北理微积分前三章公式总结

1、.两个重要极限（只要满足以下类型，可把下列公式中的0（注：和型）,sin a111111. 1 I2.或'（注：1型）lim fix） 0 lim Mx ®lim fix h（x） = A推荐公式（I型极限）：若，且，lim（l + /Ct）y（n= *则（当时，可以把下列公式中的厲换为5）二.等价无穷小 当.1 ii时sin jc x1.arcsinx x3.tan x xarctan x - x7.8.1 COSX- 29.(« M 0)110.Ct 一（相当于公式9中）5.'-1 a*Inn (a >* I).导数的定义和基本公式1.iv或V;

2、12.'u3.Ax或-血"I4.6. a ' In a10.(1。氐 x) =(sinx - cosx11.ill x)=X&- - sin jv12.(tan x)(cotx)=- = - esc2 X13 .'14.set-v) - see x tan x15.Fcsca) - esc .rent xarcsine)=.vl-A2(arccosx) - 17.1(18.四.导数的运算法则1+ W =«£/ + 卩 V*WV) I' + UVily优 r du4.链法则：內 川八« r - uv'3.v2

3、 （咻）尹。）dx 1 dy dy5反函数的求导法：'，6.参数方程求导法：设,则血'7隐函数求导法：等式两端对 厲求导时，注意 丁是厲的函数，利用复合函数求导法即可。J - Ly &对数求导法：先取对数，再利用隐函数求导法，或 /再用复合函数求导法。特别提示:1. 求分段函数在分段点处的导数时，必须单独讨论！共有两种方法求左、右导数：（1）利用定义利用书中P86定理2，但求左（右）导数时，必须指明分段函数在分段点处左（右）连续.2. 要弄清导数记号的含义：对于复合函数J'，）,宀| 'I表示复合函数对自变量求导，而；1 ' ' &quo

4、t;表示复合函数对中间变量 口求导.五.求函数的典阶导数1.逐次求导法：从一阶导数开始逐阶求导，归纳出规律后，用归纳法验证其正确性（一般不用此法，除y2.(1)非求指定的低阶导数，比如求 '）公式法：利用下列公式，结合复合函数求导法求出函数的3 r 1 f I m11'1 c ：不是正整数)a(ct - l)(a - 2)A (u - h + l)x'J fl, ff <a0,（匕是正整数）/ -1 «(njt f3("兀 (sin x/» sinx + -(CUN X f COS X +(2丿 丿(ttj©V =ax(na

5、)n3.= (ln对莱布尼兹公式（适用于求两个函数乘积的"阶导数）（注意上述公式中第一项和最后一项分别容易漏写函数及“）4. 递推法（此法只有少数题可用）5. 泰勒公式法（用于求 "，（0）：先用公式法求出在X = X点处带皮亚诺余项的“阶泰勒展开 式，找出八的系数I ,则丿'6隐函数的高阶导数：按隐函数求导法对兀求一次导后（此时等式中除了含有尹也含有，），等式两端7 参数方程的高阶导数：设 dy yt 呎 八dzy coJ（/） 7 ； ti） V J = 厂屮，则必也砂，曲 0（f）,以此类推。住兰茫"咚dx d S'111 :=r* nJ-.

6、-声1致（妙血|靱dy <Zry：*1 (y)3&反函数的2阶导数：（见教材P118第6题）六.微分基本公式（略，利用 M参照导数公式即可）七.微分运算法则1a . I / Ivdu - adv/(呎町4.'/-r可以是自变量也可以是中间变量。5.微分形式的不变性：八.泰勒公式及常用函数的麦克劳林公式1./(-V)- /(-Vo)+ f (凡 Kx -斗)+ Lrx - % F + A+侔(,_"+代M(/7+ 1)!2.f v.v )f(x) /(xJ + f (竝)(x -斗)+ (x-xt) +A +« K3.4.3!5?S-1)!(丄.v :-

7、)打 (2« + IXr、 sin (J jc +( 2(2« + l)!5.wd宀丄2!4!A , (J)" J i COS(PX +(W+ l)7l)u3n+2f +x +X(2tt)!(2/r+2)!6.(-厅M A +(H+ 1X1 +9xr+1 Art + 17.（m“x+迅g宀八2!a(a - 1)A (<t - « + 1) ”心-1）心）仆+叭严（“是实数）曲率圆儿曲率 卩门'! ' ,曲率中心，一0.渐近线lim fx） = A lirn f（x） A1. 若或，则为水平渐近线lim f（x） = x lim f（x） = oc2. 若 *或