高三导数压轴题题型归纳

1、导数压轴题题型1.高考命题回顾例1已知函数f(x) =eXln(x+m). (2013全国新课标II卷)(1)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性；(2)当 m0.解 f(x) =exln(jv+z?)/ (x)=e*(0) =e=0卬=1,x+m。十卬1 d v-4- 1 1定义域为xx 1, f U)=eT. X十卬X十JL显然f(x)在(-1,0上单调递减，在0, +8)上单调递增.(2)证明 g(x) =e,一 ln(x+2),则 g(x)=e，4(x 2).x十2h(x)=g (x)=ex三(x-2)6 (x)=e“H-工0，x+2x十 2所以Mx)是增函数，从x

2、)=o至多只有一个实数根，又 g (_J)=4=_Jo, S (0)=1-10,4 ye 3/2(1 所以4x)=g(x)=0的唯一实根在区间一5, 0内，设 (x) =0 的根为，则有(?) =er-二=。(一)K0， r I / i 乙 /所以，e t + 2 e f C I 乙当 t)时,g (x) )=0, g(x)单调递增；1 1+ j-所以 g(x)=g( t) =e -In(t+ 2) = ) + t= 0, v i 乙C I 乙当卬-x1 +ax+b,求(a +1)的最大值。 2 f(x)=/(0) + 白2 =八幻=/W-1_/(O) + X令 x = l 得：/(0) =

3、1得：J (x)- + x2 = g(x) = fx = ex - + x2gx) = +1 0 = y = g(x)在 X e R 上单调递增得：/(a)的解析式为/(x) = e -x + ；x2 乙且单调递增区间为。y)，单调递减区间为(-8,0)(2) f(x)x2+ax+b h(x) =，一 (a + l)x N 0 得 (x) = e* (a +1)当“ + l0 =)，=力(幻在工/?上单调递增x -GO 时，(x) -O0 与 h(x) 0 矛盾当a +1 0时，(x) 0xln(a +0xQ令 F(x) = x2-x2 In x(x 0)；则 Fx) = x(l-2Inx)当

4、X = 4时，当 =ye-,b = e时,(a+ 1)6的最大值为 2例3已知函数/*)= 以 + ,曲线)，= /*)在点(1J)处的切线方程为x + 2v-3 = 0。 X + 1 X(2011全国新课标)(I )求a、。的值；(II)如果当且“Ml时，/- + -,求攵的取值范围。 x-1 Xa(上Tnx) ,1解(I) fx) = 一一；由于直线x + 2)，-3 = 0的斜率为-，(x + 1厂厂2/=1, e=1,且过点(1,1)，故，r 1即41解得4 = 1, b = l o/=一二， 二 一 b = 一 二,(H)由(I )知f(x) =l + ,，所以 X+l X/一挥勺=

5、占皿考虑函数/?*) = 2Inx+(1儿二7)(x0),则/?(x)=(J) +)+ 2” Xr设攵。，由力,(幻=、+” =( 7匚知,当1时，hx)0, h(x)递减。而力=0当乂 ( 1, +oO )时，h(X)01-x2从而当x0,且xw 1 H寸，f (x)-In x k、八 口“ 八 / 、Inx k+-)0,即 f (x) +-x -1 Xx -1 X故当 a e (。, 1)时，h(x) 0 ,可得一二 /?(x) 0 ； 一片(ii)设00,对称轴 x 二一!一1 当 xe(l, !)时，(kT) (x:+l) +2x0, T-kl-k* 11故h (x) 0,而 h (1

6、)=0,故当 xw (1, )时，h (x) 0,可得-h (x) 0=h (x) 0,而 h (1) =0,故当xe (1, +oo )时，h (x) 0,可得一二 h (x)0,与题设矛盾。1-x2综合得，k的取值范围为(-s, 0例 4 已知函数 f (x) = (x+Bx+ax+b)e (2009 宁夏、海南)(1)若a=b=3,求f(x)的单调区间；若f(x)在(-8, a),P)单调增加，在(a,2), (B,+8)单调减少，证明P - a 6.解：(1)当 a=b=-3 时,f (x) = (x3+3x2-3x-3)e-x, 114f (x) = (x3+3x23x3) e +(

