清华大学波与振动习题

1、 振动与波练习(预告) 大学物理学习题讨论课指导(上册) (P154) 4，5，第二版(P150) 5，(P151) 6； (P155) 6， 第二版(P151) 7； (P162) 2题中(2)改为画t = 0时的波形 曲线， 第二版(P160) 2； (P163) 5，第二版(P161) 5； (P169) 3，第二版(P168) 3； (P171) 5，第二版(P170) 6；注：黑色字为该书第一版(紫色封面)题号；蓝色字为该书第二版(绿色封面)上同题题号；振动与波练习(解答)(P154) 4 1.求j三方法：解析法；曲线法；旋转矢量法。 -AtxTabA/2o··A

2、(1)解析法已知：t = 0时 x0 = A/2 u0 > 0由 x0 = Acosj u0= -wA sinj 得 j = -p/3txTab··T/6辅助曲线(j辅=0)o(2)曲线法先画辅助曲线(j辅= 0)；然后比较辅助曲线和已知曲线：已知的曲线时间落后T/6，则位相落后p/3，故已p/3A ta tb t =0xo·A/2知振动的初相j = -p/3 。(3)旋转矢量法 由图j = -p/3。2. 求a、b点的位相·a点：xa = A；ua = 0，可得位相 = 0。· b点：xb = 0；ub = -wA，可得位相 = p/2

3、。由解析法亦可。3.求从t = 0到a、b两态的时间 由旋转矢量图知，· 从t = 0到a态，矢量转过 p/3， 故 Dta = T/6· 从t = 0到b态，矢量转过 p/3 + p/2， 故 Dtb = 5T/12RokRok y o · m y0 f0Rok y o · yT f mgT ¢ f ¢ · · · (P154) 5 动力学解题两方法：受力法；能量法。1. 受力法：分析物体在任一位置时受力d2yd t2mg - T = m (1) 对m 对轮 TR - fR = Jb (2) 另 f =

4、 k( y0 + y ) f 0 = k y0 = mg a = b R d t2+ ( ) y = 0 d2ykR2J + mR2 可得 说明振动是SHM，其角频率为kR2J + mR2 w = Ö 2. 能量法：分析物体在任一位置时系统的 能量。·势能零点：平衡位置。m( )2 + Jw角2 - m gy + k(y0+ y)2 = const. dyd t121212· 两边求导，并用 k y0 = mg；u = w角R，d t2+ ( ) y = 0 d2ykR2J + mR2 可得 y y y y o rS(P155) 6 用能量法· 势能零点

5、：平衡位置。· 势能：(rSy)gy· 系统能量：dyd tm( )2 + rS gy 2 = const. 12 ·两边求导，得d t2+ ( ) y = 0 d2y2rSgm ·角频率为2rSg m w = Ö2g L = Ö L为液体总长度，m = rSL (P162) 2已知x = 0处质元(波源)的振动曲线o2-2t(s)x(cm)1234x = 0·· 此曲线初相 = ？ 1.画x = 25m处质元的振动曲线· 由图 T = 4 s ；知l = uT = 20m· x = 0处质元的

6、初相 jo = - p/2 · x = 25m处质元的初相 x = 25m处质元的位相比x = 0处质元的 落后多少？ Dj = k×25 = 2.5p，(波数k = 2p/l = p/10) x = 25m处质元的初相j 25 = - 3p = - p2t(s)x(cm)123x = 25mo-24· x = 25m处质元 的振动曲线 也可先列出振动表达式再画振动曲线： ·x = 0处质元(波源)的振动表达式 x(0, t) = 2 cos(wt - p/2) cm·x = 25m处质元的振动表达式x(25, t) = 2 cos(wt -

7、p/2- k×25) cm = 2 cos(wt - 3p) cm = 2 cos(wt - p) cm 由此也可画x = 25m处质元的振动曲线。 2. 画t = 0处时刻的波形曲线 画法思路：(1)由o点(x = 0点)振动曲线， 初相jo = - p/2 ；2x(cm) t =0o-220l·x(m)25 t +Dtu·(2) 由图t = 0时， o点xo = 0且 向+x 向运动； (3)由波的表达式。 x(x, t) = 2 cos(wt - p/2- kx) cm 令t = 0，可画出t = 0时的波形曲线； 令t = 3s，可画出t =3s时的波形曲

8、线。 · t = 3s时刻的波形曲线也可直接由振动 曲线画出(t = 3s时x = 0点的振动为-A) 2x(cm) t =3s20l·x(m)u-2o· (P163) 5 已知x = 0点的振动曲线 1.画一些点的振动曲线x = 0x = l/4x = 2l/4x = 3l/4x = lxxxxx t t t t t o o o o o T T T T T··········abcde 思路：x = l/4 点在 t = T/4时 应重复x = 0点 在t = 0

