最新人教版八年级一次函数重点知识与典型例题

1、精品文档人教版八年级一次函数重点知识【基本要点】1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题：在匀速运动公式 s=vt中，v表示速度，t表示时间，s表示在时间t内所走的路程， 则变量是,常量是。在圆的周长公式 C=2兀r中，变量是 ,常量是2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。注：这是课本对于函数 的定义，在理解与实际运用中我们要注意以下几点：1、函数只能描述两个变量之间的关系，多一个少一个变量都是不对的；如：y=x

2、z中有三个变量，就不是函数； y=0中只有一个变量，也不是函数；而 y=0 (x>0)却是函数，因为括号中标明了自变量的取值范围；2、当自变量去每一个确定的值时因变量只能取唯一确定的值相对应，反之，当因变量取每 一个确定的值时自变量可以去若干个值相对应；因为这两个变量有先变与后变的问题， 让后变的先取一个值，先变的就不一定只取一个值；3、我们只能说函数值是自变量的函数，或用自变量来表示函数值，如：a是b的函数就说明a是函数值，b是自变量；用y表示x就说明y是自变量，x是函数值；任何函数都 要标明谁是谁的函数，不能随便说一个解析式是不是函数，如：Y=x 2 ,只能说y是x的函数，就不能说

3、x是y的函数；4、函数解析式的表示：只有函数值写在等号左边，含有自变量的式子写在等号右边；注意 不能写成2y=3x-3或y2=3x-3的形式；5、任何函数都包含自变量的取值范围，如果没指明说明自变量的取值范围是任意实数。自 变量的取值范围从以下几个方面把握：(1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数；(2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零；(3)关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；(4)关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；(5)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。例题：写出下列函数中自变量 x的取值范围y= J2 -x . y= j . y= V4-x2

4、 . y= x - 2Jx +2 - Vx -2.3、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.4、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。5、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值)；第二步：描点(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描 出表格中数值对应的各点)；第三步：连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用 平滑曲线连接起来)。6、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值

5、是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系， 但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。7、正比例函数及性质般地，形如y=kx(k是常数,kw0)的函数叫做正比例函数，其中 k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx (k不为零)k不为零x指数为1b取零精品文档当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，？直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小.(1)解析式：y=kx (k

6、是常数，kw 0)(2)必过点:(0, 0)、(1, k)(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，？图像经过二、四象限(4)增减性：k>0, y随x的增大而增大；k<0, y随x增大而减小倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴时，y随x的增大而增大例题：1、正比例函数 y = (3m+5)x,当m2、若y = x + 2 -3b是正比例函数，则 b的值是 ()A.0 B.- C. - D -3323、函数y=(k-1) x, y随x增大而减小，则k的范围是()A. k ： 0 B. k 1 C. k <1 D.4、东方超市鲜鸡蛋每个 0

7、.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数 x (个)之间的函数关系式是.平行四边形相邻的两边长为 x、y,周长是30,则y与x的函数关系式是.8、一次函数及性质一般地，形如y=kx + b（k,b是常数，kw0）,那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx+b 即y=kx ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数注：一次函数一般形式y=kx+b （k 不为零）k不为零 x指数为1b取任意实一次函数y=kx+b的图象是经过（0, b）和（-_, 0）两点的一条直线，我们称它为直k线y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0 时，向下

8、平移）（1）解析式：y=kx+b（k、b 是常数，k¥0）（2）必过点：（0, b）和（-B , 0）k（3）走向：k>0,图象经过第一、三象限；k<0,图象经过第二、四象限b>0,图象经过第一、二象限；b<0,图象经过第三、四象限k >0u直线经过第一、二、三象限b >0k>0u直线经过第一、三、四象限b <03k <0U直线经过第一、二、四象限b>0（4）增减性：k>0 , y随x的增大而增大;3k <0U直线经过第二、三、四象限b <0k<0, y随x增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越

9、接近于 y轴；|k|越小，图象越接近于 x轴.（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移 b个单位；当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移 b个单位.例题：1、若关于x的函数y=（n+1）xm是次函数，则 m=.2、函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）3、将直线 个单位,y=3x向下平移5个单位，得到直线 ;将直线y=-x-5向上平移5得到直线4、若直线y = x +a和直线y = x + b的交点坐标为（m,8）,则a+b =.5、已知函数y=3x+1,当自变量增加 m时，相应的函数值增加（）A. 3m+1B. 3mC. m

