无穷限广义积分的计算(1)

1、无穷限广义积分的计算陈雪静（宝鸡文理学院 数学系，陕西 宝鸡721013）摘 要：文章归纳总结了利用数学分析、复变函数、积分变换、概率论统 计理论等知识计算无穷限广义积分的几种方法.在学习中运用这几种方法可开拓 视野,激发学习数学的兴趣.关键词：广义积分;收敛;计算方法广义积分是高等数学学习中的一个难点知识，广义积分的概念不仅抽象，而且计算方法灵活，不易掌握.广义积分包括两大类，一类是积分区间无穷型的广 义积分，另一类是积分区间虽为有穷，但被积函数在该区间内含有有限个无穷型问 断点（瑕点）的广义积分.一般的判别法是对积分区间无穷型的广义积分，先将积 分限视为有限的积分区间按常义积分处理 彳寺积

2、分求出原函数后再考查其极限是 否存在，在用此极限去判定原积分是否收敛.对于第二类广义积分，我们可将积分 区间改动，使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理，求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否收敛.但是有些被积函数的原函 数不易求出或无法用初等函数表示，使得广义积分无法用常规方法计算，因此需寻 求其它的计算方法.本文主要研究无穷限广义积分的计算方法，主要方法包括利用 广义积分定义、参量积分、变量代换、二重积分、留数定理、级数展开、概率论 知识以及拉普拉斯变换等方法.1无穷限广义积分的定义定义1设函数”*）在区间0收）上连续,取1>2.如果极限 t 阿 af（x）

3、dx存在，则称此极限为函数f（x）在无穷区间a,）上的反常积分（也称作广义积分）指导教师：陈一虎作者简介：陈雪静（1986-）,女，陕西咸阳人，数学与应用数学专业2008级专升本1班.记作a f(x)dx,即a f (x)dx=tlim a f (x)dx;这时也称反常积分问a,也)上的反常积分18f(x)dx收敛;如果上述极限不存在，函数f(x)在无穷区 a"f (x)dx就没有意义，习惯上称为反常积分f*f (x)dx发 a- a散，这时记号f(x)dx不再表示数值了 .- a类似地，设函数”*)在区间(口,3上连续,取1札 如果极限btl* f(x)dx存在，则称此极限为函数f

4、(x)在无穷区间(g,b上的反常积分，记作b f(x)dx,即bbf(x)dx= lim f (x)dx;lj-.l这时也称反常积分jbf (x)dx收敛;如果上述极限不存在，就称反常积分 亡f(x)dx 发散.设函数f(x)在无穷区间(,)内连续，如果广义积分c一-f(x)dx和 J f (x)dx (c为常数)'.一二二c都收敛，则称上述两个反常积分之和为函数f (x)在无穷区间(,)内的广义积分，记作广f(x)dx,即 r、Cr、一 f(x)dx= _f(x)dx+ f (x)dx -cCt= tlim_ t f (x)dx + Jimc f (x)dx这时也称广义积分J丈f (

5、x)dx收敛;否则就称反常积分J丈f(x)dx发散.上述反常积分统称为积分区间为无穷区间的广义积分或无穷限广义积分.2无穷限广义积分的计算方法2.1利用广义积分的定义求无穷限广义积分由定义计算可以分两步A1求定积分f f (x)dx=F(A).需要说明的是原函数F(A)均指有限形式. aA2取极限理工f(x)dx=ALmF(川.例计算(1、,2 )dxxbb解=blim_1(1 )dx x1 1 x2b 1dx Gdxb二 blim2 a/的2；21=lim2arctan b - arctan1 - b j2b-12 2花=lim 2arctan b - - - limb j:.It1-T-2

6、22 br二 2b2.2利用含参量积分的理论求无穷限广义积分含参量积分:一si _x/ 一、F(s) = J0 x e dx ( s >0 )一1E(p,q) = J0xp (1-x)q dx ( p>0,q>0)统称为欧拉积分.其中(s)称为格马函数.B(p,q)称为贝塔函数.且有递推公式(s+1) = s(s)及 B(p,q) =q -1p q -1-(p,q -1).因此在计算广义积分时看所给广义积分当s, p, q为何值时对应的欧拉积分，然后用欧拉积分公式直接算出广义积分的值.52例Flue n 2Xdx(n为正整数)A2 n-1t 2e dt解此广义积分与表达式相似

