2017年4月浙江省普通高中学业水平考试数学试题解析

1、2021年4月省普通高中学业水平考试数学试题第一卷共54分一、选择题：本大题共18个小题,每题3分,共54分.在每题给出的四个选项中, 只有一项为哪一项符合题目要求的1.全集U1,2,3,4，假设 A 1,3，那么A A.1,2B.1,4C.2,3D.2,4【答案】D【知识点】此题主要考察知识点：集合问题【解析】由题可以知道A=2,4选择D。2.数列1，a，5是等差数列，那么实数 a的值为A. 2B. 3C. 4D.、5【答案】B【知识点】此题主要考察知识点：等差数列问题【解析】2a 1 56那么a 3选择B3.计算 lg 4 lg 25A. 2B. 3C.4D. 10【答案】【知识点】A此题

2、主要考察知识点：对数问题【解析】log10 4 + log1025 = log101002，选A。4.函数y3x的值域为: A. (0,)B. 1,)C.(0,1D. (0,3【答案】A【知识点】此题主要考察知识点：指数函数值域【解析】对于定义域 R中的任意x, 3x的取值围是0,，所以选择A.5.在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设a 3，A 60 B 45，那么b的长为2A. B. 1C. 、2D. 22【解析】运用正弦定理osin 60sin 45°那么 b= 3 Sin45-2,选择 C 。sin 60X y 106. 假设实数那么点P(x, y)不可能落

3、在2x y 0,A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【知识点】此题主要考察知识点：由直线划分的平面区域【解析】由题意可以得到 y>2x ,y<x+1 ，画图可得点p x,y不可能落在第四象限，选择D .7. 在空间中，以下命题正确的选项是A假设平面有无数条直线与直线 丨平行，那么丨/B. 假设平面有无数条直线与平面平行，那么 /C. 假设平面有无数条直线与直线 丨垂直，那么丨D. 假设平面有无数条直线与平面垂直，那么【答案】D【知识点】此题主要考察知识点：立体几何问题【解析】A错误，因为L可能在平面B错误，与可能相；目交C错误，L与可能斜斗交，也可能1D正确，

4、选择D。8.锐角,且sin35，那么sin( 45 )A.7 2B.7 22c.D上10101010【答案】A【知识点】此题主要考察知识点：三角函数变换【解析】sin3,为锐角，那么cos 455那么sin45°) sin cos45o cos sin 45°72那么正确选项为109.直线y x被圆x 12 y2 1所截得的弦长为A.2"2"B. 1【答案】C【知识点】此题主要考察知识点：直线与圆的相交问题【解析】弦的两端点是0, o和1, 1，弦长为42,应选c 。10. 设数列an的前n项和为Sn，假设Sn 1 2an 1 , nN*，那么a3 A.

5、 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【知识点】此题主要考察知识点：等比数列求和公式【解析】Sn 1 2a“ 1, Sn 2 2a“ 1 1后者减去前者得到2an an 221所以可以得到a1 a2 2a1 1 那么 a2 a 1a1 a2 a3 2a2 1 那么 a2 a3那么a3a2a11a11a112应选择 B。11. 如图，在三棱锥 A BCD中，侧面 ABD 底面BCD , BC CD , AB AD 4,BC 6 , BD 4 3，该三棱锥三视图的正视图为【答案】C【知识点】此题主要考察知识点：立体几何问题【解析】取BD的中点M那么BM MD 2 3在 RT BCD中，CD 48

6、36 2 3作CH垂直BD于H，那么H点在线段DM上，应选择C12.在第11题的三棱锥 A BCD中，直线AC与底面BCD所成角的大小为 A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】A【知识点】此题主要考察知识点：立体几何问题【解析】AM垂直平面BCD，那么角MCA为AC于底面BBCD成的角，可知三角形CDM是正三角形，那么 CM 2 3。又可以求 AM 2，2/3那么tan MCA，那么角MAC为30度，应选择A。2丁3313.设实数a，b满足|a| |b|，那么“ a b 0"是“ a b 0 "的A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必

