表4.2周末等待接受收银服务的顾客数人数时间 星期星期六星期日各时间段总人数9:0010:001127819010:0011:0017322840111:0012:0018420538912:0013:009711321013:0014:0010811822614:0015:0014716230915:0016:0022324246516:0017:0020619640217:0018:0017114731818:0019:0013213827019:0020:0014

13、415430820:0021:0011810422221:0022:002733604.2超市实际数据的整理下面分别用表示工作日顾客的到达均值，表示周末顾客的到达均值。其中，通过对上面的数据进行计算，我们得到顾客的平均到达率如表4.3所示。 表4.3工作日与周末顾客平均到达率时间段（人/小时）(人/小时)9:0010:00589510:0011:0084200.511:0012:0080194.512:0013:0015610513:0014:006711314:0015:0040154.515:0016:0057232.516:0017:006520117:0018:0018215918:0

14、019:0016013519:0020:0010815420:0021:0016211121:0022:006830合计12871885由表4.3的数据可以作出该超市工作日和周末顾客平均到达率的变化趋势图4.1，其中，工作日顾客到达均值用实线表示，周末顾客到达均值用虚线表示。4.3超市收银台各服务指标的比较计算根据上面的统计数据，工作日和周末到服务台接受收银服务的顾客的平均到达率分别是：一般情况下，该超市在工作日会开2个收银台，在周末会开3个收银台，对每一个收银台而言，则通过对超市收银台的实际观察和了解，得知该超市的每个收银台的收银员的平均服务率为：60人/小时。根据3.2等待制M/M/c/

15、模型中介绍的计算公式，计算出相关的服务指标如表4.4所示。其中服务强度，c为收银台数目。系统中的平均顾客数：，且。系统中排队等候的平均顾客数：，且 顾客在系统中的平均逗留时间：顾客在系统中的平均等待时间：表4.4相关服务指标服务指标工作日周末服务强度0.830.80系统中的平均顾客数（人）5.303.98系统中排队等候的顾客数（人）4.473.18顾客在系统中的平均逗留时间（分钟）6.304.98顾客在系统中的平均等待时间（分钟）5.303.98如：在工作日 从上面的数据可以看出，在工作日时系统中的平均顾客数每分钟超过了5人，而周末时系统中的平均顾客数每分钟超过了3人，从而有的顾客可能在工作日

16、购物时，排队长度超过了容忍度，以后可能会放弃在该超市购物，所以超市应该加以改进，以避免引起顾客的不满，甚至是放弃购买，影响到超市的效益。4.4超市收银台数目优化方案为了既排除当排队过长时，引起顾客的不满，甚至放弃购买，而且又可以使超市开放收银台的费用最省。用3.4模型中系统的相应运行指标分别计算出在收银台数不同下的各指标，进而通过比较得出工作日与周末，开放收银台的最优数目。工作日和周末在不同的收银台数目下的各服务指标分别如表4.5与表4.6所示。(只研究的情形，因为当是，系统不稳定，会使越来越多的人排队等候)表4.5不同收银台数目下的各服务指标（工作日）收银台数服务指标c=1c=2c=3c=4

17、c=5服务强度1.650.830.550.41250.33（人）5.301.200.5820.37348（人）4.470.650.1690.043486（分钟）6.302.201.5821.37348（分钟）5.301.200.5820.37348表4.6不同收银台数目下的各服务指标（周末） 收银台数服务指标c=1c=2c=3c=4c=5服务强度2.4171.2080.800.604250.4834（人）3.981.34330.708（人）3.180.7390560.225（分钟）4.982.34331.708（分钟）3.981.34330.708由上面表4.5可以看出，在工作日时当收银台数增

18、加到3个时，顾客几乎不用排队即可享受服务，但是超市的成本将会增加。如果只开2个收银台，超市固然可以减少成本，而有些顾客由于在工作日的时间比较急，可能下次会放弃在该超市购物，为了既排除当排队过长时，引起顾客的不满，甚至放弃购买，影响到超市的收益。结合图4.1，可得在工作日的12：0013：00、17：0019：00、20：0021：00安排3个收银台，其他时段安排2个收银台是比较合理的。同样，由表4.6可得，在周末时当收银台数增加到4个时，顾客几乎不用排队即可享受服务，但是超市的成本将会增加。如果只开3个收银台，在购物高峰时段可能引起顾客的不满，影响到超市的收益。结合图4.1，所以在周末的10：

19、0012：00、15：0017：00、19：0020：00安排4个收银台，其他时段安排3个收银台是比较合理的。这样就避免了超市收银台太少，会出现严重的排队现象，造成顾客流失；收银台太多还有可能发生空闲浪费，造成超市成本的增加。5 结论及展望本文用排队论中的M/M/c/ 模型的知识来研究超市收银台的优化问题。通过利用排队论的知识建立数学模型，收集一个超市的实际数据，用该模型对此进行研究，得出在满足顾客需求的情况下，对其开放的收银台数目进行优化，在该论文中把表4.5与图4.1、表4.6与图4.1结合起来进行分析，就可以对超市收银台的数目实施动态管理，将有效提高工作效率，为超市节约成本。本论文研究可以为超市、医院、学校食堂等类似的排队模型提供一定的理论依据。该模型在解决超市接受收银服务的排队问题是有效的，它可以为服务窗口的设置提供一定的理论依据。但在实际的运营中由于工作日、双休日及节假日客流量会有很大差异，各超市可以实际情况进行个别分析，使之更具针对性，为实际决策提供更合理的有效的依据。参考文献：1宋卫斌. 虚拟顾客服务系统排队模型J. 管理科学学报，2001，4（3）：52