第5章级数理论与含参量积分

1、五章 级数理论与含参量§1 数项级数一基本内容：1.级数收敛的定义：设un 为一个数列，将其各项依次用“ + ”号连接所得的表达式u1 + u2 + + un + ¥称为数项级数或无穷级数，简称为级数，记为åun 或åun .n=1令 sn = u1 + u2 +L+ un 称为级数åun 的第n 个项部分和，sn 称为级数åun 的部分和数列.若åun 的部分和数列sn 收敛，则称级数åun 收敛，并称其极限 s = lim s 为级数å nunn®¥的和.即 s = åu

2、n .若sn 发散,则称级数åun 发散.2. 性质（1）级数收敛的准则级数åun 收敛的充分必要条件是： "e > 0 , $N ,当 n > N 时, "p Î N ,有+| un+1 + un+2 +L+ un+ p | < e .（2）级数收敛的必要条件是lim un = 0 .n®¥（3） 线性运算性质若åun 与å vn 均收敛， c, d Î R ，则å(cun + dvn ) 收敛，且å(cun + dvn ) = cåun + d

3、 åvn .（4） 去掉、增加或改变一个级数的有限项，不改变其敛散性.（5） 给一个收敛的级数任意加括号组成的新级数仍收敛且其和不变.3. 正项级数（同号级数）的敛散性.（1） 若åun 的各项级数符号相同，则称之为同号级数，同号级数可分为正项级数与负项级数.（2） 正项级数åun 收敛的充要条件是其部分和数列有上界.（3） 比较判别法及其极限形式比较判别法：设åun 与å vn 为两个正项级数，若$N ，当 n > N 时，有un £ vn ，则（i）若å vn 收敛，则åun 收敛.（ii）若å

4、un 发散，则å vn 发散.比较判别法的极限形式：若 lim un = l ，则n®¥ vn()当0 < l < +¥ 时， åun 与å vn 具有相同的敛散性；（）当l = 0 时，若å vn 收敛，则åun 收敛；（）当l = +¥ 时，若å vn 发散，则åun 发散.（4）比式判别法及其极限形式比式判别法：设åun 是正项级数，若$N Î N ，有（）当 n > N 时， $q > 0 ，使得 un+1 £ q <

5、 1 ，则åu 收敛；nun（）当 n > N 时，有 un+1 ³ 1，则åu 发散，nun比式判别法的极限形式：un+1设åu 为正项级数，且lim= q ，则nun®¥n（）当 q < 1时， åun 收敛；（）当 q > 1 或 q = +¥ 时， åun 发散；（）当 q = 1 时，该判别法失效.（5）根式判别法极其极限形式根式判别法：设åun 是正项级数，若$N Î N ，有（）当 n > N 时， $q > 0 .使得 n un £

6、; q < 1，则åun 收敛 ；() 当n > N 时,有 n un ³ 1，则åun 发散.根式判别法的极限形式：设åun 为正项级数, 且limun= q ，则nn®¥() 当q < 1时， åun 收敛；() 当q > 1 时， åun 发散；() 当q = 1 时，本判别法失效.(6)判别法设 f 为1, + ¥)上的非负递减函数,那么正项级数å f (n) 与无穷相同的敛散性.4. 一般项级数(1)交错级数.若交错级数å(-1)n+1u (u >

7、; 0) ， 满足：nn+¥òf (x)dx 具有1() lim un = 0 ，n®¥()un 单调递减；则å(-1)n+1u 收敛，且其和的符号与第一项符号相同，和的绝对值不超过第一项的绝对值.n级数，且| Rn |£ un+1 .注意，级数的仍是(2) 绝对收敛与条件收敛级数()定义设åun 为一任意项级数，若å| un |收敛，则称åun 绝对收敛；若åun 收敛，而å| un |发散，则称åun 条件收敛.() 绝对收敛必收敛，反之不真.() 绝对收敛级数的任一重排

8、级数(更序级数)仍收敛且其和不变；条件收敛级数总可以适当地重排, 使之收敛于任一预先给定的数.若åun与å vn 均绝对收敛，其和分别为 A 与 B ，则乘积(åun )(åvn ) 按任意方式排列所得级数也绝对收敛， 且其和为 AB .注意：级数乘积常用的排列方法为正方形法与对角线法.（3）一般项级数收敛性的判别变换：设 ai , bi(i = 1,2,L, n) 为两组实数，令()Bk = b1 + b2 +L+ bk ,则有：(k = 1,2,L, n)nå aibi= (a1 - a2 )B1 + (a2 - a3 )B2 +L+ (a

