圆锥曲线常考题型总结

1、0）相关的知识（三个“二次”问题）0（a 0）有两个不等的实数根Xi, X2，则bcx-1x2x-1x2aa3.求根公式：:若元一次方程ax2 bx cbb24acxi,22a0（a 0）有两个不等的实数根x, x2，则圆锥曲线大综合第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题- 常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值的问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围为题（本质是函数问题）题型一:存在性问题（存在点，存在直线y kx m，存在实数

2、，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆） 二热点问题1. 定义与轨迹方程问题2. 交点与中点弦问题3. 弦长及面积问题4. 对称冋题5. 范围问题6. 存在性问题7. 最值问题8. 定值，定点，定直线问题第二部分知识储备一.与一元二次方程 ax2 bx c 0（a1. 判别式：b2 4ac22. 韦达定理：若一元二次方程ax2 bx c二.与直线相关的知识1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式点到直线的距离公式：d Ax0A2By0B2C 5 或 dkx012y0k2b E）2.与直线相关的重要内容：倾斜角与斜率:y tan0,）;3.弦长公式

3、：直线 y kx b上两点A(x, yj, B(x2, y2)间的距离:ABk2 |x, x2.（厂k2）（人X2）24x1（或 ABy2）4.两直线h : yiky dlr? k?x2 d的位置关系: li I2ki k21 lWk1 k2且 b1 b25.中点坐标公式：已知两点A(X1,yJ, Bg, y2)，若点 M x, y线段 AB的中点，则x1 人y1 y2x 1-,y 122 2三圆锥曲线的重要知识考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线1. 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物

4、线的定义及几何性质。2. 圆锥曲线的标准方程：椭圆的标准方程 双曲线的标准方程 抛物线的标准方程3. 圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数a,b,c三者的关系，p的几何意义等4.圆锥曲线的其他知识：通径：椭圆2 b2丝，双曲线a2b2a，抛物线2p焦点三角形的面积：p在椭圆上时SPF? b2 tan-p在双曲线上时Svf PF b2 / tan 2四常结合其他知识进行综合考查1. 圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系2. 导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识3. 向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等4. 三角

5、函数的相关知识：各类公式及图像与性质5. 不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等五不同类型的大题(1) 圆锥曲线与圆例1.(本小题共14分)2 2已知双曲线C:笃爲 1(aa b0,b0)的离心率为3，右准线方程为x彳(I)求双曲线C的方程；(n)设直线|是圆O:x2 y2 2上动点P(x0, y0)(x0y0 0)处的切线，I与双曲线C交于不同的两点A, B，证明AOB的大小为定值【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.a23(I)由题意，得c 3，解得a 1,c -.3 ,

6、c 73a2 b2 c2 a2 2 ,所求双曲线C的方程为x2 1.22 2(n)点 P Xo,yo Xoyo 0 在圆 x y 2上，圆在点P x0, y0处的切线方程为y y00 x x0 ,yo化简得X0X2 .2由x2y_212 2 2 2 2 及 X0 y° 2 得 3x0 4 x 4x0x 8 2x0 0 ,x°xy°y22切线I与双曲线C交于不同的两点 A B,且0 xo 2 ,2 2 2 2- 3x。4 0,且 16x2 4 3x2 4 8 2x；0 ,设A B两点的坐标分别为则x x24X03x： 4，X1X28 2x22 ，3X04t cos

7、AOB-ttuu-uuOTOAOBuuu uuu OA OB，且uuu uuuOA OB x-|x21yy X1X22 2 沧为 2 x°x2 ,y。XjX24 2x0 x-i x2 Xo2Xo Xi X2【解法2】（I）同解法1.28 2xp3xo 48 2x03x0 48 2xoAOB的大小为90 .(n)点 P Xo,yoXoyo0 在圆 x2程为yyo鱼xyox0 ，化简得XoXyoy3xox2 4x0x8 2xf3x：48yoX 82xo 0切线I与双曲线C交于不同的两点2yo_8x|3xT0.2上,2 2Xo 8 2xo3xo圆在点PX2XoXA、B,且 o2 3x0 4

8、 0,设A、B两点的坐标分别为x1, y122则8 2xo2xo 8则 X1X22, Y1Y23x0 43x0 4uuu uuu- OA OB X1X22 且 Xoyo2Xo2,o方程的判别式均大于零）练习1:已知点A是椭圆Xo, yo处的切线方2y_2yoy 21 及 Xoyo2x22,X2,y2 ,AOB的大小为9o .2yo2，从而当的左顶点，直线23xo 40时，方程和I: x my 1(m R)与椭圆C相交于E,F两点，与x轴相交于点B .且当m o时, AEF的面积为.（I）求椭圆C的方程;(n)设直线 AE , AF与直线x 3分别交于 M , N两点，试判断以 MN为直径的 圆