7、3x:+6x 3)e =e (x39x) = x(x3) (x+3) e s.当 xV3 或 0VxV3 时,f (x)0;当一3VxV0 或 x3 时,f (x) 0.从而f(x)在(-8, -3), (0, 3)单调增加，在(一3, 0), (3,+8)单调减少.(2)f (x) = (x3+3x2+ax+b) e +(3x2+6x+a) e x = e x2+ (a 6) x+b a .由条件得 f (2) =0,即 2s+2 (a-6) +b-a=0,b=4-a.从而 f (x)=-ef V+(a-6)x+42a.因为 f (a)=f (B)=0,所以 x、(a6)x+4 2a= (x

8、 2) (xa ) (xB ) = (x 2) x( a + B )x+a P .将右边展开，与左边比较系数，得a+B=-2, a 0=a 2.故一一2 = J(/7 + a)2钻尸=J12 - 4”.又(B 2) (a 2) V0,即 a 0 2 ( a +。)+4 V0.由此可得 a6.2.在解题中常用的有关结论(1)曲线y = /(x)在x =q处的切线的斜率等于/(%),且切线方程为y = fW（x-xQ）+f（xQ）o若可导函数y = /（x）在x = /处取得极值，则:（%） = 0。反之，不成 立。对于可导函数/（X）,不等式/V）0（0）的解集决定函数/（X）的递增 （减）区间

9、。（4）函数/在区间I上递增（减）的充要条件是：Vxe/（工）20住。）恒 成立（广（x）不恒为0）.（5）函数/*）（非常量函数）在区间I上不单调等价于/*）在区间I上有极 值，则可等价转化为方程/（x） =。在区间I上有实根且为非二重根。（若 /*）为二次函数且I二R,则有（）。（6） /（X）在区间I上无极值等价于/*）在区间在上是单调函数，进而得到尸（为之0或广（工）0在I上恒成立若Vxw/ , /（X）0恒成立，则/（A-）min 0；若Eve / , f（x） 0恒成立, 则（8）若 m ,使得则/（，”。；若三 /，使得/（X。）V0,(9)设与g(x)的定义域的交集为D,若Vx

10、WD /(x)g(x)恒成立，则有fM-sMmn0.(10)若对 V X /、，”X)8(工2)恒成立，则/(X)ming(X)max若对 VX/，3 X2el2f 使得/(X)g(X2)，则/(min g(X)min若对 VX/，3 X2 e/2，使得/(X)Vg*2)，则/(X)maxg(X)maL(11)已知/W在区间L上的值域为A, , g(x)在区间上值域为B,若对V%/1,三马七八，使得/(再)二g()成立，则(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程/(x) = O有两个不等实根须、，且极大值大于0,极小值小于0.(13)证题中常用的不等式：XX 1lnx0) W In (x+

11、D -l)ex l + x(4) e ) 之 1 xInx x 1 / 八 rD x+12 In x 11 z八、 i )3.题型归纳 （构造函数，最值定位）（分类讨论，区间划分）（极值比较）（零点存在性定理应用） （二阶导转换）例1 （切线）设函数（1）当。=1时,求函数以外=（2在区间上的最小值;（2）当。时，曲线广八力在点PG（阳）而处的切线为L /与轴交于点 4%2,）求证：例2 （最值问题，两边分求）已知函数/（x） = lnx-仆+上工-1 （oeR）. X当时，讨论了（X）的单调性；设g（x） = xJ2+ 4.当4 =1时，若对任意不（0，存在el,2,使内）g（）,求实数一取

12、值范围.例3 （切线交点）已知函数x） = a?+加3x（awR）在点（1J。）处的切线方程为y + 2 = 0.求函数“X）的解析式；若对于区间卜2,2上任意两个自变量的值对都有|/（5）-/（七）归。，求实数C的最小值:若过点M（2,i）（/工2）可作曲线），= /（/）的三条切线，求实数?的取值范围.3/（X）= 111（2+ 3幻一二 /例4 （综合应用）已知函数-2求f（x）在0,1上的极值；不等式 I tt-lnxl +ln/（x） + 3x 0若对任意6 3成立，求实数a的取值范围；若关于x的方程/（）= -2 +匕在0, 1上恰有两个不同的实根，求实数6的取值范 围.（p（x）

