应用基于形状先验和m-s范函的cliuqe聚类的图像分割

1、应用基于形状先验和m-s范函的cliuqe聚类的图像分割摘要利用集团不变特性以及高阶分段MS函数的常量实现作为新的形状先验模型被提出来。该模型将被证明是有意义的，在困难分割问题的环境下，包括但不限于杂波分割和含有变化不均匀的图像强度组件的目标识别。此外，该模型在图像恢复方面是有效的。最后，该模型可以既高效有近自动化的完成上述任务。关键词：活动轮廓，水平集方法，恢复，Chan-Vese模型，不变签名目录摘要1目录2第一章 引言3第二章 模型建立42.1不变特性：Cliques能量42.2 改进的形状先验分割模型5第三章 能量最小化和数值53.1 正常速度的MS模型63.2 多边形周长和精度项63

2、.3 常量和的更新73.4 形状先验的变化和尺度参数的选择83.5 最终改进算法9第四章 数值实验10第五章 结论和前景展望12附注12参考文献12第1章 引言形状先验分割在图像处理中是一个基本的问题，这需要在一个已知形状先验信息来减少模糊图像的分割问题。它包含很多概念，包括认知心理学，计算机科学，工程学和数学。一般来说，人类识别依赖于已有的经验去识别对象，尤其是在杂乱或闭塞的情况下。形状先验分割试图解决类似的问题，当一个特定的形状特征是纳入现有的分割模型帮助捕捉感兴趣对象的边界。从数学的角度来看，标准（非形状先验）图像分割是一个艰巨的问题，因为在不同尺度上的分割有很多不同的可能性。让我们来考

3、虑这个著名的二阶形式的MS模型1也就是CV模型2：(1)在这里，f是给定的灰度值图像，表示一个区域，是区域的补集。关键是通过匹配在检测到的两个区域来求解上述函数的最小值，同时求解他们区域周长的最小值。MS模型在图像处理中是研究最多也是成功的分割模型之一。然而，这个模型有一个特别需要注意的地方就是函数有许多依赖于初始条件的局部最优解，对应于不同值的不正确分割。尽管如此，近期有许多MS/CV模型的凸化，参照引用的文章3,4。建立一个成功的形状先验模型的关键困难是双倍的。开发一个或者使用一个不变的刚性运动的形状特征，同时拥有唯一标识广泛形状的类的能力是至关重要的。可以在文献5，6，7找到许多有用的特

4、征和参照。随着不变性，这种形状特征自然结合的能力和有效现有分割模型对应用来说是强制性的。在这篇文章中算法的关键是包含一个由Kimmel等人提出具有聚类特征的修改后的二维版本。567涉及到了CV模型的多边实现。此外，在复杂设置情况下的成功的分割图像需要一个有效的和近乎自动化的数值算法。聚类的简化版本是有利于CV模型的多边形式，在一个快速的复杂的且易于实现。同时强大的标识特性给出了形状。数值实例将会支持这些说法，本文的特别之处总结如下：基于CV模型聚类不变特性的形状先验。引入 一个仅仅涉及到多边形曲线上点的CV模型的多边实现。在困难分割的环境下和有遮挡问题时，引入一个快速地有效地和近自动化算法来最

5、优的进行能量提取。最近的两个相关的工作是Cremers和Dogan等人展示了用形状先验解决MS模型的准确分割。Cremers所做的工作不同于我们的，他们提出了CV模型的不变性，当曲线的长度是C，L(C)表示，他们推出了三次样条曲线。在我们的方法中，我们直接提出了多边形曲线，并解决了CV模型的初值问题。在Dogan等人的工作中，作者提出来一个函数，受限于服从曲线上点的坐标(x,y)。他们在整个网格上使用多边有限元方法，把多边形曲线简化为点。其他在使用水平集的可变多边形的相关工作可以在文献101112中找到，使用瞬时描述13，使用轮廓的显式描述14，基于区域的动态轮廓模型的相关工作是使用多边形，可

6、以用B样条实现5161718。一些相关工作在几何不变性上的形状特性涉及的傅里叶变换19，Legendre正交矩13，或者广义锥表示20。本文组织如下：在第二章介绍了模型建立，第三章讨论了能量最小化模型的数值实现和最终生成的算法。第四章我们通过数值实验证明了算法的成功。第五章我们给出结论和前景展望。第二章 模型建立2.1不变特性：Cliques能量考虑给定形状S的多边形表示：，这里。用表示给定形状内两个点的距离：（2）是一个对称矩阵，仅依赖于给定的参考图像。聚类的想法是Elad 和Kimmel7提出的，作者开发出了一个弯曲不变量这是一个嵌入一个给定的几何结构，表面在小维欧几里得空间，测地距离由欧

