高中数学(人教版)无穷积分的性质与收敛判别课件

1、一、一、 无穷积分的性质无穷积分的性质 本节讨论无穷积本节讨论无穷积分的性质分的性质, , 并用这些性并用这些性质得到无穷积分的收质得到无穷积分的收敛判别法敛判别法. .2 无穷积分的性质与 收敛判别数学分析 第 十一章反常积分三、一般函数无穷积分的三、一般函数无穷积分的 收敛判别法收敛判别法 二、非负函数无穷积分的二、非负函数无穷积分的 收敛判别法收敛判别法*点击以上标题可直接前往对应内容定理11.1（无穷积分收敛的柯西准则）0,Ga 1221( )d( )d( )d.uuuaauf xxf xxf xx 12,u uG当当时时证证极限的柯西准则极限的柯西准则, ,此等价于此等价于( )da

2、f xx收敛的充要条件是收敛的充要条件是: :无穷积分无穷积分 lim( ).uF u收收敛敛的的充充要要条条件件是是存存在在极极限限由函数由函数( )( )d , ,),uaF uf xx ua设设( )daf xx则则后退 前进 目录 退出无穷积分的性质, 0 , aG ,21Guu12()(),F uF u 性质11221( )d( )d( )d.uuuauaf xxf xxf xx 1212( )d( )d,aafxxfxxkk 若若与与都都收收敛敛为为任任意意常数常数, 1122( )( ) dak fxk fxx即即根据反常积分定义根据反常积分定义, ,容易导出以下性质容易导出以下

3、性质1 和性质和性质2. . ,也也收收敛敛 且且无穷积分的性质1122( )( ) dak fxk fxx1122( )d( )d .aakfxxkfxx 则则性质2( )d( )d(),abf xxf xxba 与与( )d( )d( )d .baabf xxf xxf xx同同时时收收敛敛或或同同时时发发散散， , fa u若若在在任任何何有有限限区区间间上上可可积积, ,则则无穷积分的性质且且性质性质2相当于积分区间可加性相当于积分区间可加性. . 由性质由性质2还可以得到还可以得到( )daf xx收敛的另一个充要条件收敛的另一个充要条件: :0,Ga ,uG当当时时( )d.uf

4、xx h(x) 在任意在任意 a, u上可积上可积, 且且( )d( )daaf xxg xx和和( )d.ah xx都都收收敛敛, ,则则收收敛敛证证 因为因为( )d( )daaf xxg xx和和收敛收敛, ,例例1 1 ),),()()( axxgxhxf, f (x), g (x),若若由柯西准则的必要性由柯西准则的必要性, 0 , aG ,21Guu无穷积分的性质 ,d21 xxfuu ,d21 xxguu有有再由柯西准则的充分性再由柯西准则的充分性,( )d.ah xx证证得得收收敛敛即即21( )d.uuh xx ( )( )( ),f xh xg x又又因因为为所所以以21(

5、 )duuf xx 21( )duuh xx21( )duug xx, 无穷积分的性质性质3 , fa u若若在在任任何何有有限限区区间间上上可可积积, ,且且( ) daf xx收收敛敛，并并有有( )d( ) d .aaf xxf xx ( ) daf xx则则也也收收敛敛，无穷积分的性质引理（非负函数无穷积分的判别法） ,),( )d.uauaf xxM设定义在设定义在上的非负函数上的非负函数 f 在任何在任何a, u ,)a ,上上可可积积( )daf xx则则收敛的充要条件是收敛的充要条件是: :0,M使使非负函数无穷积分的收敛判别法 ,),( )d.uauaf xxM有有增增函数的

6、收敛判别准则函数的收敛判别准则, lim( )uF u存存在在的的充充要要条条从而从而 F (u) 是单调递增的是单调递增的( ,).ua( ) ,)F ua 件件是是在在上上有有界界, ,0,M即即使使由单调递由单调递非负函数无穷积分的收敛判别法lim( ).uF u条条件件是是存存在在12( )0,f xuu由由于于当当时时，2121( )d( )d( )d0,uuuaauf xxf xxf xx( )daf xx则则收收敛敛的的充充要要证证( )( )d ,uaF uf xx设设证证 ( )dag xx若若收收敛敛, ,0, ,),Mua则则( )d.uag xxM( )d( )d.uu

