高考三轮冲刺导数几何意义及其应用题型归纳

1、导数几何意义与函数性质【题型】一.导数的定义二.导数的几何意义三.导数几何意义与参数四.曲线上动点到直线距离的最值问题五.公切线问题六.导数几何意义与函数性质综合七.两条曲线上动点距离最值八.导数几何意义综合【方法规律总结】一.导数的定义例1已知直线l经过 1,0 , 0,1两点，且与曲线y f x切于点A 2,3 ,则 加 匚2一x一U-的 x 0x值为（）A.2B.1C. 1D. 2【解析】Q直线l经过 1,0 , 0,1两点，l : y x 1.直线与曲线y f x切于点A 2,3 ,可得曲线在x 2处的导数为：f,2）=1,f 2 x f 2所以f 2 lim 1 .故选：C.x 01

2、 ,则曲线y f x上的点1, f 1处的D. 2. f 1 f 1 2 x练习1.设f x存在导函数且满足lim x 02 x切线的斜率为（）A. -1B. -2C. 1x在点1, f 1处的切线的斜率为 f' 1f 1 lim x 01 2 x 1，故选A.练习2.已知函数f(x)在x x0处可导，若lim f(x0 3 x)一31 1,则f (x0) x 0x1A. 1B.-3C. 3D. 0fx03x f x0f x0 3 x f x03f' x0解析由已知可得lim -0 3 lim 0x 0xx 03 x1.所以f x0.故选B.3二.导数的几何意义例2.曲线y1A

3、 .12e【答案】Da 一xe在点1, e处的切线与直线 ax + by+c = 0垂直，则一的值为（ b2B. 一 e2 c.一 e1D.2e【解析】曲线y xex,则 y ex xex，则 y x 1 2e.曲线在点1,e处的切线与直线 ax+by+c = 0垂直,a 1 . , b 2ea 1 一 一. b 2e故选：D.2练习1.己知曲线y x 2x 2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是（A. 1,3B,1, 3C,2, 3D,2,3【答案】B【解析】y x2 2x 2的导数为y 2x 2,设M m,n ,则在点M的切线斜率为2m 2,由于在点M处的切线与x轴平行，则2m 2 0

4、,解得m 1,所以n 1 2 23,即有M 1, 31练习2.如果曲线yx4 x在点P处的切线垂直于直线y x,那么点P的坐标为（）3A. (1,0)B.(0,1)C. (0,1)D. ( 1,0)【解析】设点P(a,b),则 b由题得f （x）因为曲线y1x在点P处的切线垂直于直线 y -x, 3所以4a3 13,所以a=1.所以b=1410,所以点P的坐标为（1,0）.练习3.已知曲线f (x) 1 x3 1x2325在点（1,f（1）处的切线的倾斜角为，则cos 2sin 2B.【解析】因为f(x)351 2 x2C.D.则切线的斜率tan2;又因为一cos22sin 2 cos2 co

5、s2sin cos.2sin2 costan22tan 14 1三.导数几何意义与参数例3.函数f3ln xx2 bx0,aR的图像在点b, fb 处的切线斜率的最小值是由题则函数B.2.3C.D. 272所以练习1.A. 22x b2x2bx 3的图像在点b, f b32出，当且仅当bb的最小值为2,.3，即 kmin直线y kx由题意，直线则点（1,4）满足直线y处的切线斜率为k f b_ 22_2bb 3 bb2与曲线yB. - 13一，即bb3x 2axy kx 2与曲线ykx 2，代入可得4b相切于点（1,4）,则4a b的值为C. 1D. 2x3 2ax b相切于点(1,4),3

6、2 一又由曲线f xx 2ax b,则f x 3x 2a,213所以f 13 122a 2,解得a 万，即f xx3 x b,3把点(1,4)代入f x x x b,可得4 13 1 b,解答b 4,1 一 一所以4ab 4(-)4 2 ,故选A.2练习2.函数f (x)ln x ax在x 2处的切线与直线 ax y 10平行，则实数a1A.1B.-41【斛析】Q f (x) - a ,x2j 1f (2) a a a21一.故选：B.4D. 1练习3.已知函数f(x)2x xlnx,x 02 3，若方程f(x)x2 -x,x 02kx 1有四个不相等的实根，则实数k的取值范围是(A .(1,

