高二数学选修2-2知识点

1、高二数学选修2-2知识点总结第一章导数及其应用1 .函数的平均变化率为一yxff(X2)f(Xi)f(Xix) f(Xi)XX2 X1X注1：其中 X是自变量的改变量，可正，可负，可零。注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、导函数的概念：函数y f(X)在X X0处的瞬时变化率是lim limf(0一X)f(X0),则称函数 x 0 X x 0x, ,一 .一 ,一 . '、一'I-y f (x)在点xo处可导，并把这个极限叫做y f (x)在xo处的导数，记作 f (x0)或y |x，即/y. f (xox) f(xo)f (xo) - lim - lim

2、.x 0 xx 0x3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。4导数的背景(1)切线的斜率；(2)瞬时速度；(3)边际成本。常见的函数导数和积分公式函数导函数不定积分y cy' 0n.*y x n N,n 1y' nxn 1xndx n 1Xy a a 0,a 1y' ax ln aX xaa dx ln aX y e1Xy e一X一Xe dx ey log a xa 0,a 1,x 0y' xlnay ln xy' 1 X1 .dx ln x Xy sin xy' cosxcosxdx sinxy cosxy

3、' sin xsin xdx cosx常见的导数和定积分运算公式若f x , g x均可导(可积)，则有:和差的导数运算1f (x) g(x) f (x) g (x)积的导数运算f(x) g(x) f (x)g(x) f (x)g (x)特别地：Cf x ' Cf ' x商的导数运算3 f(x)g(x) f(x)g(x)(g(x) 0) g(x)g(x)特别地：'g'(x)g xg x复合函数的导数yxyu Ux微积分基本定理bf x dx(其中 F' x f x )a和差的积分运算bbbf(x) f2 (x)dxf(x)dxf2(x)dxaaa

4、bbkf(x)dx k f(x)dx(k为常数)特别地：aa积分的区间可加性bcba f(x)dx a f(x)dx c f(x)dx(其中a c b)用导数求函数单调区间的步骤求函数f(x)的导数f'(x)令f'(x) >0,解不等式，得x的范围就是递增区间.令f'(x)<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；注:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域。(2)求函数f(x)的导数f'(x) (3)求方程f'(x)=0的根(4)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，

5、并列成表格，检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值利用导数求函数的最值的步骤求f (x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：求f(x)在a,b上的极值；将f(x)的各极值与f (a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。注:实际问题的开区间唯一 极值点就是所求的最值点;求曲边梯形的思想和步骤利 旭似代替| 回 |取极限|(“以直代曲”的思想)定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质:b性质1 1dx b a性质5

6、若f(x) 0, xa, b ，ba f(x)dxb推广：fi(x)af2(x)fm(x)dxba fi(x)dxa f2(x)dxba fm(x)ab推广：f (x)dxaqf(x)dx aC2f (x)dxC1bf (x)dxCka8 / 7(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方定积分的取值情况定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.(l )当对应的曲边梯形位于 x轴上方时，定积分的值取 正值，且等于x轴上方的图形面积;(2)当对应的曲边梯形位于 x轴下方时，定积分的值取负值, 且等于x轴上方图形面积的相反数;的曲边梯形面积时，定积分的值为0,且等于x轴上方图形的面积减

7、去下方的图形的面积.12 .物理中常用的微积分知识(1)位移的导数为速度，速度的导数为加速度。(2)力的积分为功-第二章推理与证明13 .归纳推理的定义：从个别事实 中推演出一般性 的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 14 .归纳推理的思维过程5力口囱 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论大致;如囹： 15 .归纳推理的特点：归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归

8、纳推理的猜想，可以作为 进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。16 .类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。* * * *17 .类比推理的思维过程观察、比较t联想、类推、推测新的结论18 .演绎推理的定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格 的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 19 .演绎推理的主要形式：三段论20 .“三段论”可以表示为：大前题：M是P小前提：S是M 结论：S是P。其中是大前提，它提供了一

9、个一般性的原理；是小前提，它指出了一个特殊对象；是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。21 .直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直 接证明包括综合法和分析法。22 .综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结 论。23 .分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证 A,只要证B, B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。24 反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证

10、实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。25.反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。 26常见的“结论词”与“反义词”原结论词反义词原结论词反义词至少有一个一个也没有对所有的x都成立存在x使小成立至多什-个至少用两个对任意x不成立存在x使成立至少有n个至多后n-1个p或qp且q至多后n个至少有n+1个p且qp或 q27.反证法的思维方法：正难则反 28.归缪矛盾（1）与已知条件 矛盾：（2）与已有公理、定理、定义 矛盾； （3）自相矛盾. * 29 .数学归纳法（只能

11、证明与正整数有关的数学命题）的步骤（1）证明：当n取第一个值n0 n0 N 时 命题成立；（2）假设当n=k （kCN*,且k>n。）时命题成立，证明当 n=k+1 .时命题也成立.由（1）, （2）可 知，命题对于从no开始的所有正整数 n都正确,注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确 性的证明。第三章数系的扩充和复数的概念30.复数的概念：形如a+bi的数叫做复数，其中 i叫虚数单位，a叫实部，b叫虚部，数集 C a bi | a, bR叫做复数集。规定：a bi c31 .数集的关系:di a=c且b=d ,强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。实数(b 0)复数Z 4

12、M一般虚数(a 0)虚数(b 0) 纯虚数(a 0)32 .复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。33 .复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数z a bi,都可以由一个有序实数对 (a,b)唯一确定。由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。34 .求复数的模(绝对值)与复数z对应的向量 OZ的模叫做复数z a bi的模(也叫绝对值)记作 z或a bi o由模的定义可知：z a bi Va2 b235 .复数的加、减法运算及几何意义复数的加、减法法则：乙a bi与z2 c di ,则 zi z2 a c (b d)i。注：复数的加、减法运算也可以按向量 的加、减法来进行。复数的乘法法则：(a bi)(c di) ac bd ad bc i。a bi(abi)(c di)ac bdbc ad复数的除法法则：()-2一2九一2i其中c di叫做实数化因子c di(cdi)(