13、=例5 （变形构造法）已知函数x + 1, a为正常数.=9若Mln*）,且广5,求函数”刈的单调增区间;（2）在中当“=。时，函数尸八外的图象上任意不同的两点8a2，%）,线段A3的中点为08。），记直线AB的斜率为试证明：八/）.8（）一仪8）.若g（%）= |lnx| + 9（x）,且对任意的修，与日2产%，都有 必一修 ，求且 的取值范围.例6 （高次处理证明不等式、取对数技巧）已知函数八幻二/皿G）90）（1）若/（）&/对任意的x。恒成立，求实数”的取值范围;（%） = XA,Xy e（-+X 1J t 4（2）当“ =1时，设函数 x ,若 一 e -,求证再匕区+/）例7 （绝

14、对值处理）已知函数/。） = /+/+/* + c的图象经过坐标原点，且在x = l处取得 极大值.（I）求实数。的取值范围；（II）若方程/（） = -坦宁恰好有两个不同的根，求人幻的解析式；（III）对于（II）中的函数/。），对任意a、/3eR,求证：l/（2sina）-/（2sin月）K81.例8 （等价变形）已知函数= l-lnx（aeR）.（I）讨论函数/。）在定义域内的极值点的个数：（II ）若函数/（X）在x = l处取得极值，对Vxe （。,+8）, /（x）之以-2恒成立，求实数的取值范围；（III）当0cx），且xwe时，试比较上与上2的大小.x 1 - In x例10

15、(整体把握，贯穿全题)已知函数)=叱-1.X(1)试判断函数f(x)的单调性；(2)设心0,求/(X)在加上的最大值；(3)试证明：对任意”N*,不等式皿臼)， 旧都成立(其中e是自然对数的底数).n n(ill)证明：.6 a2 cin n +1例11(数学归纳法)已知函数/(x) = ln(x + l) + z,当x = 0时，函数/W取得极大值.(1)求实数用的值；(2)已知结论：若函数/(x) = ln(x + l) + z在区间(,/?)内导数都存在，且”一1,则存在xe(4。)，使得广“。)=山型.试用这个结论证明：若-1玉, b-a函数 g (X) = /()二 0(X 内)+

16、/(A-),则对任意 x e 区,x,),都有 /(x) g(x)；(3)已知正数4,4,，4，满足4+4+ 4=1，求证：当之2, 时，对任意大于-1,且互不相等的实数不小,，天，都有/(4万 +-%2 +4/) 4/(工1)+4/(七)_|例12 (分离变量)已知函数/)=1+alnx(a为实常数).(1)若。=-2,求证：函数在(1,+8)上是增函数;(2)求函数A)在1, e上的最小值及相应的x值；(3)若存在xe【10,使得x)m + 2)x成立，求实数a的取值范围.例13 (先猜后证技巧)已知函数/ A(1)求函数F (x)的定义域(II )确定函数f (x)在定义域上的单调性，并

17、证明你的结论.(III)若x0时恒成立，求正整数如勺最大值. x+l例 14 (创新题型)设函数 f (x)=e+sinx, g(x)=ax, F(x)=f (x) g(x).(I )若x=0是F(x)的极值点，求a的值；(II)当 a=l 时,设 P (x：, f(X：),Q(x2, g(x =) (Xi0, x20), 且PQ g(x) = ax2 -2ax + l + b(a 0,b0 x e -1,1 k 2/(I2一11) + %( 3) = 0、,k /(x) = -+ a、b e R x = a j(x) t/ = 0 b aN，如 x3 f(x)b A e R Xp x29 x

