练习4答案函数的单调性与导数

1、练习4函数的单调性与导数1 .函数f(x) = xln x的单调递增区间是()A. (0,1)B. (1, +8)C. 0, 1D. !，+°°ee一,_、，,一一 11解析：选D 由f' (x)=ln x+1>0,可得x>1, .函数的单调递增区间为1, +8ee12 .已知函数f(x) = -x,则f(x)在(0, +8)上的单倜性为()xA. f(x)在(0, +8 )上是增函数B. f(x)在(0,1)上是增函数，在(1, +8)上是减函数C. f(x)在(0,)上是减函数D. f(x)在(0,1)上是减函数，在(1, +8)上是增函数解析：选C

2、 因为f' (x)=之一1<0,所以f(x)在(0, +8)上是减函数，选 C. x3.若函数y= x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数 m的取值范围是()B. 00,1 , 一A. +°° 3C. 1， +°°D. 8, 133解析：选C.7 =3x2+2x+m,由条件知y' >0在R上恒成立，. A= 4-12m<0,/3.4 .如图为函数y=f(x)的导函数y=f' (x)的图象，那么函数y=f(x)的图象可能为()解析：选A 由导函数y=f' (x)的图象，可知当一1<x<3时

3、，f' (x)<0,所以y=f(x) 在(一1,3)上单调递减；当 x>3 或 x<1 时，f' (x)>0,所以 y=f(x)在(8, 1)和(3, + 8) 上单调递增.综上，函数 y=f(x)的图象的大致形状如 A中图所示，所以选 A.5 .函数f(x) = x3+ax+b在区间(一1,1)上为减函数，在(1, 十°0)上为增函数，则()A. a= 1, b= 1b. a=1, be RC. a= 3, b=3D. a=- 3, bC R解析：选 D f' (x)= 3x2+ a.,f(x)在(一1,1)上为减函数，在(1, +

4、8)上为增函数，f' (1) = 3+ a=0,a=- 3, bC R.36 .函数f(x) = cos x+x的单倜递增区间是 .3解析：因为f (x) = sin x+&>0,所以f(x)在R上为增函数.答案：(00, +oo )b7 .函数f(x) = x+(b>0)的单倜递减区间为 .x解析：函数 f(x)的定义域为(一8, 0) U (0, +8), r (x)= x+b ' =1 日， xx令 f' (x)<0,则白x+Vb)(x加)<0, x.Vb<x<Vb,且 xw0.，函数的单调递减区间为(一yb, 0)和(

5、0,炯.答案：(瓜 0)和(0,册)8 .若函数 y=1ax3 1ax22ax(aw0)在 1,2上为增函数，则 aC. 32解析：v = ax2 ax 2a= a(x + 1)(x 2)>0,当 xC (1,2)时，(x+1)(x 2)<0, . a<0.答案：(一巴0)1 c9 .已知函数 f(x) = ;zx3+ ax2+ bx ,且 f (1)= 4, f (1)=0. 3(1)求a和b的值；(2)试确定函数f(x)的单调区间.-1 CC解：(1)f(x)=3x3+ax2+bx,，f' (x) = x2+2ax+ b,f' -1 =-4,1-2a+b=

6、- 4,由得f' 1 =0,1 + 2a+b=0.解得 a= 1, b= 3. .一1 a c 一(2)由得 f(x) = 3x3+x2-3x.f' (x)=x2 + 2x-3=(x-1)(x+3).由 f' (x)>0,得 x>1 或 x<3;由 f' (x)<0,得一3<x<1.，f(x)的单调递增区间为(8, 3), (1,+8),单调递减区间为(一3,1).10 .已知函数f(x)=ln x- ax2+ (2 a)x,讨论f(x)的单调性.2x+ 1 ax 1解：f(x)的定义域为(0, +8),1f (x)=-2ax

