现代控制理论基础

1、现代控制理论基础1.4 1.4 由传递函数求状态空间表达式由传递函数求状态空间表达式 根据前面介绍的微分方程与状态空根据前面介绍的微分方程与状态空间表达式之间的变换关系，若已知传递间表达式之间的变换关系，若已知传递函数，可首先把传递函数变成微分方程，函数，可首先把传递函数变成微分方程，然后由微分方程与状态空间表达式的变然后由微分方程与状态空间表达式的变换关系。求出状态空间表达式。换关系。求出状态空间表达式。一、传递函数中没有零点时的变换一、传递函数中没有零点时的变换传递函数为：nnnnasasasbsG111)(系统的微分方程为：buyayayaynnnn1)1(1)(则根据上节公式，可直接写

2、出状态空间表达式。即：1.4.1 与微分方程形式直接对应的变换法与微分方程形式直接对应的变换法001 , 00 , 10001011CBAbaaann传递函数也可分解成下图所示的结构。 选状态变量为： )1()1(21111nnnybzxybzxybzx对应的状态空间表达式为： 00 , 100 , 10001011baaannCBA 其中A阵和B阵为规范形式，这是能控标准形实现。它的模拟电路图如下图所示： 能控标准形实现的模拟图 二、传递函数中有零点时的变换二、传递函数中有零点时的变换传递函数为：微分方程为：则根据上节公式，可直接写出能控标准形。即：nnnnnnnnasasasbsbsbsb

3、sG1111110)(ububububyayayaynnnnnnnn1) 1(1)(01) 1(1)( 从传递函数的角度分析，这实际上是一种分子与分母直接分离分解法。设中间变量，可得：100 , 10001011BAaaann , 00110110bbabbabbabnnnnDC)()()()()()(sZsYsUsZsUsY式中 nnnnasasassUsZ1111)()(nnnnbsbsbsbsZsY1110)()( 分解式第一部分是系统结构决定的。当选分解式第一部分是系统结构决定的。当选中间变量中间变量z z及及z z的各阶导数为一组变量时的各阶导数为一组变量时, ,得到的得到的状态方程

4、是能控标准形实现。即式中的状态方程是能控标准形实现。即式中的A A和和B B阵。阵。显然这是与系统结构相对应的一种规范形实现。显然这是与系统结构相对应的一种规范形实现。 分解式第二部分表示状态变量与输出的关系，输出y等于各状态变量与输入的线性组合，即式中的C和D阵。若传递函数等效为：nnnnnnnnasasasbsbsbsbbsG111112110)(式中), 2 , 1(),(0nibabbiii011 , bbbbnnDC此时，式中的C阵和D阵可直接写成： 由此画出的系统计算机模拟图如图所示。 能控标准形实现模拟图例例: 已知系统的传递函数： 6512)(22sssssG试按能控标准形实现

5、写出状态空间表达式。解：由公式写出能控标准形为：10 , 56101012BAaa 1 , 350001022bbabbabDC65531)(2ssssG5610A10B 3521bbC1D若将传递函数化成严格真有理分式，则 按简化公式可得： ， mnasasasbsbsbsbsGnnnnmmmm )(1111110), 1 , 0( mibi00001bbbbmmC 一般情况下，系统输出的阶次高于输入的阶次，则 b0=0, 传递函数为严格真有理分式形式，即，式中 是任意常系数。同样按以上方法C阵可以写成此时，输出仅是状态变量的线性组合，与输入无直接关系。)4)(2)(1(12)(sssssG

6、试按能控标准形实现写出状态空间表达式。 解：将传递函数整理成标准形式 322131023814712)(asasasbsbsssssG按上式写出能控标准为：例：例：已知系统的传递函数100 , 7148100010100010123BAaaa021001bbC1.4.3 1.4.3 由传递函数部分分式法求状态空间表达式由传递函数部分分式法求状态空间表达式 本节主要介绍如何由传递函数的本节主要介绍如何由传递函数的分解分解构造状态构造状态空间表达式的方法。这种方法称为部分分式法。空间表达式的方法。这种方法称为部分分式法。下面根据传递函数极点的两种不同情况分别加以下面根据传递函数极点的两种不同情况分

7、别加以讨论。讨论。 1.传递函数无重极点的情况：其中：1011111( )G( )( )mmmmnnnnb sb sbsbY ssU ssa sasa1212nncccssslim( )()iiiscG s s()nm)(1)()(1)()(1)(2211sUssXsUssXsUssXnn)()()()()()()()()(222111sUsXssXsUsXssXsUsXssXnnnuxxuxxuxxnnn2221111212( )( )( )( )( )( )nncccY sG s U sU sU sU ssss1122( )( )( )nnc x sc xsc xs1122nnyc xc