18、v x4 %,% ，；，i2 4，乙 123,4 x4 /(x) = lnxg(x) = L./+以(a HO)若a = -2,函数6(x) =/(x)-g(x)在其定义域是增函数，求b 2的取值范围；(2)在的结论下，设函数p(x) =e2x+be xe 0, ln2,求函数(x)的最小值；(3)设函数/(x)的图象Q与函数g(x)的图象G交于点P、Q,过线段PQ的中点R作x轴 的垂线分别交a、a于点m、n,问是否存在点r,使a在m处的切线与a在n处 的切线平行若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.V例18 (全综合应用)已知函数/(x) = l + ln (0vxv2).2-x(1

19、)是否存在点方)，使得函数y = /(x)的图像上任意一点尸关于点必对称的点。也 在函数y = /(x)的图像上若存在,求出点物的坐标;若不存在,请说明理由；2/1-1 :1 oOn 1(2)定义 Sn = /() = /(-) + f (-) + + /()，其中 e N，求 52013; n nn(3)在的条件下,令S“ +1 = 2% ,若不等式2% 尸 1对V” w N且 2 2恒成立，求 实数机的取值范围.导数与三角函数综合例19 (换元替代，消除三角)设函数一尸(xeR),其中eR.(I )当 =1时，求曲线 = /)在点/)处的切线方程；(II)当时，求函数“幻的极大值和极小值；

20、(川)当3,攵式-1,0时，若不等式/一8$冷2/(y_8$。)对任意的工1i恒 成立，求攵的值。创新问题积累例20已知函数/(幻=瓜二+ .x-4 4I、求/*)的极值.II、求证/(X)的图象是中心对称图形.III、设/（X）的定义域为。，是否存在,可。.当xe,向时: /的取值范围是3 )44若存在，求实数”、的值：若不存在，说明理由导数压轴题题型归纳参考答案3，一走例解：4 = 1时，由*）= 3i1 = 0,解得3 ./的变化情况如下表:010+0极小值/0声 2出所以当,一不时，以、）有最小值*7 一 丁.证明：曲线-v = /在点尸（巧，2叶一 ）处的切线斜率卜=/5）= 2占曲

21、线 = /）在点P处的切线方程为-（2- ）= 2x6 -匹）.X, = X2 = 71=令y = 0,得-2七 一.-2x,2修a-xj 八-, 2ai ,即与 必 石.例2( 1) /*) = In x-ov + X 1 (x 0),(x) = 1 _q + 匕=二二+-1 慎 0) AX 厂厂令 /?(%) = ax1 - x +1 - a(x 0)当。=。时，/U) = -A + l(X0),当X(0)J心)0J(X)0,函数/(幻单调递减；当X (l,+oO),/7(A) 0 ,函数/(X)单调递增.当。工0时，由/W =。，即ax2-x+l-a = 0,解得占=1,左=,一1. a

22、当” 时内=，万*注0恒成立，此时广(x)0,函数x)单调递减： 乙当 0。10, xe(o,l)时力(x)0，r(x)。，函数/6)单调递减； 2 aX(1,_L 1)时，力(x)0,函数/(t)单调递增； al,xo)时，/?(x)0，r(x)0,函数/(X)单调递减. a当。0时！一1O，r(x)vO,函数/G)单调递减； a当 xe (l,+oo),A(x) 0 ,函数x)单调递增.综上所述：当时，函数在(。)单调递减，)单调递增；当=；时玉=,马，万)NO恒成立，此时广(x)40,函数幻在(0,y)单调递减；当Ov。与（X）矛盾；当 el,2时，g*）min=g =4也与（派）矛盾；

23、117当2 时，U）min=（2） = 8-4/7-. Z o17综上，实数的取值范围是9,+8）. 8例 3 解：（D/（x） = 3o2 +2bx-3 .根据题意,得即2+-3 = -2,解得不=1所以刈=丁_3%. /=0,3a + 2-3 = 0,b = 07令r（x） = 0，即3/3 = 0. Wx = l .12+增极大值减极小值增则g(0)0 即6 + ?0，解得g(2)2-2 + in 0例4解：/=- 3,-3(： 1)(? - 1), 2 + 3x3x + 2令尸(x) = 0得x = 1或x = -l (舍去)当0 X 0,/(x)单调递增；当：v X 1 时，八x)