7、几里得近似。我们考虑在一个二维边界上均匀分布内顶点距离的简化版本。众所周知,上面的特性(2)唯一地标识凸形状和在完整的形式上是有用的表面分类7和人脸识别5,6。在背景分割下的实验,我们发现强烈的特征识别非凸的形状。让我们考虑这个改进多边形： (3)这里表示多边形的顶点，以逆时针顺序排列，与相同数量的顶点作为参考形状S。我们需要的图像特征是利用参考面的两点距离。如下： (4)这个对称矩阵的计算仅在分割图形的开始，它依赖于给定的参考图形。参数s值不变，同时也是最小的。形状特征(4)有许多不变性：(a)对刚性运动的不变性，(b)值的不变性。文章剩下的部分，我们把(4)称为“Cliques”能量。2.

8、2 改进的形状先验分割模型我们提出利用一个具有阶跃常量的MS函数实现的聚类不变特性。表示一个已定义的展开的多边形，这个模型有以下公式：这里，代表的区域内部和外部的多边形曲线。此外，和是常数，取决于平均图像强度。S是一个参数，取决于恢复的分割特征。参数影响图像的强度。第3章 能量最小化和数值3.1 正常速度的MS模型尽管我们将不会使用水平集来解决改进模型的数值实现，我们将需要正确的正常速度在最终算法梯度下降的演化曲线。CV提出了一种基于分段常数的MS模型的水平集方法：区域和用正则赫维赛德函数表示，水平集函数，这里=0表示的边界。相关的梯度下降最小值(6)被给出:我们写出正确的正常梯度下降曲线如下

9、：K表示演化曲线的曲率。3.2 多边形周长和精度项从(8)式中可知，sc与欧几里得曲率k有关。改进曲线依赖于参数p时间变量t，最小周长梯度下降项是：我们参考读者22的推导过程。现在改进模型的最小值是c和两个常量和。在基于多边形曲线的实现，D+和D-表示向前和向后差分运算，。该该技能模型(5)的精度项对多边形曲线的正常收敛速度是：N是在j顶点的单位法向量：根据周长（9）和精度项的关系，乘以一个因子系数，我们得到根据ODE系统描述的多边形顶点的时间演化：这里和vfa表示相对于CV模型的多边形分段常数实现的周长和精度的收敛速度。3.3 常量和的更新在原始的CV模型里，常量和是未知的并且需要解决。常数

10、的最佳选择公式如下：符号表示集合的边界，未知集合的边界被一个多边形曲线显式表示。为了评估这些公式和子网格精度，我们用路径积分表示面积积分：这里，表示外边界到区域的边界的x分量。关键是在数学上多边形曲线有一个自然的方式近似路径积分。我们对积分的算法如下：积分f在x方向上使用梯形公式定义在网格上原函数F，。近似的面积积分如下：该方法包括插值F,来自不是网格点是的点。通过适当的插值，该方法二阶准确，不定积分F的计算仅需要计算一次，最后使用上面的公式，可以求得子网格精度。3.4 形状先验的变化和尺度参数的选择对改进多边形顶点位置形状先验的变化给出如下：在梯度下降中，形状项收敛速度：为了在正常方向上最小

11、化形状项改进多边形，我们把速度投影到单位法向量方向上。这样最终形状项的速度是：尺度参数s的最优表示：3.5 最终改进算法最后把每项结合在一起，对改进模型的完整的梯度下降曲线演化方程是ODE体系：通过周长和精度项和改进模型的形状项的变化我们可以获得速度。第一项和第二项在最小化周长和数值精度项方向上移动曲线。同时沿曲线移动的形状项可以更好的匹配给定图像。一个显式时间推进算法(迭代至稳定状态)可用于上述梯度下降曲线演化方程(20)如下： (a) 参考形状 (b)初始轮廓 (c)形状参数=0.0 (d)形状参数=1.0图1 根据参考形状得到的分割结果第4章 数值实验在第一个例子中，我们分割了一个被认为

12、很困难的例子。在图1(a)中，一个参考图像和形状先(蓝色标注)被观测到，在（b）中一个有原始轮廓的飞机被看到。机身颜色和周围的停机坪接近。很难被分割。这种情况进一步加剧，在飞机周围的飞行设备和机翼对比有明显差别。另外，白色机身和邻近飞机的机翼可以和分割的机翼对比匹配。结果可以从标准CV模型（图1（c）中得到，飞机没有正确分割。然而在图1（d）中，形状系数设置为1.0，尽管有困难，飞机还是被准确分割。最后，参数s可以在一定范围内手动调整。在下一个例子中我们将解释改进模型如何应用于图像恢复。让表示被恢复区，在改进模型中做些小小的改变，把替换为，是区域R的指示函数。在图2（a）中可以看到一本书的图像