9、n-1 - an )Bn-1 + an Bn .i=1()判别法若åun 收敛，而数列vn 单调有界，则åunvn 收敛.判别法.若åun 的部分和序列有界，而vn 单调收敛于0 ，则åunvn 收敛.（）二 难点与有用结果1. 所有级数组成的集合与所有数列组成的集合之间有个一一对应.2. 设åun ， å vn 与å wn 为三个数项级数，且$N ，当 n > N 时，有un £ vn £ wn ，若åun与å wn 均收敛，则å vn 收敛（迫敛性）.3.给一个一般

10、项级数加括号,若每个括号内的各项符号相同,则新级数与原级数有相同的敛散性.4.若lim un+1 = l ³ 0 ,则lim n u= l ,故在理论上在正项级数中凡能用比式判别法的极限nun®¥n®¥n形式判别的必能用根式判别法的极限形式判别.5.正项级数是否收敛取决于其通项收敛于0 的速度,常用到的用于作为参照级数的通:1nn1 ,1an1n p1(a > 1),(p > 0),(q > 0),L,ln q nn!其趋于0 的速度依次递减，且不在同一个数量级数上1( p > 1) 收敛于0 的若正项级数的通项收敛于0

11、 的速度快于n ln n × ln ln n × (ln ln ln n) p速度，则收敛否则发散6.若一个级数变号有限次，则将其前有限项去掉后为同号级数；若级数无穷次变号，给该级数适当的加括号，使括号中的各项符号相同，相邻两个括号中的各项符号相反，则所得的交错级数与原级数具有相同的敛散性从这个意义上讲，一个任意项级数均可化为同号级数或交错级数去讨论= | un | +un= | un | -un7.设åu 为一任意项级数，令v，则 å v 与å w 为， wnnnnn22= vn + wn ，若åun 绝对收敛，则å vn

12、 与å wn 均两个同号级数，且un = vn - wn ， un收敛若åun 条件收敛，则å vn 与å wn 均发散即å vn = å wn = + ¥ 8.判别法是判别法的特例， 满足判别法的条件，可推出必满足判别法的条件，即在理论上凡能用判别法判别的必能用判别法判别9.比较判别法的极限形式对一般项级数不适用2sin n + sin nsin nsin 2 nsin nnnå= 1，但å(+收敛，且lim) 发散例如sin nnnn®¥nn¹ oæ 1 

13、46;å n10设u 收敛，且u > 0 ，但u(n ® ¥) ç n ÷nnèøì 1n = k 2= ï n¹ oæ 1 öå n(n ® ¥) ，则显然u 收敛，但uç n ÷令uí 1 nnèøïîn2n ¹ k2但若加条件un 单调递减，则结论成立三基本题型及处理方法1数项级数的敛散性判别判别数项级数åun 的敛散性考虑的先后顺序是：首先正项

14、级数å| un |的敛散性使用判别法的先后顺序是根式或比式判别法，判别法，比较判别法，最后考虑部分和数列是否有界问题如果得出å| un |收敛，则问题解决如果还不能解决，再考虑åun是否条件收敛，先看åun 是否是交错级数，如果是交错级数可考虑使用判别法，如果不是，再考虑使用耳和判别法，最后考虑使用收敛准则在此过程中可能涉及到各种技巧，下面通过一些例题来说明：例 判别下列级数的敛散性¥（1） å¥（2） å( 1 - ln(1 + 1 ) ； 1；n=2 n p ln q nnnn=1n¥¥p

15、ln n1(3) å(1 -n=1ån=2( p > 0) ；)(4)；ln nn(ln n)¥an n!¥n - 1(5) ån=1(6) å(n=2(a > 0) ；n + 1 -pn ) ln；nnn + 1¥(-1)n¥(-1)n(7) åln(1 +n=2(8) ån=2)( p > 0) ；n pn + (-1)n11n p ln q n解 （1）当 p > 1时， "q ，由于lim= lim= 0 ，p-11n®¥n®