24、0 得 a In x In -或a /?(x)或a 0 ,3x (2+ 3x)2x(2 + 3x)一/、31 ,、2 + 6x 八h (x) =-(2 + 6x) = 0 ,2x + 3x 321 + 3厂g)与力(x)都在占上单增，要使不等式成立, o 3当且仅当a 4(1)或 Ini或“ 0*于是夕(x)在。?上递增;x e * J再寸，9(x) (0)() 。，/(x) = 21+ 即8(x)=。在05恰有两个不同实根等价于mn 八、1 Q 厂+(2 4)1 + 1例5解：/暇)=二曰=l尸Q11ea=-,令/()。得x2或0x 演，要比较与/(与)的大小，即比较工 与占一百项+巧的大小

25、,_2(i-1)又马内，即比较ln&与此=Y-的大小.X $ + 工2 也 + 1再令/-喑11,，则以V 一品厂含加。，工力在1*）上位增函数.又生1, /臣)1) = 0, 玉玉2(也-1)/. In-,即 /”(而) 再上+ 1W（上）-玉）.一（七）+上一卜3）+ 虫（）35） 、ux2 7X2 - X由题意得尸。）=8。） +、在区间（。,2上是减函数.10 当 1WXK2,尸(x) = lnx + - + x,工)=1一, :、+1x + 1x 。+1厂由尸(r)W0 = aN( + +(x+l)2 =x2 +3x + + 3 在xwl，2恒成立. XX设”?(x)= x2 +3x

26、 + + 3 , xe1,2,则/0 x尸.mix)在1,2上为增函数，m(2)=号.2 当0xl,E(x) = - lnx + - + x,工 厂(外二一，一,“一+1 x + X (x + 1)-由小。）工0 = 4之一 +。+1）2=/+不一上一1在不（0,1）恒成立 XX设 /（X）= Y + X 一 , 一 1 , X6 （0,1）为增函数， 4 2 f =。 X27综上：a的取值范围为例6解：(1) /*(x) = 2xn(ax) + x, f(x) = 2aln(av) + x0上恒成立2设(x) = 21nax + l-x /(x) = -l = 0.x = 2 , x2 时，

27、单调减，x2 单调增, ， x所以工=2时，有最大值M(2)0,21n2 + l2,所以。“工业.2(2)当 =1 时，(x) = -= xlnx, xg(x) = l + lnx = O,x = L所以在(，M)上g(x)是增函数，(0)上是减函数. eee因为lex1 内+月(内)=匹Inxi e即 In $ + ln(xj + as) 同理 In 八 :n(x + as ).MX2所以 InX + Inx7 ( + + + )皿 + ) = (2 + + )n(x1 +x7) X2 X- X2 x又因为2 + 3 + &N4、当且仅当“匹=”时，取等号.X2 X又看,修 e(-J),x.

28、 + / 1, n(x +4)0, e所以(2 + + )ln(x+ x2)4ln(X + x2)所以In由 + hix2 4ln(x, + x2)X2 x一. ,所以：xAx2 c = 0,fx) = 3.V + 2ov + b,(I) = 0 = A = - 2a 3由f(x) = 0 = x = 1或r = 一二，二：,因为当x = 1时取得极大值,所以一次土2 1 = 0 时，ff(x) 0 得 x 1, aa，f(x)在(0)上递减，在(L2)上递增，即/(幻在x = 1处有极小值. aa4，当0时/(X)在。+oc)上没有极值点，当4 0时，f(x)在(O,+oc)上有一个极值点.