9、时的振 动状态。 xoxl·····edcbau t = T 2.画t = T时的波形曲线 (P169) 3oDPxBC···入射波反射波·x(3/4)ll/6求D点合振动的表达式。方法一：由波的叠加 设参考点为o点，初相为j· 入射波 x入(x,t) = Acos(wt +j - kx)·反射波 x反(x,t) = Acoswt +j - k(3l/4) -k(3l/4) - x + p ·合成波-驻波 x(x,t) = 2A cos kx cos(wt +j ) 定j：因

10、t = 0时x = 0点x0 = 0，且向 负方向运动，由上式有， 0 = 2Acosj Þ j = p/2 合成波表达式 x(x,t)= 2A cos kx ×cos(wt + p/2)· D点合振动表达式 xD = (3l/4) - (l/6) = 7l/12x(xD,t ) = Ö 3 A sinw t方法二：由振动的叠加· 入射波引起的D点的振动 x入(xD,t) = Acoswt +j - k xD = Acoswt +j - k (7l/12)· 反射波引起的D点的振动 x反(xD,t) = Acoswt +j - k(3

11、l/4) - k(l/6) + p · D点的合振动表达式x(xD,t ) = Ö 3 A sinw t 找j的方法同方法一。oDPxBC··入射波反射波3l/4l/6···节节腹腹l/4l/2方法三：由驻波概念·波节、波腹位置 如图。·D点初相 o点初相： p/2 D点和o点反相，初相为-p/2· D点振幅(由驻波表达式) |2AcoskxD| = (3)1/2A 其中xD = 7l/12· D点的表达式振动 x(xD,t) = (3)1/2Acos(wt - p/2)x(xD,t

12、) = Ö 3 A sinw t 即 方法四：由旋转矢量法 按顺序画各振动的旋(1) Ao(2) Ao入(3) Ao反p/2-p/3-2p/3(4)AD入(5) AD反(6) ADx-p2 转矢量。 (1) o点合振动：Ao 依题意，·振幅：2A·初相：p/2(2) 入射波引起的o 点的振动：Ao入(3)反射波引起的o 点的振动：Ao反· o 点两分振动振幅：A· 因o 点是波腹，故o 点两分振动同相，初相均为p/2(4)入射波引起的D 点的振动：AD入· 振幅：A· 初相：入射波引起的D 点的振动比入 射波引起的o 点的振

13、动落后 Dj = k xD = k(7l/12) = 7p/6 j D入 = (p/2) - (7p/6) = - 2p/3(5)反射波引起的D 点的振动：AD反· 振幅：A· 初相：反射波引起的D 点的振动比入 射波引起的o 点的振动落后 Dj = k(oP + DP) = k(3l/4) + l/6 = 11p/6 j D反 = (p/2) - (11p/6) + p = - p/3(6) D点的合振动：AD 由AD入和AD反作矢量合成，可得ADÖ 3 A· 振幅： ·初相：-p/2(P171)5·lDx ydoap·&

14、#183;xr1u1r1u1r2u2S1S2I区II区波疏波密x1入x1反x2反 已知： xa = Acoswt； r1u1< r2u21. I区沿+x传播的波的表达式 x1入(x, t) = Acos(wt - w )， (x £ l)d + xu1 2. S1面上反射的波的表达式 x1反(x, t) = A1反cos(wt - w -p d + lu1l - xu1- w )(x £ l) = A1反cos(wt - w -p )， 2l +d- xu1 3. S2面上的反射波传回到I区中的波的表 = A2反cos(wt - w -w )， x2反(x, t) =

15、 A2反cos(wt - w - w (x £ l)d + lu1l - xu1- w )2Du22l +d- xu12Du2 达式 4.欲两列反射波在I区中加强，求D =？ (m = 0,1,2,) (- w -w ) - (- w -p) = ± 2mp 2l +d- xu12Du22l +d- xu1 Þ (2m+1) p2u2w ,D =(m = 0,1,2,) 当m = 0时，有p2u2w Dmin = l2/4 l2 = 2pu2w 其中 补充题1：S1、S2 为两相干波源，其距离l =10m，所发的波相对而行，已知S2的初相比S1领先p，·

16、·S1S2l - x·PxlOx·波长为2m。求S1、S2间因干涉而静止的点距S1的距离。解：取任意点P，距S1为x。· S1发的波引起P点的振动 · S2发的波引起P点的振动 · P点两振动的位相差 · 由减弱条件 (k = 0, ±1, ±2, ±3, )将l = 10m，l =2m代入，有 得静止点的位置为 当k= 0, 1, 2, 3,4 x = 5, 6, 7, 8, 9 m 处静止当k= -1, -2, -3,-4 x = 4, 3, 2, 1 m 处静止全部静止点的位置：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 m各处练习：用此法求S1、S2间因干涉而加强的点距S1的距离。补充题2：正在报警的警钟，每隔0.5s响一声，一声接一声地响着。某人正在以72km/h的速度向警钟所在地接近的火车中，问此人在5分钟内听到几声响?(设空气中的声速为340m/s)解：· 由题意，nS = 2Hz，vS = 0， vR = 72km/h = 20m/s，·由