微积分第一章

1、第一章习题1-11.用区间表示下列不等式的解.解 (1)原不等式可化为,其解为,用区间表示是-3,3.(2)原不等式可化为或,其解为或,用区间表示是(-,0)(2,+ ).(3)原不等式的解为,用区间表示是(-2,1).(4)原不等式可化为即用区间表示是(-1.01,-1)(-1,-0.99).2.用区间表示下列函数的定义域:解 (1)要使函数有意义,必须即所以函数的定义域为-1,0)(0,1.(2)要使函数有意义,必须即所以函数的定义域是,用区间表示就是(1,2.(3)要使函数有意义,必须即所以函数的定义域是-6x<1,用区间表示就是-6,1).3.确定下列函数的定义域及求函数值f(0

2、),f(),f(a)(a为实数),并作出图形(1)； (2)y解 (1)函数的定义域, 图1-1 图1-2(2)函数的定义域4.设,求f(f(x).解 当|x|1时, f(x)=1, f(f(x)= f(1)=1;当|x|>1时, f(x)=-1, f(f(x)= f(-1)=1,综上所述f(f(x)=1(xR).5.判定下列函数的奇偶性：(1) f(x)； (2)f(x)(x2x)sinx；(3) f(x)解 (1) f(x)是偶函数.(2)且,f(x)是非奇非偶函数.(3) 当x<0时,-x>0, ;当x0时,-x0, ,综上所述, ,有f(-x)=-f(x),所以f(x

3、)是奇函数.6.设f(x)在区间(-l,l)内有定义,试证明：(1) f(-x)+f(x)为偶函数； (2) f(-x) -f(x)为奇函数.证 (1)令有所以是偶函数;(2)令,有所以是奇函数.7. 试证：(1) 两个偶函数的代数和仍为偶函数； (2) 奇函数与偶函数的积是奇函数.证 (1)设f(x),g(x)均为偶函数,令则 ,所以是偶函数,即两个偶函数的代数和仍为偶函数.(2)设f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,令,则 ,所以是奇函数,即奇函数与偶函数之积是奇函数.8. 求下列函数的反函数:解 (1)由得所以函数的反函数为.(2)由得,即.所以函数的反函数为.(3) 当时,由得;当时,

4、由得;于是有 ,所以函数的反函数是.9. 将y表示成x的函数,并求定义域:解 (1),定义域为(-,+);(2) 定义域为(-,+);(3) (a为实数),定义域为(-,+).习题1-21.下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的?(1) y= ； (2) y=sin3lnx;(3) y= ； (4) y=lnln2(ln3x).解 (1)令,则,再令,则,因此是由基本初等函数复合而成的.(2)令,则,再令,则.因此是由基本初等函数复合而成.(3)令,则,再令,则,因此是由基本初等函数复合而成.(4)令,则,再令则,再令,则,再令,则,因此是由基本初等函数复合而成.2.设f(x)的定义域为0

5、,1,分别求下列函数的定义域：(1) f(x2)； (2) f(sinx);(3) f(x+a),(a0)； (4) f(ex+1).解 (1)由f(x)的定义域为0,1得0x21,于是-1x1,所以f(x2)的定义域为-1,1.(2)由f(x)的定义域为0,1得0sinx1,于是2kx(2k+1),kz,所以f(sinx)的定义域为2k,(2k+1) , kZ.(3)由f(x)的定义域为0,1得0x+a1即-ax1-a所以f(x+a)的定义域为-a,1-a.(4)由f(x)的定义域为0,1得0ex+11,解此不等式得x-1,所以f(ex+1)的定义域为(-,-1.3. 求下列函数的表达式：(

6、1) 设(sinx)=cos2x+sinx+5,求(x);(2) 设g(x-1)=x2+x+1,求g(x);(3) 设=x2+,求f(x).解 (1)法一:令,则,代入函数式,得:,即 .法二:将函数的表达式变形得:令,得 ,即 .(2)法一:令,则,将其代入函数式,得即 .法二:将函数表达式变形,得令,得 ,即 .(3)法一:令,两边平方得即,将其代入函数式,得,即.法二:将函数表达式变形,得令,得,即.习题1-31.设销售商品的总收入是销售量x的二次函数,已知x=0,2,4时,总收入分别是0,6,8,试确定总收入函数TR(x).解 设,由已知即 解得 所以总收入函数.2.设某厂生产某种产品1000吨,定价为130元/吨,当一次售出700吨以内时,按原价出售；若一次成交超过700吨时,超过700吨的部分按原价的9折出售,试将总收入表示成销售量的函数.解 设销售量为x,实际每吨售价为P元,由题设可得P与x间函数关系为,总收入 ,即 .3. 已知需求函数为,成本函数为C=50+2Q,P、Q分别表示价格和销售量.写出利润L与销售量Q的