十、数形结合答案

1、十、数形结合(答案)一、基础训练题1.2; 1 或 2 或 3二、典型例题2. (-1,0)3. A4. D例1原函数式可化 为.=J(x-2)2 +(01)2+ M+1J +(0+3 j ,那么上 式的几何意义是，动点P(x,0)到定点A(2,l)、B(? I,? 3)的距离之和，求该函数的最小值， 就是在x轴上求一 点P,使点P到点A和点B的距离之和最小，由平面几何知识，可知Ymin-|"项2+1)2 + (1+3)2 =5,此时，直线AB的方程为 % =号，令尸°,例 2 由定义知 1 一 工 2>0 且 2 + xA0, /. -1 < x < 1

2、,故可设 x - cosA , 0 G 0,A-,则有y = sm 口_可看作是动点 M (cos 0, sin。)(。日0, )与定点 cos。+ 2 cos。一 (一 2)A(-2,0)=sin 半圆。(见图)设切线为AT, T为切点，|OT|=1, |AO|=2,即函数的值域为0,故最大值为rX = COS 0连线的斜率，而动点M的轨迹方程3? - AAT =克，？ -0 - kAM -箱?例3解：当-|va<0时，原不等式的解集是(-8,-J1 Q)U(-J1 + .,J1 +七)U(1,+ ° °当aW? l时，原不等式的解集是 (？ 8, - J1- )u

3、(l,+8)三、提高题解：要使(AU8) nC = S，必有=而y2=i +1与y轴的上交点为(0,1),另一抛物线与 y轴交于(0,|),要直线y = kx + b与两抛物线均无交点，可使，Vb e N , b = 2. 把 y =kx +2 代入 y2 = x +1 得*2 尸 +(4* i)x + 3 =。.若 * = o，则直线 y = 2 与y2 =x + l相交，不合要求，：.k。0且厶<(),1v k v 1. . k g n 工.2 2 +y =尤 + 2 与 4%2 + 2 尤 一 2y + 5 = 0 无匕在自然数k = l,b = 2 满足要求.练习10.1 (答案

4、)1. D2. B3.A6. (0, |U3, +oo )7.40 < x < 3 Y亠 18.解：原方程等价于-x +3x-m令 f()=-子=4x-3,0 < x < 3则由原方程的解是/(x)图像与y = mCo < x <3=3- x 即 |Ax2 +4x-3 = my - m的交点横坐标，由已知得交点有且仅有一个/. m = 1 或)1 )19.由sin x + cos x-k得sin(尤+才)=.在 同一坐标系中作岀yx - sin(x + )和y2 = 4ax(y > 0).?.点P轨迹 C的方程为:2y = 4ax(y > 0)(

5、2)由已知得 di(P)=；(x + y)2 + a-y)2 2 2=Jx + y =|P0,C =(x -a)，即为P到直线x = a距离d、(P) = -Ja2223d2 (P) o yjx + y =&? | x- QQ (1 - a)x + 2q2 + a)x-a - 0(*)设 A】(尤 1,2 JaX), & (尤 2,2/巧)且X2 > x r >0则尤】，可是方程(*)两根-2a(a + 2) _ 尤 i + 尤 2 =_Q 1件=虬0> 0:.a>l.?.点A A?在以原点为焦点、直线x = a为相应准线的双曲线上xx <a<

6、; x 2+ 工 2)2 4xA2* ?52 +Q 111.1换元引参（一）答案基础训练题1.22-2 2, -8A2二、典型例题3. C 4. C例 1 可得/( X)= 3'- 2,(2< x<4) f-1WA|og3X + 2(lv.r<9)又函数 F(x) = f- 1 (x)2-/-1 (x2)的定义域"1=A1<%<3./. F(x) = (log 3 x + 2)2 -(log 3 x2 +2),x g 1,3令 t = log3 x t e 0,1,. ?.令 y = F(x)=(f + 2) 2 - (It + 2)可得ye 2