7、，因此可用r函数法求解."2n -x2A 2n -x22 1° x e dx = Aim° x e dx t = x - li一1，二：n”t1111t e-dt = (n )=(n -) 1022221111133=-(n ) . (n ) = (n )(n).(n)2222222_1 3 5 7(2n -1)=2n*y7t、.、.1注：-()= 冗.22.3利用变量代换法求无穷限广义积分有些函数的原函数不易求出或直接积分不出来，但如果对被积函数施以变量 代换，在辅以一定的技巧就可以求出这类积分.作变量带换时，首先要对被积函数 的结构进行分析，然后再看积分限与被

8、积函数的关系.变换的方向是求出原函数或 求出一个含原积分的方程，从而求得所含广义积分的值.,、 二 1求 I= 4 dx0 1 x4dt解令x= 1，则I= ft二 dt,11 70,2，一，二二-dx上式加上1=F 1p1742I=F t20 1 t41-2dt=t-0 t21t21：d(t-7)1dt =.=.° (t -1)2 22tarctan,1(t _ ,)冗2.22.4利用二重积分理论计算无穷限广义积分.利用二重积分理论计算广义积分时，应分两步：1把广义积分巧妙的化为一个二重积分.2计算二重积分，从而间接的计算出广义积分的值例4 5计算广义积分:dx解由于ye&

9、2dx= f*e,2dy00x22x2二二 y2所以o e dx = ° e dx ° e dy22/ 22、 而e'dx % ey dy = |je_(x )dxdy 其中 口=0严)父0产)D,2故(-0 e* dx ) = JJ e,x * )dxdy 而 JJeDD4x22), “一冗 dxdy = 一了 4产2, Q0 e dx = Y例-计算广义积分I=10二 _px sin bx -sin ax ,edx)xb=cos(xy)dy a二4x sin bx -sin axe 1:. .二 qx, bdx= 0 e ( acos(xy)dy)dx :；：

10、b *b r、=p dx a ex cos(xy)dy= a dy o e_px cos(xy)dxp ,_, b x a-32 dy = arctan - - arctan 一.p yp p2.5积分号下求导法计算无穷限广义积分.收敛因子法：此方法是对被积函数引入一个收敛因子，因子中有一个参数，对参数（不一定是收敛因子中的参数）求导，有时可求得原积分的值.在此情况下引入的收敛因子加强了原积分的收敛性（如条件收敛的成为绝对收敛，或求导后发散的，变成一致收敛）.这样使积分号下求导条件得以满足.一般采用e上（k>0）作为收敛因子.例65求积分（二sin axs-dx (a -0) x解 引入

11、积分因子e"x （ p>0）作积分F（p）=f七二'-px sin ax , e dxexcosaxdx= 2-p-1p aa -aF(p)= arctan + C = arctan一(显然 C =I(0)=0)由此有l i m a r ctaan7tp d p 2所以故同样可得I=-2二sin ax花dx =- 一(a :二 0)22.6积分号下求积分法算无穷限广义积分这种方法是将被积函数中某一因子表为一个适当的积分.于是将原积分化成二次积分.交换这两个积分的顺序，就可求出所给的积分.例7 求积分I二(二cos x ,-rdx(0)1 1 x由1 x2ey sin y

12、dy，于是I二 0 cos ： xdx ° e*ysinydy= ° sin ydy o e*ycos：xdx二 y sin y 一 ：占比 sin -1 以2dy -2-d1)：2y2 101 t2dI 二xsin :x,七 dI .由二- Kx=-Id ：01 x2 d ：所以I =C e邛为了确定C,令P =0.广告=C 故1 =决邛2.7利用复变函数理论中的留数定理计算无穷限广义积分定理1 设函数f(z)在实轴上处处解析，在上半平面Im z > 0除有限个孤立奇点Z1,Z2Zn外处处解析，且存在常数®A0,MA0,6>0，使得当z A 

13、4; ,且MIm z >0 时，-f (z)| wg,则z-nJ f(x)dx = 2 心 Re$f(z),zJLZ.kF推论1 设f (z) =P1)是有理函数，P(z)与Q(z)为z的n,m次多项，多项式Q(z)的次数比P(z)至少高2次,Q(z)在实轴上没有零点，44zn是f(z)在上半平面Im z > 0的孤立奇点，则f(x)dx=2朴 Re$f(z),zJ-oOk=1计算广义积分,二Jq2 222(x a )(x-dx b2)因为f(z) =(z2 +a 2Kz 4b )2，显然f (z)满足推论的条件，且zi=ai, Z2=bi是f (z)在上半平面的孤立奇点，这两个点