16、;¥nln q n21+ p2n11而åå收敛，所以收敛1+ p2n lnpqnn11- p2nå 1 å1n p ln q n当 p < 1 时，"q ，由于 lim= lim= +¥ ，而发散，所以11+ p2n®¥ ln q nn p ln q nn®¥n1+ p2n发散当 p = 1时，由，当 q > 1 时收敛；当 q £ 1时发散判别法（2）（法一）：21112n21+ o() ，所以由于ln(1 + o(x ) ， 所以ln(1 +) =-nn2n2

17、2111111åun = n - ln(1 + n ) = 2n 2 - o() ，故(- ln(1 +) 收敛2nnn（法二）：由于n= åk =1n( 1 - ln(1 + 1 ) = ån1 - å(ln(k + 1) - ln k )Snkkkk =1k =1n= ån1 - ln(n + 1) = å 1 - ln n + ln n ，n + 1k =1 kk =1 k¥å），所以lim S = c ，即( 1 - ln(1 + 1 ) 收敛而lim (1 + 1 +L+（nnn2n®¥

18、;n®¥n=1p ln np 2 ln 2 np 2 ln 2 np ln n+ o(（3）由于ln un = n ln(1 -) = n(-)2n2n2nn1p 2 ln 2 np 2 ln 2 n= ln-+ o()，n p2nn- p2 ln2 n +o p2 ln2 nln 1p2 ln2 np2 ln2 n1+o ()，)n p e-所以 u = e=e2nn2nnnn p- p2 ln2 n +o p2 ln2 n()lim n pu = lim en2= 1，2n所以nn®¥n®¥所以当 p > 1时，级数收敛；当

19、 p £ 1 时，级数发散（4）由于当n ³ e9 时，有ln n > e2 ；所以有(ln n)ln n> (e2 )ln n= n2 ；11即当 n ³ e9 时，有<，所以级数收敛(ln n)ln nn2an+1 (n + 1)!(n + 1)n+1uannaa（5）由于 n+1 =®(n ® ¥) ，e(n + 1)n1an n!u(1 +)nnn nn所以，当a < e 时，级数收敛； 当 a > e 时，级数发散；当 a = e 时，由于(1 + 1 )n < e ，故有 un+1

20、79; 1 ，所以åu 发散nnun1111（6）由于( n + 1 -n ) p = () p=×(n ® ¥)2 ppn + 1 +(2 n ) pnn 2ln n -1 = ln(1 - 2- 112(n ® ¥) ，所以u ×(n ® ¥) n2 p-1n + 1n + 1n + 11+ p2n所以，当 p > 0 时，级数收敛；当 p £ 0 时，级数发散(-1)n(-1)n1 11+ o() ，n2 p（7）由于un = ln(1 +) =-2 n2 pn pn p(-1)n(

21、-1)n所以，当 p > 1时， å绝对收敛；当0 < p £ 1时， å收敛；n pn p11111åå当 p >时，×绝对收敛；当0 < p £时，发散22 n2 p22 p2n11所以当 < p £ 1时，åu 条件收敛；当 p > 1时，åu 绝对收敛，当 < p £ 1时，nn22åun发散(-1)nn - (-1)n(-1)nn1= (-1) ×=-n - 1n（8） unn - 1n - 1n + (-1)n1

22、-1 - xx 2n由于()¢ =< 0(x > 1) ，所以单调递减，且当n ® +¥ 时，x -1n - 12 x (x -1)2 n ® 0 ，故å (-1)nn收敛，而å 1 发散，所以原级数发散n - 1n - 1n -1例 2证明级数åu 与u (1 + 1 ) 具有相同的敛散性nånnì1 ü1证：若åu 收敛，由于 1 +单调有界，由å n(1 +) 收敛níý判别法可知：unîþn=u (1 + 1 ) &

23、#215; () ，而ìü 单调有反之，若u (1 + 1 ) 收敛，则由于unnåånåí n + 1ýnnnn + 1nîþ判别法知åun 收敛界，故由an例 3设数列a 非负递增，证明：级数å(1 -) 收敛Û a 有界nnan+1证："Ü"：已知数列an 有界，且单调递增，故lim an 存在，并设其为a ，n®¥ak +1 - akak +1 - akn= ån(1 -) = åakn£