29、(II) ;函数/(V)在x = l处取得极值，“ =1, /*)之反一2 = 1 +!一处之, X X令g(x) = l + 1-处，可得g(x)在短“上递减，在卜,+3)上递增， X Xe g(X)min =g(J)= l -* 即人e夕(HI)证明：产 o,ln(y + 1) ln(x+ 1) ln(y+ 1)令g(、)= lF则只要证明g在(一+上单调递增，ex In(x+ 1)-又: gW =.x + h?(x + l)显然函数心)山川)-内在上单调递增./. /?(%) 1- 0,即 g(x) 0,，g(x)在(e-L+oo)上单调递增,即ln(x +1) ln(y + 1)当、，

30、一时有| 带/例9解：(I) 0(x) =，,./=1；.直线/的斜率为L x且与函数/(X)的图像的切点坐标为(1, 0), 直线/的方程为)，= x-1.y = x-1乂.直线/与函数y = g的图象相切，.方程组1 ,7有一解。y = x+ mx + I 22由上述方程消去y,并整理得Y+2(?-l)x + 9 = 0依题意，方程有两个相等的实数根，. = 2(?-l)f-4x9 = 0解之，得m=4或m=-2,。？ -l) :.h x) = -1 =. ，x+1x+.当xe(-l,0)时,h(x)0,h(x)单调,当xe(0,x)时,翅x)0J?(x)单减。.当x=0时，万取最大值，其

31、最大值为2。(III) f(a + b)-f(2a) = n(a + b)-n2a = In +=ln(l + -). 2a2ab a b a证明，当 x e (- 1,。)时，ln(l + x) x,. ln(l + ) 0 ;当时，/(x)0.所以函数/(x)在(0.可上单调递增，在怙,2)上单调递减.(2 )由(1 )可知当*We ,即1 4：时,/(x)在m,2m上单调递增，所以小)心=八痴)=用-1,2m当/心c时，/(X)在上单调递减，所以/心=出生-1.当帆vev2;，即;eIn 2ni 八 J。 -1. 0 7W -2m2-1, nt e mm2时，= /(e) = -* 综上

32、所述，/心=、 e(3 )由(1 )知当 xg(O.-hxj) Hl f (x)mx = /(e) = - -1 .所以在 xg(O,-ko)时恒有 e3 当且仅当x = e时等号成立.因此对任意XG(0,xc)恒有x ex elnx0,区“，所以in 0,函数f(x)在区间(TO)上单调递增;当工(0,+8寸，/(A) 0 , h(x)单调递增，/?(x) /z(x, ) = 0；,当xeQo，/)时,(x)v0, (x)单调递减，./(x)/?(%2)=。；故对任意口(42)，都有/(x)g(x).(3 )用数学归纳法证明.当 =2时，,-4+4 = 1，且4o，40,.,.4%+再 (卬

33、再)，二由(II)得/(X)g(X)，即+.)(4 $ +4石一为)+ /(为)=4/(司)+4/12)，王一石，当 =2时.，结论成立.假设当n = k(k 2)时结论成立，即当4+4+ 4=1时，/(4芭+4%2仁F 4/)4/(，1)+ 4/32)+当 H = k + 时，设正数4.4, ,4+1 满 足 4 + 小 + 4+i = 1 令 m = + Aq + + A,k Ni=、氏=工, 则6 + 4+1“=1，且i+2 + 4 = 1 m mm，当=攵+ 1时，结论也成立.综上由，对任意心2, N,结论恒成立.例12 解：当” =一2时，/(x) = 1 21nx,当xe(l,+8

34、),广=n)0, x故函数/(X)在(1，田)上是增函数.(2) f (x) =+a (x0),当2x2 +aea + 2ta + 2e2.X若心-2,八）在UM上非负（仅当” =-2, X=1时，/（%） = 0）,故函数/在U上是增函数,此时/（刈皿=A1）= 1.若-2/-2,当 =旧时，/（、）= ；当叱、 |，时，,广（x）0,此时/G）是减函数；当jc时，ru）o,此时/是增函数.故l/(x)lmin =yln(-)-y 若心一2入 /）在U,e上非正（仅当” =-2r，x=e时，（=。），故函数/。） 在上是减函数,此时/（Mmm =f（e）=a + e2.不等式/*)(4 +