10、D. 3m-19、一次函数y=kx+b的图象的画法.根据几何知识： 经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0, b）, （- , 0）.即横坐标或纵坐标为 0的点.k例题：1、已知点P1 （x1, y1）、P2 （x2, y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且 y1>y2，则 x1 与 x2 的大小关系是（） A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D. 无法确定解：根据题意，知 k=3>0,且y1>y2。根据一次函

11、数的性质“当 k>0时，y随x的增大而增 大”，得x1>x2。故选Ao2、若m< 0, n > 0,则一次函数y=mx+n的图象不经过（）A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限D. 第四象限3、一次函数y=kx+b满足kb>0,且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解：由kb>0,知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以 k<0。所以b<0。故一次 函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选 A .10、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx+b的图象

12、是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位 长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.11、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0 （a, b为常数，aw 0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当 于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.12、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0 （a, b为常数，aw0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的

13、取值范围.13、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程 ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=-ax + £的b b图象相同（2）二元一次方程组1a1X +b1y =c1的解可以看作是两个一次函数y= _史x +c1和 a2 x + b2 y = c2b1b1a2C2y= -2x -2的图象交点.b2b2【考点指要】一次函数常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法；为方便大家计算以及分析题目，现介绍一些解题过程中可以运用的公式与性质，希望大

14、家能反复揣摩、理解、运用以期熟练地掌握，这样可以化繁为简！这里要强调 的是以下这些公式不要随便外传！切记！1、一次函数解析式的几种类型-x+by+c=0 一般式y=kx+b斜截式（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）y- yi=k（x- xj点斜式（k为直线斜率，（xi, yi）为该直线所过的一个点）x - x1 y - y1=-一-两点式（xi, yi）与（x2, y2）为直线上的两点）xi -x2 yi - y2二-乂 =0截距式（-、b分别为直线在x、y轴上的截距）-b2、求函数图像的k值： 土二至（%, yi）与（x2, Y2）为直线上的两点） yi -y23、求任意线段的

15、长：）（x1 -x2 2_y2 f （ （ 七 , yi）与（x2, y2）为直角坐标系任意两点）4、求任意两点所连线段的中点坐标：（xL*, yi y2）22那么 ki = k 2 , bwb25、若两条直线y =k ix+bi与y=k2 x+b2互相平行,6、若两条直线y =kx+b与y=k2x+b 2互相垂直，那么k x k2 =-i向下平移n个单位变成y=kx+b-n7、将y=kx+b向上平移 n个单位后变成 y=kx+b+n ;8、将y=kx+b向左平移n个单位后变成y=k （x+n） +b;将y=kx+b向右平移n个单位后变成 y=k （x-n ） +b （任何图像的平移都遵循上加

16、下减，左加右减的规则）9、若 y =k 1x+b 1 与 y=k2x+b 2 关于 x 轴对称，那么 k1 + k2=。、b1+b2 =010、若 y =k 1x+b 1 与 y=k 2 x+b 2 关于 y 轴对称，那么 k1+ k 2 =0、b1=b211、同理，y =k 1x与y=k2x关于平行、垂直、平移、对称也满足以上性质212、y=kx+b与坐标轴围成的三角形面积为 21kl13、y=kx （k 是常数，kw0）必过点：（0, 0）、（1, k）14、y=kx+b 必过点：（0, b）和（-b , 0）k【例题讲解】例题1 ：若y是x的一次函数，图像过点（3,2）,且与直线y =

17、4x + 6交于x轴上一点,求此函数的解析式。变式练习1：求满足下列条件的函数解析式：与直线 y = -2x平行且经过点（1,-1）的直线 的解析式；5 _、25例题2：已知直线y =kx+b经过（一,0），且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该24直线的表达式。变式练习2： 一次函数y =k1x 4与正比例函数y = k2x的图象都经过点（2,-1）,（1）分别求出这两个函数的表达式；（2）求这两个函数的图象与 x轴围成的三角形的面积。【巩固练习】1, 一次函数y= -2x+4的图象与x轴交点坐标是 ,与y轴交点坐标是 2,如图，一次函数图象经过点A,且与正比例函数 y=x的图象交于点B,则