24、 å= 11(a- a )而 Sn+11naaaak =1k +1k =1k +1k =11a - a¥，由正项级数的部分和数列有界知：å(1 -) 收敛由于lim 1 (a- a ) =an1n+11n®¥ aaan=1n+111"Þ" ：假设an ，由an 单调递增知lim an = +¥ ，于是"n ，$P0 ，使> 2an ，an+ pn®¥0- ann+ P0 -1n+ p0 -1 a- an+ p0 -1 a- aan+ paa12åk =n

25、29;k =nåk =n(1 - k ) =ak +1 k +1k ³ak +1 k +1k =0= 1 -n ³有：an+ pan+ pan+ p000an由准则知， å(1 -) 发散an+1¥ f (x)x= 0 ，证明：f ( 1 )å例 4设 f (x) 在 x = 0 某邻域内具有连续导数，且limnx®0n=1绝对收敛f (x) = 0 知f (0) = f ¢(0) = 0 ，将 f (x) 在 x = 0 处展开有：证明 由limxn®¥+ f ¢ (x )f

26、62; (x )x 2¢， x Î (0, x) 或(x,0) ，f (x) = f (0) + f (0)xx =222f (x) = lim f ¢ (x ) =f ¢ (0)，（由于 f ¢ (x) 在 0 处连续）即有limx222x®0x®01f ( )n |= 1 |f ¢ (0) | ，由于å 1 收敛，得å f ( 1 ) 绝对收敛所以 lim |1n2n22nn®¥¥¥例 5若级数å an 满足：（1） lim an = 0 ，

27、（2） å(akn+1 + akn+2 +L + ak (n+1) ) 收敛，n=1n®¥n=1其中 k ³ 2 为正整数，则åan 收敛.证明 设å an 的部分和数列为Sn ，则由已知条件（2）知lim Skm 存在，且设为 S m®¥则lim Skm+1 = lim(Skm + akm+1 ) = lim Skm = S ；m®¥m®¥m®¥LL,= lim (Skm + akm+1 +L+ akm+k -1 ) = S ，lim Skm+k -1m

28、®¥m®¥所以lim Sn = S ，故级数å an 收敛n®¥¥例 6设级数åun 满足：加括号级数å(unk +1 +L+ unk +1 ) 收敛，且在同一括号中k =1un +1 ， un 符号相同，证明åun 收敛kk +1¥证明 由于å(unk +1 +L+ unk +1 ) 收敛，由准则有k =1"e > 0 ， $K ，当 k ³ K 时， "l Î N ，有(un +1 +L + un) +L+ (un

29、+1 +L+ un)kk +1k +lk +l +1取 N = nK ，则当 n > N 时， "p Î N ，则$i ³ K ， l Î N ，使得nK £ ni < n £ ni+1 ， ni+l +1 £ n + p < ni+l +1 .故有< eun+1 +L+ un+ p=un+1 +L+ un +1 +L+ un+L+ un+1 +L+ un+ un +1 +L+ un+ pi +1i +1i +l -1i +li +l£un+1 + L+ uni +1un+1 +L + un

30、i +1+ un +1 + L+ un+ L+ un+1 + L+ uni +1i +li + l -1i + l+ un +1 + L+ un+ pi + l£+ e + un +1 +L+ un+ pi +l< 3e据准则知åun 亦收敛¥例 7.设a > 0 ，证明级数åan收敛n(1 + a )L(1 + a )n=11n证明 显然级数为一正项级数且a1anS =+L +n1 + a(1 + a )L(1 + a )11na11111=+ (-) +L + (-)1 + a11 + a1(1 + a1 )(1 + a2 )(1 + a

31、1 )L(1 + an-1 )(1 + a1 )L(1 + an )1= 1 -< 1(1 + a1 )L(1 + an )即级数的部分和序列有界，故收敛2收敛级数的性质及其应用例 8若正项级数åu 收敛，且数列u 单调则lim nu = 0 ，即u = o( 1 )(n ® ¥) nnnnnn®¥证明 显然un 单调递减，否则åun 将发散由于åun 收敛，据准则有："e > 0 ， $N ，当 n > N 时， "p Î N ，有| un+1 +L+ un+ p |<