13、，参考形状是蓝色的轮廓。在图2（b）中，在一个封闭的不同的值，这本书是红色的初始轮廓。这里白色书的一角被黑色的书挡住了。从标准CV模型(无形状参数)得到的结果在图2(c)看到，书的角仍然被盖住。反之，我们对形状先验模型使用初始轮廓，设置形状参数为1.0，这本书被成功的恢复。在条件（19）的曲线演化下，参数值被自动的发现。 (a)参考形状 (b)初始轮廓(c)形状参数=0.0 (d)形状参数=1.0图2 根据参考形状得到的分割结果第5章 结论和前景展望我们提出来一个有效的和近乎自动化的形状先验分割模型。数值结果表明在假设的困难情况下，我们的算法是成功的。另外，我们调整模型使其适应恢复算法。未来的

14、工作是找一个改进模型的凸公式。附注这工作部分是根据合同DMS-0713767由美国国家科学基金会支持的参考文献1 David Mumford and Jayant Shah "Optimal approximations by piecewise smooth functions and associated variational problems"Communications on pure and applied mathematics, vol. 42, no. 5, pp. 577-685, 1989 2 T. F. Chan and L. A. Vese &qu

15、ot;Active contours without edges" Trans. Img. Proc., vol. 10, no. 2, pp. 266-277, 3 Xavier Bresson, Selim Esedoglu, Pierre Vandergheynst, Jean-Philippe Thiran and Stanley Osher "Fast global minimization of the active contour/snake model" J. Math. Imaging Vis., vol. 28, no. 2, pp. 151-

16、167, 2007 4 Ethan S. Brown, Tony F. Chan and Xavier Bresson "Completely convex formulation of the chan-vese image segmentation model" Int. J. Comput. Vision, vol. 98, no. 1, pp. 103-121, 2012 5 M Bronstein Alexander, M Bronstein Michael and Ron Kimmel "Three-dimensional face recogniti

17、on" International Journal of Computer Vision, vol. 64, no. 1, pp. 5-30, 2005 6 A. M. Bronstein, M. M. Bronstein and R. Kimmel "Expression-invariant representations of faces" Trans. Img. Proc., vol. 16, no. 1, pp. 188-197, 7 A. Elad and R. Kimmel "On bending invariant signatures f

18、or surfaces" IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. In tell., vol. 25, no. 10, pp. 1285-1295, 2003 8 Daniel Cremers, Timo Kohlberger and Christoph Schnorr "Nonlinear shape statistics in mumford-shah based segmentation" Proceedings of the 7th European Conference on Computer Vision-Part II, pp

19、. 93-108, 9 Gtinay Dogan, Pedro Morin and H. Nochetto Ricardo "A variational shape optimization approach for image segmentation with a mumford-shah functional" SIAM J. Sci. Comput., vol. 30, no. 6, pp. 3028-3049, 2008 10 Xavier Bresson, Pierre Vandergheynst and Jean-Philippe Thiran "A

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21、er Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR'05), vol. 2, pp. 1164-1170, 12 Mikael Rousson and Nikos Paragios "Prior knowledge, level set representations & visual grouping" International Journal of Computer Vision, vol. 76, no. 3, pp. 231-243, 200813 Alban

22、 Foulonneau, Pierre Charbonnier and Fabrice Heitz "Affine-invariant geometric shape priors for region-based active contours" IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., vol. 28, no. 8, pp. 1352-1357, 200614 Muriel Gastaud, Michel Barlaud and Gilles Aubert "Combining shape prior and stati

23、stical features for active contour segmentation" IEEE TRANS. CIRCUITS SYST. VIDEO TECHNOL, vol. 14, pp. 726-734, 2004 15 Christophe Chesnaud, Philippe Refregier and Vlady Boulet "Statistical region snake-based segmentation adapted to different physical noise models" IEEE Trans. Patter

24、n Anal. Mach. Intell., vol. 21, no. 11, pp. 1145-1157, 1999 16 E. Debreuve, M. Gastaud, M. Barlaud and G. Aubert "Using the shape gradient for active contour segmentation: From the continuous to the discrete formulation" J. Math. Imaging Vis., vol. 28, no. 1, pp. 47-66, 200717Frederic Gall

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