35、2)X,可化为a(x-Inx)x2 -2x.InxWlWx且等号不能同时取,所以lnxx,B|J x - lnx 0 ,因而一 2 (xeU，H)x- Inx令双外二二一入（A-el,6）,又g（x） = x-nx(x-l)(x + 2-21nx)(x - In x)2当时，x-l0Jnx0,从而(x)2 0 (仅当x=l时取等号)，所以g(x)在U0上为增函数, 故g(x)的最小值为8=-1,所以a的取值范围是-1，+8).例 13 解：(1)定义域(-1,。)(0,+8)(2 ) ffM =+ ln(x + l)当 x 。时，/(X) 0 单调递减。厂x + 111X当 x e (-1,0

36、),令 g(幻=-+ ln(x + 1)短) = - - + -=x + 1(x + 1 厂 x + 1 (x+1)-g(x) = - + lna + l) ，(.)=-r + - = -Tg(0) = l。，故此时广。)=-1- + 11* + 1)在(-1, 0)和(0, +8)上都是减函数 厂X+1(3)当x0时，/(幻 上恒成立，令x = l有A0时 (x + 1)In* +1) +1 - 2x 0恒成立令 g(x) =(X +1) ln(x +1) +1 - 2x 则 gx) = n(x +1)-1,当x g 1时gf(x) = ln(x + l)-h 当xe-l时，g(x) 0 当

37、0xe 1时，g，(x) 0当x0时，(x + l)ln(x + l) + l-2x0恒成立，因此正整数k的最大值为3例 14 解：(I )尸(才)= e +sinx ax, F x) = ex + cos x - a.因为A-0是尸(x)的极值点，所以尸(0) = 1 + 1-4 = 0m = 2.乂当 a=2 时，若 XO, F *(x) = ex + cos x-a 0.卡0是尸(x)的极小值点，aW符合题意.(II) Va=l, 且 PQ x2 =ex +sinXj x2-x= ex + sin x - xx 令 h(x) = ex + sin x-x,h (x) = ex + cos

38、x-1 0 当 x0 时恒成立.:,xG 0, +8)时,方 J)的最小值为 A(0)=l. A | PQ/l.(Ill)令3(x) = F(x) - F(-x) = ex - ex + 2 sin x - lax.则 0,(p(x)在0, +8)单调递增，即叭x) 0(0) = 0.故aW2时尸(x) NF( x)恒成立.例15 解：(I ) (l)g(x) = a(x l)2 + l + b 当 0时、雇工)在2, 3上为增函数g=2g(2) = 59。一 6。+ 2 + = 5 a = 1= =4。一 4。+ 2 + /? = 2/? = 09。一 6+ 2 + /? = 24。4。+

39、2 + /7 = 5当。0H寸,g(x)在2, 3上为减函数g=2g(2) = 2 ./?! :.a = b = 0 即 g(x) = x2 - 2x + l. /(x)(II )方程/(2)-220化为2+， 23八2、1 + (工)2-2晨酊 令=，kr-2t + 2X 2X2XV x e -1 J ：.te-,2 记2(pt = r -2z + l A 0(f)1nhi = 0：.k 0(III)方程/(I2、1I) + A(不3) = 0化为 12=ll+点三 (2 + 3k) = 012111211I2V-1I2 一(2 + 3k) 12V11+(1+ 2k) = 0, I2X -1

40、10令I 2”-11=/,则方程化为产一(2 + 3+ (1 + 2)= 0 (t0)1 + 2k方程I2-ll+77r(2 + 3幻=0有三个不同的实数解, I 2 - 1 I由f =12，-11的图像知,产一(2 + 3幻/ + (1 + 2幻=。有两个根小，KOt, lt2 或 0 1, t2 =1 记或0、Bv 49= _k0奴 l) = k = 0k 0八 2 + 3k t00 ,设Xj a2是g (x) = 0的两个根,(1)当M=。或占=。时，则工=。不是极值点，不合题意；(2)当天产。且占。时，由于x =。是“X)的极大值点，故占。在.g(0)0,即 2b0,h0 ,于是，假设如通是g(x) =。的两个实根,且再4由（I ）可知,必有且石、。、是/（X）的三个极值点，则+_（u-b-3） + yJ（i+b-l）2+8、玉二2，%=2假设存在及满足题意，（1 ）当孙a,石等差时，即修一一再时，则工4 =2工2-4或工4