7、aaf xxg xxM因因此此由非负函数无穷积分的判别法由非负函数无穷积分的判别法,( )daf xx收收敛敛. .非负函数无穷积分的收敛判别法定理11.2（比较判别法）( )( ), ,),f xg xxa设定义在设定义在 上的两个上的两个非负函数非负函数 f , g在任何有在任何有 ,)a 限区间限区间a, u上可积上可积, 且且满足满足( )d,( )daaf xxg xx 当当发发散散时时亦亦发发散散. .( )d,( )daag xxf xx 则则当当收收敛敛时时亦亦收收敛敛; ;651d1xx因因此此收收敛敛. .例例2 判别判别516d1xx 的收敛性的收敛性.解解6 51dxx

8、由由于于收收敛敛, ,6 56511.1xx显然显然非负函数无穷积分的收敛判别法第二个结论是第一个结论的逆否命题第二个结论是第一个结论的逆否命题, ,因此也成立因此也成立. . 22( )( )d2afxgxx证证22( )( )( ) ( ),2fxgxf x g x而而由于由于 收敛，收敛，( ) ( )d.af x g xx因因此此收收敛敛非负函数无穷积分的收敛判别法22( )d( )daafxxgxx明明: :若若和和收收敛敛, ,则则( ) ( )d.af x g xx收收敛敛设设 f (x), g(x) 是是 上的非负连续函数上的非负连续函数. 证证 ,)a 例例3 2211( )

9、d( )d22aafxxgxx推论1设非负函数设非负函数 f 和和 g 在任何在任何 a, u 上可积上可积, 且且( )lim.( )xf xcg x) i (0( )d( )daacf xxg xx当当时时，与与同同敛敛散散; ;(ii)0,( )d( )daacg xxf xx当当时时 由由收收敛敛可可得得收收敛敛; ;(iii),( )d( )daacg xxf xx 当当时时 由由发发散散可可得得发发散散. .非负函数无穷积分的收敛判别法证证 ( ),( )2f xccg x即即 3( )( )( ).22ccg xf xg x( )(i)lim0,( )xf xcg x由由,aG

10、故存在故存在有有使使,Gx 非负函数无穷积分的收敛判别法3( )d( )d.2aacg xxf xx收收敛敛, ,从从而而收收敛敛( )daf xx若若收收敛敛，( )d2acg xx则则可可得得收收敛敛，从而从而( )d.ag xx收收敛敛( )dag xx反反之之，若若收收敛敛，可得可得( )d.af xx可可推推得得收收敛敛( )1,( )f xg x( )iilim0,( )xf xg x（ ）由由,aG 存存在在有有使使,Gx ( )( ),f xg xxG即即( )dag xx因因此此由由收收敛敛非负函数无穷积分的收敛判别法( )d.af xx可可推推得得发发散散( )1,( )f

11、 xg x( )(iii)lim,( )xf xg x 由由,aG 存存在在有有使使,Gx ( )( ),xf xxG即即g g( )dag xx因因此此由由发发散散推论21(i)( )(1),( )dpaf xpf xxx若若则则收收敛敛; ;设设 f 是定义在是定义在 上的非负函数上的非负函数, 在任何有限在任何有限 ,)a , a u区区间间上上可可积积. .非负函数无穷积分的收敛判别法1(ii)( )(1),( )d.paf xpf xxx若若则则发发散散推论3) i (1, 0,( )dapf xx 当当时时收收敛敛; ;)ii(1, 0,( )d.apf xx 当当时时发发散散li

12、m( ),pxx f x 若若则则间间 a, u 上可积上可积.设设 f 是定义在是定义在 上的非负函数上的非负函数,在任何有限区在任何有限区 ,)a 说明说明: : 推论推论3 3是推论是推论2 2的极限形式，读者应不难写的极限形式，读者应不难写出它的证明出它的证明. .非负函数无穷积分的收敛判别法例例4 讨论讨论1lndkpxxx的收敛性的收敛性 ( k 0 ).解解 (i),1时时p12lnlimpkpxxxx12lnlim0.pkxxx 1lnd.kpxxx因因此此由由推推论论3 3知知道道收收敛敛1limln.pkxxx 1lnd.kpxxx因因此此同同理理知知道道发发散散非负函数无

