第1章 5.2 二项式系数的性质

1、.5.2二项式系数的性质1理解杨辉三角2掌握二项式系数的性质重点3会用赋值法求系数和难点根底初探教材整理二项式系数的性质阅读教材P26P27“练习以上部分，完成以下问题1杨辉三角的特点1在同一行中每行两端都是1，与这两个1等间隔 的项的系数_2在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上的两个数的_，即C_.【答案】1相等2和CC2二项式系数的性质对称性在abn展开式中，与首末两端“_的两个二项式系数相等，即C_增减性与最大值增减性：当k时，二项式系数是逐渐减小的最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时获得最大值各二项式系数的和1CCC

2、C_.2CCCCCC_【答案】等间隔 C12n22n11abn展开式中只有第5项的二项式系数最大，那么n等于A11B10 C9D8【解析】只有第5项的二项式系数最大，15，n8.【答案】D2如图151，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_行中从左至右第14个与第15个数的比为23.图151【解析】由，即，化简得，解得n34.【答案】34质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型与“杨辉三角有关的问题如图152，在“杨辉三角中斜线AB的上方，从1开场箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，.记其

3、前n项和为Sn，求S19的值图152【精彩点拨】由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，第17项是C，第18项是C，第19项是C.【自主解答】S19CCCCCCCCCCCCCCCCC23410C220274.“杨辉三角问题解决的一般方法观察分析；试验猜测；结论证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察才能，观察才能有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察如表所示：再练一题1如图153所示，满足如下条件：第n行首尾两数均为n；表中的递推关系类似“杨辉三角那么第10行的第2个数是_，第n行的第2个数是_图153【解析】由图表可知第10行的第2个数为：12

4、39146，第n行的第2个数为：123n111.【答案】46求展开式的系数和设12x2 017a0a1xa2x2a2 017x2 017xR1求a0a1a2a2 017的值；2求a1a3a5a2 017的值；3求|a0|a1|a2|a2 017|的值【精彩点拨】先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解【自主解答】1令x1，得a0a1a2a2 01712 0171.2令x1，得a0a1a2a2 01732 017.得2a1a3a2 017132 017，a1a3a5a2 017.3Tr1C2xr1rC 2xr，a2k10kN，a2k0kN|a0|a1|a2|a3|a2 017|a0a1a

5、2a3a2 01732 017.1解决二项式系数和问题思维流程2“赋值法是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵敏赋给字母不同值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x0可得常数项，令x1可得所有项系数之和，令x1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差再练一题22x110a0a1xa2x2a9x9a10x10，那么a2a3a9a10的值为A20B0C1D20【解析】令x1，得a0a1a2a9a101，再令x0，得a01，所以a1a2a9a100，又易知a1C211920，所以a2a3a9a1020.【答案】D探究共研型二项式系数性质的应用探究1根据杨辉三角的特点，在杨辉三

6、角同一行中与两个1等间隔 的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】对称性，因为CC，也可以从frC的图象中得到探究2计算，并说明你得到的结论【提示】.当k1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k时，二项式系数逐渐减小探究3二项式系数何时获得最大值？【提示】当n是偶数时，中间的一项获得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时获得最大值fx3x2n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.1求展开式中二项式系数最大的项；2求展开式中系数最大的项【精彩点拨】求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项或中间两项是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系

7、数均考虑进去，包括“号【自主解答】令x1，那么二项式各项系数的和为f113n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.2n22n9920，2n312n320，2n31舍去或2n32，n5.1由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3C33x2290x6，T4C23x23270.2展开式的通项公式为Tr1C3r假设Tr1项系数最大，那么有r，rN，r4.展开式中系数最大的项为T5C 3x24405.1求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最

8、大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得再练一题3a21n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而a21n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值【解】由5，得Tr1C5rr5rC，令Tr1为常数项，那么205r0，所以r4，常数项T5C16.又a21n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n16，n4.所以a214展开式中系数最大项是中间项T3Ca454，所以a.构建体系11x2n1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是An，n1Bn1，nCn1，n2Dn2，n3【解析】该展开式共2n2项，中间两项为第n1项与第n

9、2项，所以第n1项与第n2项为二项式系数最大的项【答案】C2C2C22C2nC729，那么CCC的值等于A64B32C63D31【解析】C2C2nC12n3n729，n6，CCC32.【答案】B3假设x3yn的展开式中各项系数的和等于7ab10的展开式中二项式系数的和，那么n的值为_【解析】7ab10的展开式中二项式系数的和为CCC210，令x3yn中xy1，那么由题设知，4n210，即22n210，解得n5.【答案】54ax5a0a1xa2x2a5x5，假设a280，那么a0a1a2a5_. 【导学号：62690023】【解析】ax5展开式的通项为Tk11kCa5kxk，令k2，得a212Ca380，解得a2，即2x5a0a1xa2x2a5x5，令x1，得a0a1a2a51.【答案】15在8的展开式中，1求系数的绝对值最大的项；2求二项式系数最大的项；3求系数最大的项；4求系数最小的项【解】Tr1C8rr1rC2r.1设第r1项系数的绝对值最大那么解得5r6.故系数绝对值最大的项是第6项和第