7、,5,即值域为2, 5例 2 令 x = J2t + 4,y = y/6-t,则尤?+2y2 = 16(0 < x < 4,0 < y < 2人/2)所给函数化为以 U为参数的直线方程 的部分（包括端点）有公共点，如图，y = -x + u,它与椭圆亍+ 2y 2 = 16在第一象限"min=2拒，相切于第一象限时"max16例3由% =即 Z2时，女口 =3如M3.v: Aux -16 = 0n即 1= 3(碍餌 J令bH = a如成等比数列，且bx=a2-ax =3-1 = 2.公比 q = 3,:. b n =2x3 口，即 aga, =2x3

8、A叠加可得：an =3"-'三、提局题解：(1)设E(x,y)连结0E，由三角形的中位线性质得：| 0E | =? | AC | =1,得E点 的轨迹方程为 X2+y2=|(y#0)2 2(2)椭圆的焦点为 A(-2,0),B(2,0),可以设椭圆的方程为 % +、A = l(a>0),其离心a a 2率为 e=,设 M(x byi)N(x 2,y2),由题设知：I AM | =a+exi, | AN | =a+ex 2,1 MN | ao 5=2a+e(x1 +X2)=2Q 52，即2a+(x,+X2)=竺巳，山 MN的中点到y轴的距离为己得13a34%1 + %22

9、?芝玉丫(若芝玉日则*而不成立。从而解得2 2H=2A/2 所以椭圆方程为A+ =1 ()84在E点的轨迹上任取一点P(x() ,yo),则过P的切线为x°x+y°y=l ()，且x°2+yo2=l()，由消去y 得，(1+XO2)X2.4XOX8XO 2.6=0. ? I PQ | = L X 0 * V IA0 >1(4 xo ) - -4( 1 + xi)( 8 xj 6 ) = 32 丈 +24 ',令一=t, % : = Z 1, L l < x°l, /.dd (i+e 'if'I PQ I =-8f +

10、32t=_8 (t-2 ) 2 + 32 V |<t<l.t=l 时，即 x () =0 时，I PQ I max=2 76，此时 L 的程为 y= ±1练习11.1(答案)7 71. B 2. C 3. B 4. A 5.9 84A/56. (-co,0)7. x + 4y = 0 (|x|< % ) 8解：因为P是线段AB上的动点，Q是单位圆上的动点，所以，可设P(l/)(其中-1 < ? < 1), Q(cosQsinO)(其中。为任意角)，又设R(x,y).因为OR = OP + 0Q,所以(X y) = (l/) + (cos6,sin。)=

11、(1 + cos+ sin。)从而 XT + COS。消去参数。，得(x l)2 +(y_f)2 =1 (其中 _1<? <1)<.八y =，+ sin Q所以h的轨迹是以线段 AB上的点为圆心，1为半径的一个圆系，它所覆盖区域由一个 方形和两个半圆(包括它们的内部)构成，所以所求面积为4+ .9.解 满足条件(1)的双曲线方程可设为(x + 2y)(x 2y) = 4(4?0),即x12 -4y2 =2.0 为点 P (x,y )在双曲线上，所以 | AP |2 = (x-5)2 + y2/c2 子一A 5 2 in *“ 5 ,” 2 20 (x 5) Hx 1 Ox +

12、 25 (x 4) H444 44 若2 < 0,则双曲线的焦点在y轴上，x e R .所以当 x = 4 时，|AP|2mm=竺二 * = 6,4解之得4 = 4,此时双曲线方程为J?一彳=1, 若2 > 0 ,则双曲线的焦点在尤轴上，x < -V2 AX> -5/2 .若A/2 < 4，则X = 4时，| APmin= 2V=6，解之得2 =-4不适合；若 714,则 X = VI 时，=4)2+aa = 6,解之得2 = (5 + V6)2此时双曲线方程为 4y2 =(5 + J&)2.综合，所求双曲线方程为2y2 - = L.r2 -4y2 =(5

13、 + ?42 210.(1)由题意知，双曲线圣一普-T的焦点为1(-打，0), F2(V5,0)设I PFJ +'|p_F_i|+_p F _2丫 =/ 当且仅当时I PFi | = I PF2 I , I PF 】| ? I PF2 I 有最大 22 1 值aF, COZRPF的最小值为 2。-10令2Q -1021219 a a2 2求轨迹方程为足+Y = i=,解得a2=9，所1 P F2 I -2a (a> V5 ), cos / FiPF?= 22 - 10 T *?* p 尸 J ? g尸 2I 式p F J-I P F 2|Ax=入S设 M(x,y)N(s,t),则