18、该一次函数的表达式为()A. y=x+2b. y=x+2 C. y=x2 d. y = -x-23.已知一次函数 y = mx+|m+1的图象与y轴交于(0, 3),且y随x值的增大而增大， 则m的值为()A . 2 B . -4 C . -2 或-4D . 2 或-44,将直线y=2x向右平移2个单位所得的直线的解析式是()。A y = 2x+2R y=2x2C y=2(x2)DK y=2(x + 2)5,把直线 y =2x +1向下平移两个单位，再向右平移3个单位后所得直线的解析式是。6,若函数y=x-4与x轴交于点 A直线上有一点 M,若AOM勺面积为8,则点M的坐标7,已知直线y=kx

19、+b的图像经过点(2, 0), (4, 3), ( m , 6),求m的值。8,已知一次函数的图象经过点(2, 1)和(-1 , -3)(1)求此一次函数表达式；(2)求此一次函数与 x轴、y轴的交点坐标；(3)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积。9,已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1, -5),且与正比例函数y= x的图象相交于点(2,a), 求(1)a的值(2)k,b 的值(3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积.10,已知一次函数 y=kx+b的图象与x轴交于点 A (-6, 0),与y轴交于点B?, ?若4 AOBW 面积是12,且y随x的增大而减小，求这个一

20、次函数的关系式。一次函数提高练习1、已知m是整数，且一次函数y =(m+4)x + m+2的图象不过第二象限，则m 为.2、若直线y = x + a和直线y=x+b的交点坐标为(m,8),则a + b=.3、在同一直角坐标系内， 直线y= x+ 3与直线y = - 2x+ 3都经过点 4、当m满足 时，一次函数y= - 2x+ 2m- 5的图象与y轴交于负半轴.35、函数y =-x-1,如果y <0,那么x的取值范围是 .6、一个长120m,宽100m的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加xm ,宽增加ym ,则y与x的函数关系是 .自变量的取值范围是 .且y是x的 函 17、如图1

21、是函数y = -2x+5的一部分图像，(1)自变量x的取值范围是 ；(2) 当x取 时，y的最小值为 ； (3)在(1)中x的取值范围内， y随x的增大而.8、已知函数y= (k-1 ) x+k2-1 ,当k 时，它是一次函数，当 k=?时，它精品文档是正比例函数.x9、已知一次函数y=kx+b的图象经过点（-2,5）,且它与y轴的交点和直线 y = +3与y2轴的交点关于x轴对称，那么这个一次函数的解析式为 .10、一次函数y=kx+b的图象过点（m,1）和（1,m）两点，且m1fUk=, b的取值范围是.11、一次函数y =kx+b 1的图象如图2 ,则3b与2k的大小关系是时，y =kx

22、 +b _1是正比仞函数.12、b为 时，直线y=2x+b与直线y = 3x 4的交点在x轴上.13、已知直线y=4x-2与直线 y = 3m-x的交点在第三象限内，则 m的取值范围是.14、要使 y=（m-2）x n1+n是关于x的一次函数，n,m 应满足 ，.选择题1、图3中，表示一次函数y = mx+n与正比例函数 y = mx（m、n是常数，且m #0, n <0）的图象的是（）图3精品文档精品文档图7精品文档2、直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y =p'iy一、*t4-x、A.B.C图4bxk的图象只能是图4中的（）I1 米/一D.3、若直线y=k1x+1与y

23、=k2x4的交点在x轴上，那么A.4B.-4C.4k1等于 k2D.-44、直线px+qy+r =0 （ pq # 0）如图5,则下列条件正确的是（A.p =q,r =1 B. p = q,r =0C.p=-q r=1D.p = _q,r=05、直线 y=kx+b 经过点 A(-1,m),B(m,1)(m>1),则必有(A. k 0,b 0 B.k 0,b0 C.k . 0,b 0D.k . 0,b，一a _6、如果ab>0 , - <0 ,则直线y =cac_ ,- x 不通过(bbA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7、已知关于x的一次函数y=mx+2m-7在