32、 e ，取 p = n ，得e > un+1 +L+ u2n ³ nu2n ，故有(2n)u2n < 2e ，所以lim 2nu2n = 0 n®¥又0 £ (2n +1)u2n+1 £ (2n +1)u2n = 2nu2n + u2n ，所以lim(2n +1)u2n+1 = 0 n®¥1所以lim nun = 0 ，即un = o( )(n ® ¥) nn®¥注：不满足单调性结论不真（反例见（二）例 9(1)若级数åan 与å cn 均收敛，且 an

33、 £ bn £ cn ，则åbn 收敛；an（2）若 a >0，且åa 收敛，则"p > 1 ，有å收敛；nnn p2(3) 若å an 与åb均收敛，则å a b 收敛2n n2n证明 (1)由已知有0 £ bn - an £ cn - an ，而å(cn - an ) 收敛，故 å(bn - an ) 收敛，又åan 收敛，所以åbn = å(bn - an ) + an ) 收敛an£ a + 1 ，且 p

34、> 1 ，故 1 åå收敛，又a 收敛，故（2）由于nnn pn2 p2 p2nan1åå(a +) 收敛，由比较判别法知，收敛nn p2 pna 2 + b2ånn2 + b 2 ) 收敛，故å a£ nn ，而2（3）由于a b(ab收敛n nn n¥例 10 （1）若正项级数åan 收敛， rn = å ak ，则k =n¥（） å发散，an¥（） ån=1anrn收敛rnn=1n（2）若正项级数åan 发散， sn = å

35、 ak ，则k =1（） å an 发散，an（） å收敛s2snn证明 (1) ()由于an+ pan+1 +L+ an+ prn+1 - rn+ p+1n+ prn+ p+1ak ran+1åk =n+1=+L+³= 1 -，rrrrrn+1n+ pn+1n+1n+1krn+ p+1时，有< 1 2又åa收敛，故 lim r= 0 ，所以"n Î N ， $N ，当 p > Nn+ pnnnrp®+¥n+1a> N ，取 p = N+1，总有 n0 +1+ L + an0 + p0取

36、e = 1 ， "N ，³ 1 = en，000n002rr2n0 +1n0 + p0所以å an 发散rn- rn+1 ，而an = rn rn()由于rna n11r -r=(r - r) ³(r - r) =，nn+1nn+1nn+12 x2 r2 rnnnå n= 0 ，所以级数å( rn -其中x 介于 r与 r 之间，由于a 收敛，故lim rnrn+1 ) 收n+1nnn®+¥an敛，由比较判别法知å收敛rnan+ psn+ p - sn+1n+ pakan+1sn+1= 1 -，由于

37、29;an 发散，故såk =n+1=+L+³s(2) ()由于ssskn+1n+ pn+ pn+ psn+1= 0 ，故对 1 > 0 ， $N ，当lim s= +¥ ， ("n Î N )，故"n Î N ，有 limn+ pnp®+¥ s2p®+¥n+ psn+1< 1 ，所以取e = 1 > 0 ， "N ，p > N 时，有n > N ，取 p = N+1，有n000n0s22n+ pn0 + p0a11åk =n0 +1

38、k > 1 -= e=，20s2k¥所以å发散ann=1 sn- sn-1- sn-1ansnsn111n-1()由于=£=-，又 lim s = +¥ ，故 lim® 0 ，s × sn22ssn®+¥ sssn®+¥nn-1n-1nnn所以å( 1 - 1 ) 收敛，由比较判别法，知åan收敛ss2sn-1nnn= åk =1例 11 设åa 为一条件收敛级数， sa = s- s - ，其中 s + 与 s - 分别是前n 项+nnnknnn+

39、s中的正项与负项之和，证明lim n = 1 _sk =1n证明 由于åa 条件收敛，故lim s= lim s= +¥ +-nnnn®¥n®¥+-s + sss所以lim n = lim nn = lim ( n + 1) = 1-n®¥ sn®¥ssn®¥nnnnn例 12设 xn =，求lim xn nn!3n®¥(n + 1)n+1(n + 1)!3n+1x11e= lim(1 +) =< 1，所以å x 收敛，证明 由于lim n