7、要条件【答案】C【知识点】此题主要考察知识点：条件论证【解析】一方面，假设 a b 0，那么a b，而|a| |b|如图，那么a b，那么a b 0 ；另一方面，假设a b 0,那么a b，而|a|b|如图，那么a b，那么a b 0。总之,选择C。2x14.过双曲线ab20，b 0丨的左顶点A作倾斜角为45的直线I，I交y轴于点B，交双曲线的一条渐进线于点C，假设AB BC，那么该双曲线的离心率为A. 5B.5D.21 a25，应选B .bx【解析】A( a,O),B(Oa),C(x。，0)a由于AB BC，那么Ca,b又因为直线 AC的倾角为45°，那么2a b那么2 2a bi

8、 2a15.假设实数b , c满足1 b a0c1，那么关于x的方程ax2 bx c 0 8A.在区间1,0没有实数根B.在区间1,0有一个实数根，在1,0外有一个实数根C.在区间1,0有两个相等的实数根D.在区间1,0有两个不相等的实数根【答案】D【知识点】此题主要考察知识点:【解析】二次函数的求根与围记f(x) ax2bx c,由于12,0 C那么，f(0) C10,8, f 1f( 1) a b(a b) c 0y-1X18189890, f( 1)(。屯)尝试f ( 1)24尝试f ( 1)24161c c c 一2428b211-c一-0应选择D4164816.如图1，把棱长为1的正

9、方体沿平面 ABU和平面ABG截去局部后，得到如图2所示几何体，该几何体的体积为D.【知识点】此题主要考察知识点：立体几何求体积问题【解析】v v正方体V正三棱锥A1 AB1D1V正三棱锥B1 A1BC1VnA1 B1M-)2+1/31/23(尹24(这里用到结论，两截面AB1D1于BGD三等分对角线AC另外两个截面)所以选择B .17.直线 2x y 2(2 y) 0与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为 S()，D. 4 亠/亡0X那么S aob12( Xa) Yb1)1)当 (0,)时，S()的最小值是A. 12B. 10C. 8【答案】C【知识点】此题主要考察知识点：求函数最值问

10、题【解析】令2x y 2 0,2 y 0,解得 x2, y 2那么直线经过定点 D( 2,2)斜率k2 2A( 1,0),B(0,)1应选择C .18.函数 f (x) x2 ax b a , bR，记集合Ax R|f(x) 0 ,B x R|f(f(x)1) 0，假设AB，那么实数a的取值围为A.4,4B.2,2c.2,0D.0,4【答案】B【知识点】此题主要考察知识点：复合函数问题【解析】f(f(x) 1) f(x21. a， b R，且a 1，那么|a b |b |的最小值是. a 1【答案】1【知识点】此题主要考察知识点：绝对值不等式、均值不等式ax b1) (x2axb1)2 a(x

11、2axb1) b(x2 ax b)2 (a2)(x2ax b)(1ab)由于A B 贝U, a2 4ab0,1 ab0, a2 4(b a2)02 2所以 a 4( a 1) 0,a4( 1 2) 0所以(a 2)2 0,a2 4, 2 a 2,应选择 B第二卷共46分二、填空题每空3分，总分值15分，将答案填在答题纸上19.设向量a (1,2)， b (3,1)，那么a b的坐标为，a b .【答案】(4,3) ;5【知识点】此题主要考察知识点：向量的运算【解析】a b (1,2) (3,1)(4,3) , a?b 13 2 152x20.椭圆 寸1两焦点之间的距离为.3【答案】2 2【知识