7、1)31B. (3,2)1 4、C- (2,5)2x xln x, x 0【解析】作出f(x)2 3的图象如图所示,x x, x 02f x的图象与直线y kx 1有四个交点,方程f(x) kx 1有四个不相等的实根，等价于函数其临界位置为y kx 1和两段曲线相切时,23当直线y kx 1与函数f x x2 ?x相切时，联立 y x 2x得2x22k 3 x 2 0,2y kx 1m 2，1 一 7由V 4k 12k 7 0,解得k 或k (由图可得舍负)22当直线y kx 1与函数f x 2x xln x相切时,设切点坐标为 Xo,2Xo Xo lnx0 , f x 1 lnx,切线的斜率

8、为：k 1 ln x0 ,切线方程为 y 2xo Xolnxo11nx0 x Xo ,由于切线y kX 1恒过0,1 ,代入可得Xo 1,可得：k 1,1即由图知函数f x的图象与直线y kx 1有四个交点时，实数 k的取值范围是-k 1 ,故选：d.练习4.已知函数f（x）1,x2x,xA. 0.2B. 1, 20,右f(x) -mx>Q则头数m的取值范围是（C. ln3, 2D. ln2, 2【解析】如图所示：画出函数 f x的图像.当 x 0时，f ' x 2x 2,故 f'02；当x 0时，f '四.曲线上动点到直线距离的最值问题x1 lnL 故22ln2

9、；根据图像知:m ln2,2 .例4.设曲线f x 4ln x在点1,0处的切线上有一动点P ,曲线g x3x2 2ln x.上有一点Q ,则线段PQ长度的最小值为（17 A.17B.C.Q f 10, f4x y4 0 .又 g x17切线斜率6xx2人八一，令 6x x在1,3处的切线方程为4x y3.1717D.4x1717f x在1,0处的切线方程为4,（舍去）.又g 13,故g (x)1 0 ,与直线4x0平行,这两条平行线间的距离为d23.1717练习1.已知点P在曲线y 2xX11 lnx上，点Q在直线y 3x 2上，则|PQ|的最小值为()B. 1C同C10A.叵13【解析】函

10、数y 2x2 ln x的定义域为(0,),y4x人.11 .令4x - 3,可得x 1, x -(舍去)X4所以切点为(1,2),它到直线y 3x 2的距离|32 2| _J0即点P到直线y,10103x 2的距离的最小值为 邈则|PQ|的最小值为10五.公切线问题例5.函数f (x) mxln xx 1与g(x) x2 1有公切线yax,( a0),则实数m的值为()A. 4B. 2C. 1【解析】设公切线ax,( a0)与两个函数f (x)ln xmx与g(x) x2 1图象的切点分别为A x1, y1 和B x2,1f (x) 一(x)g(x2) 2x2可得y2x2ax22 X2y2解得

11、a 2,所f (Xi)Xim以有f(X)mxLx1 1y1.，一 2化简得2x1X1ln x12x21nxi X 0 ,Viax1 2x1,14x - 1 3 0恒成立, x即得函数2x2In x 1 x0在定义域上为增函数，又0,则可解得方程2x2X1ln x110,、1则由f (1)-练习1.已知函数f(x) aex (a0)与 g(x)2x2m (m 0)的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数 m变化时，实数a的取值范围为(B.4C.0,eD.【解析】设切点为A Xo，y0xo aexo ae2x24xo,4Xo由 m 2x2 4xox02.由上可知a令 h(x)4xx

12、e因为X2 ,所以h (x)练习2.已知函数f (x)4(1 x)xe4(1 x)xe1 21-x -x420,m, 4 e, 口整理得4xd, ,、 4x 小h(x) 7 在(2,e(x 0), g(x)Xo2x20,0,m,)上单调递减，所以0ln x( x 0),其中 a点A(x , f (xi)处的切线与g(x)的图象在点A. ( 1 ln2,C. ( 1 ln 2,【解析】f (x)1-x 2f '(x)故切线方程为:12x1xig(x) lnx,故1g'(x)一,切线方程为: x11故二 x1 二2212x1xi化简整理得到:124x1ln12 x1ln故函数在1.