40、+1 = limnnxnnn®¥ 3n3n®¥n®¥nn!3n故lim xn =0n®¥11例 13设 xn = 1 +L- 2n ，证明lim xn 存在2nn®¥n证明 记 x0 = 0 ，则k -1 ) ，而k =1k +k - 1 - 2 k112x - x=- 2kk + 2k - 1 =-=kk -1kk +k - 1k ( k +k - 1)k -k - 11= -= -k ( k +k - 11k ( k +k - 1)2k +k -1)2k (1432> 1，所以

41、9;(xk- xk -1 ) 收敛，=而 lim，由于32k ®+¥-k即其部分和数列xn 收敛3数项级数的求和（1）利用定义直接求此种证明法的前提是求该级数åun 的部分和数列sn ，而能求得 sn 的缩写形式的级数为：等比级数，或成等差分母成等比的级数，或分母为等差数列之积的形式等2n -113例 13 计算： +L+L222n22n -113解：令 sn = 2 + 22 +L+，则，所以2n1 ) +L+ ( 2n -1 - 2n - 3) - 2n -1s - 1 s = 1 s = 1 + ( 3 -nnn22222n2n2n+12221 ) - 2n

42、 -1= 1 + ( 1 +L +2n-12n+1221 (1 -)1- 2n - 1 ，= 1 +22n-121 - 12n+12故 s = lim sn = 3n®¥¥1ån=1例 14计算n(n + 1)(n + 2)n= åk =1nn 1= å( A + B + C ) = å( 1 -2+1)解： snk(k + 1)(k + 2)kk + 1k + 22k2(k + 1)2(k + 2)k =1k =1n= åk =1( 1 -1) - (1) -1)2k2(k + 1)2(k + 1)2(k + 2

43、)= 1 -111-+，22 × 22(n +1)2(n + 2)1所以 s = lim sn =4n®¥（2）利用子列的极限此方法的理论依据是，若åun 的通项趋于0 ，且lim skn = s ，则级数åun 收敛，且n®¥lim sn = s n®¥1111111111例 15计算1 + ( -1) + (-) +L+ (-) +L3n - 23n -13nn234562解 由于s= 1 + 1 +L+-1 - 1 -L1= ln 3 + e- e3nn3nn23n2所以lim s3n = ln 3

44、 n®¥1而lim s3n+1 = lim (s3n +) = ln 3 ， lim s3n+2 = ln 3 ，所以lim sn = ln 3 3nn®¥（3）解方程法n®¥n®¥n®¥此方法是建立部分和的方程，通过解方程得部分和例 16计算q cosa +n cos na +L< 1qn cos na ，则解 令 sn =nn2q cosa × s = å qk+1 (2 cosa × cos ka ) = å qk+1 (cos(k + 1)a

45、 + cos(k - 1)a ) =nk =1k =1= qn+1 cos(n +1)a + s - q cosa +n2s - qn+2 cos na ，n2令 n ® +¥ ， s =cosa1 +来求和（4）利用幂级数和此方法在函数项级数中介绍 四 综合举例例 17 判别下列函数的敛散性，若收敛，则指明是绝对收敛还是条件收敛(-1)n （1） å(-1) tan( n + 2)p ；（2） ån2；n1111（4） åln(n(n + 1)a (n + 2)b ) （3）-+-.；1p2q3p4q解n2 + 2 - n)p = tan2p

46、，n2 + 2 + n= tan( n2 + 2)p = tan(（1） un显然 当 n ³ 2 时，有un > 0 且 un 单调递减，lim un = 0 ，据判别法知，原n®¥级数收敛= tan2p>2p，n2 + 2 + nn2 + 2 + n又由于un而 å2p发散，故原级数为条件收敛n +n2 + 2(-1)n （2）给级数å从 k 到 k + 2k 项加括号，则该括号内的各项的符号均为22n(-1)k ，故加括号的新级数与原级数有相同的收敛性而新级数为å(-1)nu = å(-1)n ( 1 +L

47、+1) ，nn2 + 2nn21111由于un = n2+L +n2 + n -1n + n+L+2n + 2n2nn + 12£n2+=，n2 + nnn + 111n2且un = n2+L+³+=，n2 + 2nn2 + nn2 + 2n + 1n + 1(-1)n 即有un 单调递减收敛于0 ，故 å(-1) un 收敛，所以ån收敛，且显然n为条件收敛（3）当 p, q 均大于时，显然，级数绝对收敛；当 p, q 中有一个小于0 时，其通项不趋于0 ，显然发散；11åå当 p, q 中有一个大于1，一个小于1时，则与中一个收敛

