初中因式分解浅谈

1、初中因式分解浅谈合道中学曹德文内容摘要因式分解是初中数学学习中很重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学 学习之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这 些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，开展 学生的思维能力，都有着十分独特的作用.关键词 初中因式分解的方法、技巧首先，我们必须把握因式分解的定义，把一个多项式化成了几个整式的积的形式， 像这样的式子变形叫着把这个多项式因式分解。明确因式分解实质只是一个多项式的变形 而已，不是计算。强调考查对象是一个多项式，目的是要把它化成几个整式积的形式。即等式的左边是一个多项式，右边是

2、几个整式相乘的形式。可见，因式分解与整式乘法是相 反方向的变形。最起码的特征是等式的右边的式子是相乘的。其次，我们必须掌握几种简单的分解方法。初中主要表达以几种方法：一提公因式法。多项式中每一项都有的因式叫做这个多项式的公因式。通过观 察探讨，我们发现，一个多项式的公因式实质上是取各项系数的最大公约数和相同字母的 最低次幕的积的形式。具体做法是：1找出各项的公因式。2把公因式写在等式的右 边，然后用多项式除以公因式，再把所得的商写在括号里与公因式相乘。注意：1假设多项式的首项为负数，为使提公因式后括号里首项不含负号，可提一个带负号的公因式。2结果中出现相同因式时写成乘方的形式公因式中字母也可以

3、是整式。3多项式中某一项 全提公因式后不要漏掉“ 1这一项。4提公因式要一次提“全提“尽，直到不能再 分解为止。例如，把以下多项式分解因式：(1) 8a3b2 12ab3c(2)322m + 4m+ 2m(3) 6 (x 2)+ x (2 x)(4)18b (a b) 212 (a b) 3解：(1) 8a3b2 12ab3c(2)322m + 4m+2m=4ab2 (2a2 3bc)=22m (m2 2m 1)(3) 6 (x 2)+ x (2 x)(4)18b (a b) 2 12 (a b) 3=6 x2xx2 =6 ab 公式特点：1多项式是由三局部组成的。 2其中有两局部或通过提负号

4、可化成平方和的形式。3第三局部是两平方项的底数积的二倍。 4右边是两平方项的底数的和或差的平方。 左边第三项为正那么右边是两底数和的平方； 左边第三项为负那么右边是 两平方项底数的差的平方。 方法步骤：1多项式中有公因式先提公因式。2表示出两平方项并验证第三项 是否是两平方项底数积的二倍。 3右边表示成公因式与两平方项底数的和或差的平方的3b 2ab= x2 6 x=6ab25b 2a二运用公式法。初中阶段主要涉及两类三个公式： 平方差公式a2 b2= a+ b a b；2 2 2 2 2 2完全平方公式 a + 2ab+ b= a+ ba 2ab+ b = a b一平方差公式 a2 b2=a

5、+ bab；1 公式特点：1这个多项式有两局部组成。2这两局部可以表示成平方差的形式，即这两局部异号。 3等式的右边是左边两平方项的底数的和与差的积。2 方法步骤：1把左边多项式化成两局部平方差的形式， 认准两平方项的底数。2右边写成两底数和与差的积的形式。 3 最后把括号里和与差化简彻底，使等式中不再有中括号、同类项，直到不能再分解为止。3例题展示，把以下各式分解因式1)21 25b23)2216( a b) 9( a+ b)222)(x+p) 2(x+q) 244( 4) x4 y4解：( 1 ) 1 25b2 =12(5b) 2=( 1 + 5b)( 1 5b)=2)(x+p) 2(x+

6、q)x+p)+(x+q) (x+p)(x+q) 2x+ p+ q)( p q)3) 16( a b) 9( a+ b)444) x y=4(ab) 23(a+b) x2) 2(y2)=4(ab)+ 3(a+b) 4 (ab)3(a+b) 2 2 2 2x+y)(xy)=(7a b)( a 7b)22x+y)(a+b)(ab)二完全平方公式22a 2+ 2ab+ b2=( a+ b)222 2ab+ b2=( a b)3例题展示，把以下各式分解因式114x2y24xy2 x24y24xy4 63 52 4223 16m4n624m3n59m2n44 9 xa230xaxb25xb222解：11

7、4x y 4xy=1 2 2xy2 4xy= 12xy 2=3 16m4n6 24m3n59m2n4= m2n416m2n224mn9= m2n44mn 2 24mn 32= m2n4 4mn32分组分解法。采用分组分解法，222 x 4y 4xy x 22y24xy x 2y2xa230xaxb 25xb2xa 230x axb5x b 2xa 5xb 2 8x3a5b2关键在于分组，分组不仅要将有公因式或能用公式4 9=3=3的项划归一组，同时还要预见到下一步还有公因式可提或能套用公式。用不同的方法分解 因式但正确的结果是唯一的。一分组提公因式法分解因式例如，把以下各式分解因式21a ab

8、acbc22ax5by10aybx解： 1 a2ab acbc= a2ab ac bc22ax5by10aybx= 2ax bx 5by10ay= a ab cab=x 2ab 5y2ab= a bac=二分组运用公式分解因式2abx5y例如，把以下各式分解因式2 2 2 2 21x2y2 ax ay 2a22ab b2c23223 x x y xy y22解：1 x y + ax + ay2 2 22 a 2abb cx2 y2 axaya2 2abb2 c222x y x y a xy= a b 2c2= x y x yaa b c a b c3 x3x2y23 xy yx3x2y xy2

9、y3=(X+ y) (X2 y2)2=(X+ y)(X y)四十字相乘法一x2 +(a+ b) x + ab= (x + a) (x + b)型2对于二次三项式x +(a+ b) x + ab型的因式分解，可以分解成两个一次二项式的积的形式。其中这两个一次二项式的常数项之和正是二次三项式的系数，常数项之积正是二次三项式的常数项。通过题型训练总结如下：(1) 例如分解因式x2+ 5x+ 6或x2 5x+ 6常数项6可分解为2X 3或(2)x( 3) 而2+ 3=5、( 2) + ( 3) = 5正是一次项的系数。可见对于二次项系数为1、常数项为正数的二次三项式，当一次项系数为正数时，二次三 项式

10、的常数项分解成两个正数且使两正数的和恰是一次项的系数；当一次项的系数为负数 时，二次三项式的常数项分解成两个负数且使两负数的和恰是一次项的系数。即常数项分 解的两个数的和等于一次项的系数的绝对值。(2) 例如分解因式x2+ x 6或x2 x 6常数项都为6可分解为3X( 2)或(3) X 2 而 3+( 2) =3 2=1 ( 3)+ 2=2 3= 1 正是一次项的系数。可见对于二次项系数是1、常数项是负数的二次三项式，当一次项系数为正数时，二次三 项式的常数项的绝对值分解成两个正数的差等于一次项的系数，用较大因数减较小因数， 即写成字母加大因数与字母减小因数的积的形式(加大减小)；当一次项系数为负数时， 二次三项式的常数项的绝对值分解成两个正数的差等于一次项的系数，用较小因数减较大 因数，即写成字母加小因数与字母减大因数 的积的形式(加小减大)。例如(1) mi+ 5m 14常数项-14的绝对值14=2X 7 一次项系数是5=7 2故 吊+ 5m- 14=( m+ 7)( m- 2) (2) y2 6y 40常数项-40的绝对值40=4X 10 一次项系数是6=4 10故y 6y 40= (y + 4)(y10)当然，因式分解不限