13、0上单调递减，故练习3.若函数f x lnx 08 h(x) eR ,若f(x)的图象在B(x2,g(x2)处的切线重合，则 a的取值范围是()B. (ln 2,D. ( ln 2,1 24X11；x1,xi12 x11；x2lnx2x2；12x1x2又2ln x2 ,g'ln2,当 x1与函数g x12x10,1 时，g x，故 a ln 2.2x a有两条公切线，则实数a的取值氾围是()B.In 2D.In 2【解析】设公切线与函数ln x的图象切于点A x1,lnXi因为f x In x ,所以A xjnx处斜线的斜率kif (Xi)xi所以切线方程为In x1设公切线与函数xi

14、a的图象切于点B因为g x xa,所以x 2x ,所以在x>, x2 a处点斜线的斜率k2所以切线方程为2x22x2 x x2 ,2x2所以有 xi ln xi i因为0xii,所以2x2令tx2i 2,令 h(t)所以h t所以函数2乂2xix2In 2x2x； i,i 口2,得t-2t ln2t t上为减函数，在2In xx i与函数gi ln2Intt2i,所以h t_ 22t2 it上为增函数.a有两条公切线,3.一,所以 a ln 724i 32, 4六.导数几何意义与函数性质综合例6.已知函数N琦=r3 + ax3 +占r的图象的对称中心为（Hl）, MW的图象在点处的切线过

15、点 GL7),则& =A. iB. 2C. 3D. 4【解析】:函数= x4 +在三+卜工4 r的图象的对称中心为（01）,.炉（一。十式。=2即 =2'即工,得仁;工/(x)=小+为工+1片幻=3jt3 +&,又T/（幻的图象在点L/K1）处的切线过点Q,7）,解得b = 1,故选A.练习1.已知A,B是函数f x2 x xxln xa,xa, x0图像上不同的两点，若曲线 y0f x在点A, B处的切线重合，则实数 a的最小值是1B. 一2D. 1【解析】当2x 0 时，f x xx 2x 1；当 x 0 时，f xxln x aIn x 1.设 A x1, f x

16、1,B乂2, f 乂2为函数图像上的两点,。或 0 x1 x2 时，f ' x1f x在A处的切线方程为yx2x在B处的切线方程为yx2 In x2ln x 1 2xi 12x2 a a Xi12,整理得a 2 Xi则g' x2xx e ,g x1 2e2x ,则当1.1, ln 一时，g' x2 2的最大值为,0练习2.已知函数x-7, x f(x)ex2x值范围是（f ' x2x1ae2x1由g'',不符合题意，故0 x2.2x1 1 x x1 ；In x2x1上单调递减，则1 x x2 .由两切线重合可知,、12 2x.不妨设g x - x

17、 e可得x11In 一2 20右函数g (x) f (x) 2x, x 0k(x一）在R上零点最多，则实数 k的取 233A . (0,3e)B- ( 专0)1C. ( 7,0)2 . e1D . (0, y=) 2 . e【解析】由图知 y ”*)与丫 k(x1、一 人，一254个公共点即可,0,k切，当设切点X0,y0k则 e1k(X0 -)2XoX0ex012i2,ek (0,.故选：D.练习3.设函数f Xasin x bcos x0在区间一,一上单调，且6 2，当x 一时，f12x取到最大值4,若将函数f x的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g X的图象，则函数yg XD.

18、 7B. 5C.【解析】设a2 b2 sinT 1 2，即 02 23,'- a2b2 sin x的一条对称轴,12a2b2 sin x的一个对称中心,由于03,所以x 乙与 一，0为同一周期里相邻的对称轴和对称中心, 1237 22则T 4 ,2 ,又工b2 4,且 f 一 asin bcos,123a b 4121212解之得a 2, b 2必.故 f x 2sin 2x 2 3cos2x 4sin 2x,由图象变换可得，g x4sin x因为g x 4sin x 在一,0处的切线斜率为g33.所以x 右侧g x图象较缓，如图所示, 33一,0处切线斜率不存在，即切线方程为 3练习