7、+(2-a)=- x若 a<0,则 f' (x)>0,所以f(x)在(0, + 8)上单调递增.若a>0,1则由 f (x)= 0 得 x= 一， a且当 xC 0, 1 时，f' (x)>0, 'a一 1 一、一，当 x e , + 8 时，f，仅）0,，1 ，、，一 ，、，所以f（x）在0, 1上单调递增， a,1在，+ 00上单调递减.a11 .函数y=xcos x sin x在下列哪个区间内是增函数（）工 3j?一 ， c 、A. 2， 2B（为 2无）C.解析：选 B v = cos x + x( sin x)cos x=xsin x,

8、用排除法知 B 正确.1 12.已知函数 f(x) = x+-(x>1),则有()x、A. f(2)<f(e)<f(3)B. f(e)<f(2)<f(3)C. f(3)<f(e)<f(2)D. f(e)<f(3)<f(2)1解析：选A 因为在定义域(1, + 8)上有f，(x)=1 J2>0所以f(x)在(1 + oo)上是 x增函数，所以f(2)<f(e)<f(3).故选A.13,若函数y= a(x3x)的单调递减区间为一，则a的取值范围是()A. (0,+8 )B. ( 1,0)C. (1, +8)D. (0,1)解析

9、：选 A v' = a(3x2-1)= 3a x-乎 x+坐.当-乎V xv当时，x 喙x+乎V0,3333要使y=a(x3 x)在乎，乎 上单调递减， 33只需y' <0,即a>0.14已知函数f(x)=- 2x2+8ax + 3在( 8, 3上是增函数，则实数a的取值范围是()_33.A.-00,2B.2,+°033, 一C.-00,2D.2,+°0解析：选B f(x)在( 8, 3上是增函数，.f (x) = - 4x+8a> 0 对于 xC( 8, 3恒成立.即a>x对于x ( 8, 3恒成立.x令 g(x) = 2, xC

10、(8, 3,则 a>g(x)max.x .g(x) = 2在(一°0, 3上是增函数， g(x)max= g(3) = 2,即 a>2，选 B.15.已知函数f(x)的定义域为 R, f(1)=2,对任意xCR, f' (x)>2,则f(x)>2x+4 的解集为.解析：设 g(x)= f(x)2x 4,则 g' (x)=f' (x)- 2.对任意 xCR, f' (x)>2, .g' (x)>0.ga)在 R 上为增函数.又 g(-1) = f(-1) + 24=0,，x> 1 时，g(x)>0.

11、 .由 f(x)>2x+4,得 x> 1.答案：(1, +OO )4 一16 .若函数f(x)= - 3x3+ax有二个单倜区间，则 a的取值氾围是解析：fz (x)= - 4x2+a,且f(x)有三个单调区间，方程f' (x)= 4x2+a= 0有两个不等的实根，A= 024X (4)Xa>0, . . a>0.答案：(0, +8)17 .设函数 f(x)= ax-a- 2ln x. x若f' (2)=0,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数 a的取值范围.a 2解：(1)因为 f (x)=a+2-,且 f' (2)

12、 = 0, x x所以a+a1=。，所以a=4.4422 c所以 f (x)=g+£2x=£2(2x25x+2),1令 f (x)>0,解得 x< 2 x>2,1令 f (x)W0,解得 2WxW2, 1 一所以f(x)的递增区间为 8, 2和2, +8), 1递减区间为2, 2 .(2)若f(x)在定义域上是增函数，则 f (x)>0恒成立,一，a 2 ax2 2x + a因为 f (x)=a + ?x =x，所以需ax22x+ a>0恒成立,所以a>0,A= 4 - 4a2w 0,解得a> 1.所以a的取值范围是1, +8).18 .已知函数 f(x) = aln x ax3(aCR).求函数f(x)的单调区间；(2)当 a=1 时，证明：当 xC(1,+oo)时，f(x) + 2>0.a 1 x解：(1)根据题意知，f' (x) =(x>0),x当 a>0 时，则当 xC(0,1)时，f' (x)>0,当 xC (1, +8)时，(x)<0,所以 f(x)的单调 递增区间为(0,1),单调递减区间为(1, 十 °°)；同理，当a&