13、穷积分的收敛判别法)ii(ln1, limkpxxpxx时时性质3（绝对收敛的无穷积分必收敛）若无穷积分若无穷积分( ) d,( )daaf xxf xx收收敛敛 则则称称可以用前面的性质可以用前面的性质3来判别一般无穷积分的收敛性来判别一般无穷积分的收敛性. ( ) d,af xx收收敛敛( )daf xx则则亦亦必必收收敛敛, ,并并且且( )d( ) d .aaf xxf xx何何有限区间有限区间 a, u上可积上可积, 且且若若 f 在任在任绝绝对对收收敛敛. .一般函数无穷积分的收敛判别法1sind()xxx ax因因此此绝绝对对收收敛敛. .收敛的无穷积分收敛的无穷积分( )daf

14、 xx不一定是绝对收敛的不一定是绝对收敛的.( )d|( )|d,aaf xxf xx若若收收敛敛而而发发散散 则则称称( )daf xx条条件件收收敛敛. .例例51sind(0)()xxax ax的收敛性的收敛性.判别判别sin1,()xx axx x3 211dxx而而收收敛敛, ,解解由于由于一般函数无穷积分的收敛判别法定理11.3（狄利克雷判别法）一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷判判lim( )0,xg x别法和阿贝尔判别法判别其收敛性别法和阿贝尔判别法判别其收敛性. .( )( )d ,)uaF uf xxa若若在在上上有有界界，(

15、) ,)g xa 在在( ) ( )d.af x g xx则则收收敛敛证证( )d, ,).uaf xxM ua设设, 0 由于由于,aG 故故存存在在( ).4xGg xM 时时，一般函数无穷积分的收敛判别法0 x 上上当当时时单单调调趋趋于于 ，二中值定理，二中值定理，为单调函数，由积分第为单调函数，由积分第因因g对任意的对任意的221112( ) ( )d()( )d()( )d ,uuuuf x g xxg uf xxg uf xx 22()( )d( )duaag uf xxf xx 11()( )d( )duaag uf xxf xx 2112()( )d()( )duug uf

16、xxg uf xx 21( ) ( )duuf x g xx于于是是,12Guu12,u u 使使得得MMMM2424 . 因此因此, 由柯西准则，由柯西准则，( ) ( )d.af x g xx收收敛敛一般函数无穷积分的收敛判别法定理11.4（阿贝尔判别法）证证 证法证法1( ), ,),g xM xa设设( )d,af xx收收敛敛21( )d.2uuf xxM ( )d,afxx若若收收敛敛( ) ,)g xa 在在上上单单调调有有界界，( ) ( )d.af x g xx则则收收敛敛, 0 则则,aG 时时，当当Guu12二中值定理，二中值定理，为单调函数，由积分第为单调函数，由积分第

17、因因g对任意的对任意的,12Guu12,u u 使使得得一般函数无穷积分的收敛判别法由由于于21( ) ( )duuf x g xx2112()( )d()( )d .uug uf xxg uf xx 21( ) ( )duuf x g xx2112()( )d()( )duug uf xxg uf xx .22MMMM 由柯西准则由柯西准则,( ) ( )d.af x g xx收收敛敛证法证法2lim( ).xg xA11( )( ),( ) ,)0.g xg xAg xa令令则则在在上上单单调调趋趋于于因因此此( ) ,)g xa 因因在在上上单单调调有有界界，使使故存在故存在A一般函数无

18、穷积分的收敛判别法 ,),a 上上有有界界由狄利克雷判别法由狄利克雷判别法1( )( )daf x g xx( ) ( )daf x g xx1( )( )d( )daaf x g xxAf xx，收敛收敛, ( )daf xx又又因因收收敛敛，( )( )duaF uf xx故故在在一般函数无穷积分的收敛判别法所以所以.积积分分收收敛敛01 ,1pu若若则则当当时时因此由狄利克雷判别法推知因此由狄利克雷判别法推知1sind.pxxx收收敛敛另一方面，另一方面，1sindcos1cos2,ux xu10px而而单单调调趋趋于于 ，xxxxp2sinsin,22cos21xxx, 1 x一般函数无穷积分的收敛判别法例例611sincosdd (0)ppxxxx pxx讨讨论论与与的收敛性的收敛性.收敛收敛. .解解sin11,ppxpxx当当时时 由由于于1sindpxxx因因此此绝绝对对类似可证类似可证:1cos01dpxpxx当当时时，条条件件收收敛敛; ;1cos1dpxpxx 当当时时，绝绝对对收收敛敛. .1sin01dpxpxx当当时时, ,条条件件收收敛敛; ;1sind.pxxx因因此此发发散散1sin1dpx