14、都是f (z)的一级极点,因此有Res f (z), ai = lim( z - ai) t (z +a 2)(z +b )2-a222ai(b -a )2i(a2 -b2)同理 Res f(z),bi=2i(b2 - a2)2222二(x2 a2)(x2 b2)dx = 2 Ti 2i(a2 -b2) + 2i(b2 -a2)71a b2.8 级数展开法求广义积分一21一一 八一七4 v2例 9 求积分 I= 11G e cos2bxdx解利用余弦函数的幕级数展开以及指数函数的展开式nx . x- n _e 八一(2i )司 2n !Q21n=e n!我们有0%_x2x2 J (-1)n(2

15、b)2n 2n”:cos2bxdx= e- 、 x dx = x0 n 卫(2n)!n 卫("n(2b)2n ：e"dx(2n)!解由于Q0='、n 0(-1)n(2b)2n(2n -1)!(2n)!2 n 1右=E 丁山=区e22n山 n! 2计算广义积分ln x ,dx.x(1 一 x)二 In x1 x(1-x)二 1 dx=n 4 n-22而£工=故原式二n4n1 二解 因为f(x)=占e 2为标准的正态分布密度函数所以V 2冗66利用无穷级数计算广义积分也是常用的一种技巧.常有两种方法.其一是将被积函数展成级数以求积分 其二是将无穷区间上的广义积

16、分表示成级数的形式以求积分2.9 利用概率统计知识求无穷限广义积分计算广义积分I= 。二皿 sin bx-sin ax e"xdx.40f(x)dx= 1.00)x7'：'， 1-x-dx =1.所以1-1= e 206冗一 20 e 2dx =二.21e du =0.21x2.冗=v 花=2 222.10 用拉普拉斯变换求无穷限广义积分定义2 设f (t)在t之0上有定义,且积分F (s) = ( fe4dt ( s是复变参量)关 于某一范围内的s收敛，则由这个积分确定的函数 F(s) = ff (t)etdt称为函数 f(t)的拉普拉斯变换.并记做L f(t),即

17、Lf (t) = F(s)=rf (t)e%t ,其中的F(s)称为f(t)的像函数，f(t)称为F(s)的像原函数.定理2 5 (Laplace变换存在定理)设函数f (t)在t之0的任何有限区间内分段连续，并且当t T -时，f (t)的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数M >0,和so >0 ,使得在0,y上，f (t) WMes0t ,则在半平面Resso上，Lf (t)存在，且F(s)=Lf(t)是s的解析函数.其中注称为f(t)的增长指数.性质1(积分性质)若Lf(t) = F(p)恻Lff(t)dt=F ( p为复数) 0P(1)性质2口(终值性质)若Lf(t)

18、= F(p),且pF(p)的所有奇点全在p平面的部tiimf=Bm)p F(p)(2)性质3 若Lf (t) =F(p) ,F(p)在Rep>0上解析，且1Yf (t)dt收敛,则(-1)nlim Fn(p)存在，且 p >0(3)(-1“师 p("tnf 9d证明Lf(t) F (p)由微分性知Fn(p) = L( -t)nf (t)Lf f( D=(T)nFn(p)由性质1所以由性质2L ttnf(t)dt=30p呵小加:眄)F初特别的，n性质性质,二 n .nn0 t f( Dd=(-1) lpm0F (P) =0 时，有 ff (t)dt =lim F(p).(4

19、)4 F (象函数的积分性质)若 Lf(t) = F(p),且积分F(p)dp收敛IF曲.(5)设 Lf(t) = F(p)，且F(p)dp 与10Ldt皆收敛，则 t(6)证明(5)式，L平卜二F(P)dP p二 f(t) 0F(p)dp = .0出(4)式，0千出二眄/中=0 F(P)dP例 12，求 f(t) =sin t的拉普拉斯变换，并求积分二则dt. 0 t由定理2,因为|f(t), M1 e°,故在s的实部大于零上，拉普拉斯变换存在，_-stqtee sin tdt = 2ssin t fcos t =-21s s - 于是Lsin"t=M (在s的实部大于零

20、)那么L*=S2 1由命题4知sinLV= s '在利用命题5知1冗ds= 一 一 arctan ss1 2 * 12为 i n 口1, 冗dt =ds=.t 0 s2 - 12例13 6计算下列积分0二 3.1te sintdt由微分性质知，2s(s2 T)2但是另一方面当s=3时，即st .Lt si n 日 L t Si n dte- 3t0 te sintdt=_2s_ =且(s2-1)23-50致谢：本文在写作过程中得到陈一虎老师的指导.在此表示感谢!参考文献:1白水周.无穷限广义积分的几种有效解法J.开封大学学报，2000,14(1):49-50.2李绍成.论广义积分的计算J.绵阳农专学报：自然科学版，1996,13(2):65