高等数学D7习题课微分方程

1、微分方程 习题课 第七章 一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解一阶标准类型方程求解 关键关键: 辨别方程类型辨别方程类型 , 掌握求解步骤掌握求解步骤2. 一阶非标准类型方程求解一阶非标准类型方程求解 三个标准类型三个标准类型可分离变量方程可分离变量方程 齐次方程齐次方程 线性方程线性方程 齐次方程齐次方程形如形如)(ddxyxy的方程叫做的方程叫做齐次方程齐次方程 .令令,xyu ,xuy 则代入原方程得代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分两边积分, 得得xxuuud)(d积分后再用积分后再用xy代替代替 u, 便得原

2、方程的通解便得原方程的通解.解法解法:分离变量分离变量: 一阶线性方程一阶线性方程)()(ddxQyxPxy方法方法1 先解齐次方程先解齐次方程 , 再用常数变易法再用常数变易法.方法方法2 用通解公式用通解公式CxxQyxxPxxPde)(e)()(dd可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法)(. 1)(xfyn逐次积分逐次积分),(. 2yxfy 令令, )(xpy xpydd 则),(. 3yyfy 令令, )(ypy yppydd 则高阶线性微分方程 线性齐次方程解的结构线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程0)()( yx

3、QyxPy的两个解的两个解,也是该方程的解也是该方程的解.(叠加原理叠加原理) )()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1.定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解性无关特解, )()(2211xyCxyCy数数) 是该方程的通解是该方程的通解.为任意常21,(CC则则线性非齐次方程解的结构线性非齐次方程解的结构 )(* xy设是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 则则是非齐

4、次方程的通解是非齐次方程的通解 .定理定理 4.),2, 1()(mkxyk设分别是方程分别是方程的特解的特解,是方程是方程),2, 1()()()(mkxfyxQyxPyk mkkyy1则)()()(1xfyxQyxPymkk 的特解的特解. (非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理) 定理定理3, 定理定理4 均可推广到均可推广到 n 阶线性非齐次方程阶线性非齐次方程. 定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn设是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性个线性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn无关特解无关特解, 给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐

5、次线性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齐次方程的特解是非齐次方程的特解, 则非齐次方程则非齐次方程的通解为的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解常系数常系数 齐次线性微分方程齐次线性微分方程 基本思路基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程求特征方程(代数方程代数方程)之根之根转化转化小结小结:),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程特征方程:xrxrCCy21ee2121,:rr特征根21rr 实根实根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e2

6、1xCxCyx特特 征征 根根通通 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .若特征方程含若特征方程含 k 重复根重复根,ir若特征方程含若特征方程含 k 重实根重实根 r , 则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项xrkkxCxCCe)(121xxCxCCkkxcos)( e121sin)(121xxDxDDkk则其通解中必含则其通解中必含对应项对应项)(01) 1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程特征方程: 0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC推广推广:)(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次

7、微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程 : :根据解的结构定理根据解的结构定理 , 其通解为其通解为Yy *y非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法根据根据 f (x) 的特殊形式的特殊形式 ,*y给出特解的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法xmxPyqypye)(. 1 为特征方程的为特征方程的 k (=0, 1, 2) 重根重根,xmkxQxye)(*则设特解为则设特解为sin)(cos)(e. 2xxPxxPyqypynlx 为特征方程的为特征方程的 k (=0,

8、1 )重重根根, ixkxye*则设特解为则设特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形.例例1. 求下列方程的通解求下列方程的通解; 0e1) 1 (32xyyy提示提示: (1),eee33xyxy因故为分离变量方程故为分离变量方程:通解通解;23)2(22xyyxyxyyxydede32Cxyee313(2) 这是一个齐次方程这是一个齐次方程 ， 令令 y = u x ,化为分离变量方程化为分离变量方程:xxuuud3d22例例3.设设F(x)f (x) g(x), 其中函数其中函数 f (x), g(x

9、) 在在(,+)内满足以下条件内满足以下条件:, 0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1) 求求F(x) 所满足的一阶微分方程所满足的一阶微分方程 ;(2003考研考研) (2) 求出求出F(x) 的表达式的表达式 .解解: (1) )()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)()(2xgxfxfxg)(2)e2(2xFx所以所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程满足的一阶线性非齐次微分方程:.e2)()(xxgxf(2) 由一阶线性微分方程解的公式得由一阶线性微分方程解的公式得CxxFxxxdee4e)(d22d2Cxxxde4e42代入上式，将

10、0)0()0()0(gfF1C得于是于是 xxxF22ee)(xxFxF2e4)(2)(xxC22ee思考思考: 能否根据草图列方程能否根据草图列方程?Oyx练习题练习题:P354 题题5 . 已知某曲线经过点已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程求它的方程 .提示提示: 设曲线上的动点为设曲线上的动点为 M (x,y),)(xXyyY令令 X = 0, 得截距得截距, xyyY由题意知微分方程为由题意知微分方程为xxyy即即11yxy定解条件为定解条件为.11xyx此点处切线方程为此点处切线方程为它的切线在纵它的切线在纵11)

11、,(yxMY例例2. xxyyy2e65 求方程的通解的通解. 解解: 本题本题特征方程为特征方程为,0652 rr其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为xxCCY3221ee设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为xbxbxy210e)(*比较系数比较系数, 得得120 b0210bb1,2110bb因此特解为因此特解为.e)1(*221xxxy3, 221rr代入方程得代入方程得xbbxb01022所求通解为所求通解为xxCCy3221ee.e)(2221xxx ,2例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解的通解. 解解: 特征方程为特征方程为, 092r其根为

12、其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数比较系数, 得得,5a,3b因此特解为因此特解为)3sin33cos5(*xxxyi32, 1r代入方程代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根为特征方程的单根 ,3i)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为因此设非齐次方程特解为例例4. xxyy2cos 求方程的一个特解的一个特解 .解解: 本题本题 特征方程特征方程, 2, 0故设特解为故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特