24、一19x <5上的函数值总是正数，则m的取值范围是（）A. m 7B. m 1D.都不对8、如图6,两直线y1 = kx + b 和y2 = bx k一坐标系内图位置可能是9、已知一次函数y=2x+a与y=x+b的图像都经过 A(2,0),且与y轴分别交于点B, c ,则AABC的面积为()A. 4B. 5C. 6D. 7 10、已知直线y =kx+b(k # 0)与x轴的交点在x轴的正半轴，下列结论： k > 0,b >0 ；k >0,b <0 ；k <0,b>0 ；k<0,b <0 ,其中正确的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D

25、. 4个,b ca ca b一一一一、11、已知 = k(b>0,a + b + c=0),那么y = kx + b的图象一定不经过a b c ()A.第一象PMB.第二象限 C.第三象PMD.第四象限12、如图7, A、B两站相距42千米，甲骑自行车匀速行驶，由 A站经P处去B站，上午8 时，甲位于距 A站18千米处的P处，若再向前行驶 15分钟，使可到达距 A站22千米处.设 甲从P处出发x小时，距A站y千米，则y与x之间的关系可用图象表示为()解答题1、已知一次函数y = （6+3m）x+（n- 4）,求：（i）m为何值时，y随x的增 大而减小；（2）m, n分别为何值时，函数的图

26、象与 y轴的交点在x轴的下方？ （ 3）m,n分别 为何值时，函数的图象经过原点？ （ 4）当m = - 1,n= - 2时，设此一次函数与 X轴交 于A,与y轴交于B,试求 AOB 面积。2、（05年中山）某自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量收费办法，若某户居民应交水费 y （元）与用水量 x （吨）的函数关系如图所示。（1）写出y与x的函数关 系式；（2）若某户该月用水21吨，则应交水费多少元？精品文档3、果农黄大伯进城卖菠萝，他先按某一价格卖出了一部分菠萝后，把剩下的菠萝全部降价卖完，卖出的菠萝的吨数x 和他收入的钱数y （万元）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1 ）降

27、价前每千克菠萝的价格是多少元？ （2） 若降价后每千克菠萝的价格是1.6 元，他这次卖菠萝的总收入是2 万元，问他一共卖了多少吨菠萝？4、为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采取不同的收费方式，其中，所使用的“便民卡”与“如意卡”在玉溪市范围内每月（ 30 天）的通话时间 x （ min ）与通话费 y（元）的关系如图所示：（1）分别求出通话费yi （便民卡）、y2（如意卡）与通话时间x之间的函数关系式；（2）请帮用户计算，在一个月内使用哪一种卡便宜？精品文档40,30fS(3Q315)y (tc)40 .B5P35)2010；0 10 20 30 40%(min)(便民卡)5、气温随

28、着高度的增加而下降，下降的规律是从地面到高空11km处，每升高1 km,气温下降6c.高于11km时，气温几乎不再变化，设地面的气温为38C,高空中xkm的气温为yC.(1)当0W x< 11时，求y与x之间的关系式？ ( 2)求当x=2、5、8、11时，y的值。(3)求在离地面13 km的高空处、气温是多少度？ ( 4)当气温是一 16c时，问在离地面多高的地方？6、小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，？已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10?本以上，？从第11?本开始按标价的70%卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85烟.(2)写出甲、乙

29、两个商店中，收(1)小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱?款y （元）关于购买本数 x （本）（x>10）的关系式。（3）小明现有24元钱，最多可买多少 个本子？7、如图8,在直标系内，一次函数y =kx+b（kb >0,b <0）的图象分别与x轴、y轴和直线x=4相交于A、B、C三点，直线x =4与x轴交于点D,四边形 OBCD （。是坐标原点）的面积是10,若点A的横坐标是1，、人，一，一、,求这个一次函数解析式A=42图R8、一次函数y=kx+b,当k=b时，函数图象有何特征？请通过不同的取值得出结论?9、某油库有一大型储油罐，在开始的8分钟内，只开进油管，不开出油