19、4.已知函数f(x)2xe 1,x 0,2x 2x 2, x若| f (x)| mx恒成立，则实数 0,m的取值范围为(A.2 2 亚,2B.2 2夜1C.2 2g,eD. 2 2>/e,e【解析】作出函数| f (x) |的图象如图所示;当 x 0叱令 x2 2x 2 mx,即 x2 (2 m)x 2 0,令0,即(2 m)2 8 0,解得 m 2 272 ,结合图象可知，m 2 2.2 >当 x 0时，令 e2x 1 mx,则此时 f (x) e2x 1, h(x) mx 相切,2x0设切点,产1 ,则7 1”解得m 2,2 22,22e2x0 m,观察可知，实数 m的取值范围

20、为七.两条曲线上动点距离最值例7.设函数f x2cc sin x在0, 上最小的零点为X0,曲线y f x在点 小,0处的切线上有lnx上有一点Q ,则PQ的最小值为（A痣10B.亚5C.3,510D.255【解析】令，则x k ,最小为Xo 1 .因为f x2cosx,所以曲线yf x在点1,0处的切线斜率为f1 2cos2,则切线方程为y 2x 2,3x2 lnx 2x22,0,h x在x 1处取最小值h0,所以0恒成立，所以直线2x 2与曲线y gx没有交点.（舍去），13x 一x则PQ的最小值为点1,-到直线22x2的距离所以d2 3 2222173 ,5.10练习1.已知实数a,b,

21、c,d满足的最小值为（）Ae2 1B _e=C e_JA B . / 2 C 2e - e 1 eD.2 e2 e1【解析】由题，得a lnb,c d e1,设（b,a）是曲线C:y lnx的点，（d,c）是直线l:y1的点,22a c b d 可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方,11对y lnx求导得y一,令y,得x e,xe所以曲线C上的点(e,1)到直线l的距离最小,因此(a c)2(b练习2.若X ,【解析】(a2)2该点到直线l的距离为d )2的最小值为b为任意实数，且B. 18e1=e2(a 2)22e2 .1 e(b 3)21,则(x a)2 (lnx b)2 的最小值

22、为()c. 342 1D. 19 6我(b 3)2 1 ,可得a,b在 2,3为圆心,1为半径的圆上,222 .(x a) (In X b)表布点 a,b与点x,ln x的距离的平万，又x,ln x在曲线y lnx上，设曲线y lnx上一点为 m,ln m设过点 m,ln m的切线与点 m,ln m与 2,3的连线垂直,ln m 3 12可信1 ，即有ln m m 2m 3,2由f m =lnm m 2m在m 0递增，且f 13,可得切点为 1,0 ,圆心与切点的距离为d , (1 2)2 (0 3)23 2,-2一可得(x a) (ln x b)的最小值为 3& 119 6J2,22

23、xix y V2 ，则(练习3.已知ln x1x1y1 20 , x2 2y2D. M的最小值为一52y V2的最小值可转化为函数yln x x 2图象上的点与直线A. M的最小值为58C. M的最小值为一5【解析】由题意，Mj 4B. M的取小值为一5x 2y 4 2ln 2 0上的点的距离的最小值的平方1 ,y ln x x 2 ,得 y - 1 , x1与直线x 2y 4 2ln 2 0平行的直线斜率为人11-一令一1,解得x 2,所以切点的坐标为2,ln2x2切点到直线x 2y 4 2ln 2 0的距离d 1 21n j 4 21n 2适1 45224即M X X2y1 y2的最小值为

24、一.52222练习4.若x,a,b均为任意实数，且a 2 b 31,则x a 1nx b的最小值为（）a. 372B. 18C. 372 1D. 19 6/2【解析】由题意可得，其结果应为曲线y 1nx上的点与以C 2,3为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线y 1nx上的点与圆心 C 2,3的距离的最小值，在曲线 y 1nx上取一点11nm 3 1.M m,1nm，曲线有y 1nx在点M处的切线的斜率为 k'一,从而有kcM k' 1,即1,mm 2 m整理得1nm m2 2m 3 0,解得m 1,所以点1,0满足条件，其到圆心 C 2,3的距离为d J 2 1 2_3 0 2 3J2,故其结果为 3五 1 2 19 672 ,练习5.设点P在曲线y 2ex上，点Q在曲线上 =Ln k-Iu二上，则 Q的最小值为（）A . 1 1n2b. V2 11n 2 c. 2（1 Mu 2） d. V2 11n 2【解析】因为曲线y 2ex与曲线）1=ln工-M 2互为反函数，其图象关于直线y x对称，故可先求点p到直线y x的最近距离，