14、由 DM = ADN得(x,y-3)=2入(s,t-3),7y-3= X (t-3)VM,N两点在动点 P的轨迹上，+二=i/.J 9 4消去s,得(4S)2I (山 + 3-3.)2 _ 94 一W + 3 3,)2 幻 2 = “解得 132-5。. | tII| <2,解4626294得|<2<5,实数入的取值范围是:,5,11.2换元引参（二）答案、基础训练题4. 601. A2. C、典型例题例1解：（2 2 ?z = a + + ，又 x + y =2 X.r2+ 电 + 7 = ; + 2> + 8XX X2Q2 .x + yz =2Xt = Ei R,.

15、 z t +2f + 8 = (f +1) 2 + 7 x2 2y 99(2)? .? z二、+ 里 + 7.又尸一y2 =2X XZmin = 72 2c.?z = AA + U + 7 = -J + 2> + 8令 t = E ( 1,1), z(t -1)2 + 9, z e(5,9) x例 2 设 8( "2,2G，C(02),则爪昵又 KAB? KBC= 12t -2 2t -2?. 仁一1,即 f? £2+0i+ 2)+ 5 =(1)23-lv = v tan g 由*Vs)'BC ? y 一 2f - (x _ ty ),即 2 尤一(1 +r

16、2 + & )y + 2 甲 2 =0 将（1）代入（2）得：（2x + 5y ） +甲2 ?3 + 2） = 0".直线BC是过两直线2x + 5y = 0和y + 2 = 0的交点（5,-2）的直线系，从而过定点（5,-2）=l(y0). (2)设 FQ : y = x-tanO.OE (Of).得(1 + 4 tan2 6>)x2 - 2面-1 = 0.X1X2 =1n +)4(1 +tai?o1 + 4ta n22V314七设两两根为玉，尤2-则明+尤2 = 1亠PQ|= 71 + tan2 0-1 - X2 |=R.,又点A到PQ的距曷tanO2A/3d =

17、/VI + 4tan2 0TT0 e (0,) tan。0 )1 ,:.S( o ) = -PQ-d =24A/3 sin6I + 3si n2A<2,+ V3 sin 6AJ3 sin。/?当且仅当心 sin o=危一屈in即0 = arcsin时等号成立.3S(O)的最大值为2.三、提高题(1)设过原点倾斜角为。的直线方程y = x-tan0,设A(x,y).将直线方程与圆七壬口旺七 4曰 万程联乂，得：尤=I!mn tan 0y = 1Vm2 tan2 0 + n 2 Vm2 tan2 0 + n 24nin2 tan。2m tan 6 +/(2)，/ 0 < tanO &l

18、t;1,令 1 = tan。e 0,1、口.?.当秫八-c 4m2n2t 4m2n2t 仁0时，S =-<mt + n 2mnt=2mn = 当0 <m<n时,在re(0,l是增函数.mt + nan 4m2 n2 .?.当t = I时，S有最大值一一，即"=m + nC2mn( 0 < n < m )?"=tz 4 b 4m2n2m +n2 21 4mn(3)当 m> n> 0 时，即一1 时，/ = 2mn > mn 恒成立nrvi4m 2” 2当 n> m> 0 时，即 0 v v 1 时，以=-> mnnm +n解得 2 V3< - <1,综上竺 c(2 一心，l)U(l,+8 ) nn练习11.2 (答案)1.A2.B3.A4.C5.-V26.27. (-?,-8u(-|,0)u(|,l)8. 解法一 ：k 存在，设 AB :y = a(x-V3),由 y=k(i-J )§Y2ax +4y2 -4 = 022得(1 + 4k )x -8&x + 4(3 妃-1) = 0设 ,yi)，3(勺、，y2)，贝U % +8?心 =+ *，xi x2 = ?3 亍 "由弦长公式可得I AB