48、，(2n -1)pq(2n)另一个发散，则原函数发散；下面讨论0 < p, q £ 1的情形，当 p = q 时，由当 p ¹ q 时，由于其通判别法知，原函数为条件收敛；n ®¥时趋于0 ，故原函数的部分和序列sn 与其子列s 具有相同的敛散性，即原级数与级数å(1- 1) 具有相同的敛散性，2n(2n -1) p(2n)q11-(2n -1) p(2n)q11= 1，而å若0 < p < q £ 1，则lim发散，(2n -1)pn®¥(2n -1) p故å(1- 1发散，

49、即原级数发散；(2n -1) p(2n)q同理，当0 < q < p £ 1 时，原级数发散（4） 由于un = ln n + a ln(n + 1) + b ln(n + 2)= (1 + a + b ) ln n + a ln(1 + 1 ) + b ln(1 + 2 )nn121= (1 + a + b ) ln n + (a + 2b )- (a + 4b )+ o() ，n2n2n所以，当1 + a + b = 0,a + 2b = 0时，即a = -2, b = 1时， åun 收敛，且为绝对收敛例 18设 f (x) 是(-¥,+

50、5;) 内的可导函数，且满足：(1) f (x) > 0 ， "x Î(-¥, +¥) ，f ¢(x)£ mf (x) ， 0 < m < 1，a0 Î (-¥,+¥) ，令 an = ln f (an-1 ) ，(2)n = 1,2L；证明： å| an - an-1 |收敛由于 f (x) 在(-¥,+¥) 上可导，故由证明日中值定理知，f ¢(xn )| an - an-1 |=| ln f (an-1 ) - ln f (an-2 ) |=

51、|(an-1 - an-2 ) |£ m | an-1 - an-2 | ，)f (xn其中 x n 介于 an-1 与 an-2 之间若$n0 ，使得 an -1 - an -2 = 0 ，则当 n > n0 时，有an - an-1 = 0 ，此时å| an - an-1 |收00敛- an-1an|£ m < 1， 由比式判别法知å| a - a若"n ， a - a¹ 0 ，则有|收nn-1nn-1a- an-1n-2敛数å an 收敛， å(bn+1 - bn ) 绝对收敛，则级数å

52、anbn 收敛例 19因为函数å(bn+1 - bn ) 绝对收敛，所以å(bn+1 - bn ) 收敛，即其部分和数列bn+1 - b1证明收敛，数列bn 收敛，所以bn 有界，设 bn£ M ，又å an 收敛，及å| bn+1 - bn| 收敛，+L+ a| < e，由准则有， "e >0， $N ，当 n > N 时， "l ，有| an+1n+l1+ M| bn+2 - bn+1 | +L+ | bn+l - bn+l -1 |< 1，对"p Î N ，令n+i ， i

53、= 1, 2, L, p ，则| an+1bn+1 +L+ an+ pbn+ p |=| S1bn+1 + (S2 - S1 )bn+2 +L+ (Sp- Sp-1 )bn+ p |=| S1 (bn+1 - bn+2 ) +L+ Sp-1 (bn+ p-1 - bn+ p ) + Spbn+ p|=| S1 | bn+1 - bn+2 | +L+ | Sp-1 | bn+ p-1 - bn+ p | + | Sp | × | bn+ p |£ e(| b- b| +L+ | b- b| + | b|)n+1n+2n+ p-1n+ pn+ p1 + Me(1 + M ) e

54、<1 + M所以åanbn 收敛(-1)n+11111111例题 20 证明级数1-(1+ ) +(1+ ) -32523+(1+) +收敛n2n +12111ån+1+ ) ，则原级数即为(-证明 令un = 2n -1 (1+ 2 +1)un ，而n2n +111111un = 2n -1 (1+ 2 +) =(1+n(2n -1)(2n +1)2+)n12)(1+ 1 + 1 ) =1(1+ 1 + 1 +2(1+ 1 + 1 )n=(1+2n +12n -12n2n +12n2n -121(1+ 1 + 1 +21(1+ 1 +1>+) >) = un+12n +12n2n -12n +12n +1所以un 单调递减又lim un =