8、xc x1110101nnnxxuxx 11nnxyccx对角线标准形对角线标准形各状态积分器是并联的。这种方法又称并联分解各状态积分器是并联的。这种方法又称并联分解。 注意：若对于注意：若对于m=n时的一般真有理分式。需要将时的一般真有理分式。需要将T-FT-F化为严格真有理分式的形式后再进行变换。化为严格真有理分式的形式后再进行变换。 即：即：( )( )( )Y sG sdU s11nnxyccdux例：已知例：已知 ，求，求S-ES-E。6512)(G22sssss1)3)(2(5316553)(G2sssssss12123ccss解：解： 先化为真有理式先化为真有理式uxxxx113

9、0022121uxxy2141 c1 = 1， c2 = 4111121111( )G( )( )()()nnnkkkY ssU sssssss2.2.传递函数有重极点时传递函数有重极点时 设设n阶系统只有一个独立的阶系统只有一个独立的n重极点重极点s1.则则G(s)由由部分分式法展开为：部分分式法展开为：111111lim ( )() (1, )(1)!iniissdkG s ssinids1111lim( )()nsskG s ss1121lim( )()nssdkG s ssds1213121lim( )()2nssdkG s ssds1121111( )( )()1( )( )()1(

10、 )( )()nnnX sU sssXsU sssXsU sss12123111( )( )()1( )( )()1( )( )nX sXsssXsXsssXsU sssuxsxxxsxxxsxxxsxnnnnn11113212211111112211000010000011000nnsxxsxxuxxs 约当标准形约当标准形nnxkxkxkty1212111)(nnxxxkkk2111211111121111( )( )( )( )( )( )()()()nnnY sG s U skkku su sU sssssss3.3.对于即有单根，又有重根的情况对于即有单根，又有重根的情况： 2324

11、1716G( )71612ssssss32)2()3)(2(16174)(G3122112sksksksssss例：例：解：解： k11 = 2， k12 = 3， k3 = 1 可根据以上两种情况将可根据以上两种情况将G(G(s s) )展开成部分分式，然后对展开成部分分式，然后对每一项分别选取合适的状态变量，最后将两部分合起每一项分别选取合适的状态变量，最后将两部分合起来写出状态空间表达式。来写出状态空间表达式。 uxxxxxx110300020012321321321132xxxy 若已知闭环系统的结构图，如何由结构图直接若已知闭环系统的结构图，如何由结构图直接建立系统的状态空间表达式？

12、建立系统的状态空间表达式？ 例：已知某系统的结构图如下：例：已知某系统的结构图如下：试建立系统状态空间表达式。试建立系统状态空间表达式。1.5 1.5 由结构图建立状态空间表达式：由结构图建立状态空间表达式：Y(s)U(s)s + zs + pks( s + a ) 利用结构图的分解设置状态变量,实质上就是将开环结构中的每个环节，分解成一阶环节的形式，这样 n阶系统的n个状态变量就可以从n个一阶环节中直接选取。基本环节的状态变量图：基本环节的状态变量图： 状态变量图：将结构图中每个积分器（或一阶环节）的输出选为状态变量，来描述系统结构中各状态变量关系的图。它可以直接用作状态模拟。一、基本环节结

13、构图分解一、基本环节结构图分解1 1、一阶环节、一阶环节 ( )1( )Y sszzpU sspspY(s)U(s)s + zs + p yudtpY(s)U(s)1s + p2、二阶环节、二阶环节 U(s)Y(s) n2s 2+2ns + n2U(s)Y(s) n2 s (s + 2n )1)U(s)Y(s)1s 2+2ns + n22)(21)()()()()(22zssssXsYsUsXsGnnU(s)Y(s)s+zs 2+2ns + n23)根据分子分母分离法： 221111222222( )122nnnnssb sbG sssss U(s)Y(s)s 2+2 1 1s + 12 s

14、2+2ns + n24)例：已知某系统的结构图如下：例：已知某系统的结构图如下：试建立系统状态空间表达式。试建立系统状态空间表达式。Y(s)U(s)s + zs + pks( s + a ) 解：解：（1 1）首先将结构图中每个方框分解为单）首先将结构图中每个方框分解为单环节的组合。即仅由惯性环节和积分环节的简单形环节的组合。即仅由惯性环节和积分环节的简单形式组合：式组合：（2 2）将每一个基本环节的输出设为状态变量）将每一个基本环节的输出设为状态变量Y(s)U(s)z ps + pks1s + ax1x2x3（3 3）写状态空间表达式。）写状态空间表达式。12231311( )( )( )( )( )( )( )( )( )X sXssakXsXsU sX sszpXsU sX sspY(s)U(s)z ps + pks1s + ax1x2x3upzkxxxpzpkkaxxx00001321321321001xxxy2022-3-745123( )111353( )331131y ssu sssssss 3121s 13s13s+uyx1x2x32022-3