12、点】此题主要考察知识点：椭圆的 a、b、c之间的关系。【解析】a , 3 ,b=1, c . a2 b2 > 2 ,所以 2c=2 2111a b 丄 b(a b) (b)(a 1) ( d 1)la 1a 1a 1【解析】2 1 1ABC的三边上的动点,那么PA (PB PC)的取值围为.9【答案】二28【知识点】此题主要考察知识点向量的应用22.设点P是边长为2的正三角形【解析】1当P(x,O)在BC上时，？ x? w 1.PA?(PB PC) ( x,、3)?( 2x,0) 2x2 0,2(2)当点p(x ,. 3. 3x在边AC上时，0 xPA?(PB PC) PA?2PO (

13、x, 3x)?( 2x,2.3x 2 3) 2x2 6x2 6x2398x2 6x f(J f(1) -,28 89(3)当P在边AB上时同理可以求得围也是 -,28三、解答题本大题共3小题，共31分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.23.函数 f(x) 2cos2x 1 , x R.I求f ()的值；6n求函数f (x)的最小正周期；川设 g(x) f ( x) 3cos2x，求 g(x)的值域.41【答案】(1)(2)(3) 2,22【知识点】此题主要考察知识点为：三角函数与函数，函数的值域问题【解析】2由于f(x) 2 (1 C0S2X) 1 cos2x,那么f(x)的最小正周期

14、为23g(x) cos2( x) . 3cos2x cos( 2x) 3cos2x42sin 2x . 3cos2x 2sin(2x) 2,2那么g(x)的值域为2,224.抛物线 C : y2 2px 过点 A(1,1) I求抛物线C的方程;n过点P(3, 1)的直线与抛物线C交于M , N两个不同的点均与点A不重合设直线AM , AN的斜率分别为k , k2，求证：k, k2为定值.整理得到 k2x2 (6k2 2k 1)x (3k 1)20(其中k0)XmXn6k2 2k1,Xm?Xn(3k 1)2k22 1【答案】1y2 x 2k,k2丄2【知识点】此题主要考察知识点为：曲线抛物线与直

15、线相交问题【解析】¥ IM JI代点 A(1,1)得 1122 p 1,那么 2p 11那么抛物线的方程为 y2 xV/ .n0k ?kym 1 ? yn 1yM y. (ym y.) 1-11 2 Xm 1 Xn 1 XmX. (Xm Xn) 1-/ N设直线MN的方程为y k(x 3) 1代入抛物线方y2xym yn k(Xm X.) 2(3K1)1k2(3k 1)(3k 1)(6k22kk1 2 -)(3k 1)3k 1k那么代入得匕k2k( 3k 1) k k22 2 2(3k 1)2 (6k2 2k 1) k2验证得知斜率不存在时，M (3, 3),(3,3)时，k1k22

16、25.函数 f(x) 3| x a | ax 1|，其中 a R .I当a 1时，写出函数f(x)的单调区间;n假设函数 f(x)为偶函数，数a的值;川假设对任意的实数x 0,3，不等式f(x) 3x|x a |恒成立，数a的取值围.【答案】If(x)的递减区间是(，1,递增区间是1,).na 0川翌3占92【知识点】此题主要考察的知识点是：函数的单调性奇偶性抛物线与直线问题【解析】I当a 1时，f(x) 3x 1 x 1 4x 1那么f(x)的递减区间是(，1,递增区间是1,).n因为f(x)偶函数，那么f ( 1)f(1)所以 3 1 a | 1 a 31 a a 1所以4a 1 4a 1所以a 1 (a 1)所以a 1 a 1(无)或a 1 (a 1)所以a 0f (x) 3xx a等价变形为 3x a |ax-1 3x a 即(3x 3)x a ax 1(0 x 3) 特别地当x 3时,63-a 13a 1那么 (6a 18)2(3a 1)219解得199a 17这是原不等式当03x 3时恒成立的必要条件。19171当 $ a §时，a 1可考虑不等式3(x 1) x a ax 对于 0 x 3恒成立，可以考察两函数 g(x) 3(x 1)x a(0 x 3)1与h(x)