9、是否经过点B ?并请说明理由.(2) 圆锥曲线与图形形状问题2x例2.1已知A, B, C是椭圆 W 一 + y2= 1上的三个点，0是坐标原点.4(1) 当点B是W的右顶点，且四边形 OAB(为菱形时，求此菱形的面积；(2) 当点B不是W的顶点时，判断四边形 OAB(是否可能为菱形，并说明理由.2X2解： 椭圆W + y = 1的右顶点B的坐标为(2,0).4因为四边形 OABC菱形，所以 AC与 OB相互垂直平分.1 22-.3.所以可设A(1 , m)，代入椭圆方程得 -+ m= 1，即m411所以菱形 OABC勺面积是丄| OB AC = x 2X 2| m =22假设四边形OABC为

10、菱形.因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y= kx + n(k*0,计0).4y24,kx m消 y 并整理得(1 + 4k2) x2+ 8kmx+ 4吊4= 0.设 A(X1, y1) , Qx2, y2),则 x1 x224 km y1 y22 ，1 4k22X1X22m1 4k2所以AC的中点为M4km m1 4k2 '1 4k2因为M为AC和OB的交点，所以直线 OB的斜率为 4k1因为k 工一1，所以AC与 OB不垂直.4k所以OAB(不是菱形，与假设矛盾.所以当点B不是W勺顶点时，四边形 OAB(不可能是菱形.练习1:已知椭圆C:2X2a2占 1

11、(a b0)过点(2 , 1)，且以椭圆短轴的两个端点和b2一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形 (I )求椭圆的标准方程； (n )设M (x, y)是椭圆C上的动点，P ( p,0)是X轴上的定点，求 MP的最小值及取最小值时点M的坐标.(3) 圆锥曲线与直线问题例3.1已知椭圆C : x2 2y24 ,(1)求椭圆C的离心率(2)设0为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OA 0B，求直线AB与圆2 2x y 2的位置关系，并证明你的结论2 2解析：椭圆的标准方程为：x 土 1,42直线b 、一 2 则2AB与圆xc 2，离心率e -ay 2相切证明如下:法一:设点Axoyot

12、 2，其中 xo0 uuuOB 0即txo2yoo,解得tB的坐标分别为luu因为0A丄0B，所以OA2yox。t2xo t时，y。-，代入椭圆C的方程，得2故直线AB的方程为X 2 圆心0到直线AB的距离d 2 2 2此时直线AB与圆x y 2相切.当xo t时，直线AB的方程为y 2竺二x t ,X。 t即 y。 2 xx。 t y 2x。 ty。 0 圆心O到直线AB的距离2xo tyoXo又 xf 2yf 4 , t2 2心4 £2xo xoxxo故 214 27T224yo,xo 8xo 16卜yO乂42x2 此时直线AB与圆x2 y22相切 法二：y kx，OA 丄 OB

13、 ,由题意知，直线 OA的斜率存在，设为 k，则直线OA的方程为当k 0时，A 2 ° ,易知B 0 2 ,此时直线AB的方程为x y 2或x y 2 ,原点到直线AB的距离为迈，此时直线AB与圆x22相切;当k 0时，直线OB的方程为y x，k联立kx2y22得点A的坐标 1 2k242kJ_2k222k22k.厂2加1联立xk得点B的坐标2由点A的坐标的对称性知，无妨取点A1 2k22k12k2进行计算,2k 2于是直线AB的方程为：y 21 2k x22k1 2k22kx 2k ,1 k.1 2k2即 k 1 2k2 x 1k ,1 2k2 y 2k2202k22原点到直线AB

14、的距离 2 2'.1 2k21 k-. 1 2 k2此时直线AB与圆2相切。综上知，直线 AB 一定与圆x2 y22相切法三：当k °时，A 2 0，易知B ° 2，此时OA 2 OB 2 ,AB 222 2，原点到直线AB的距离d OA OB 2 ?, 2 ,、|AB|2运此时直线AB与圆x2 y22相切；1当k 0时、直线OB的方程为y x、k设 A X1y1BX2y2，则 OATT X1、 OB，1厂y 2 1k22k2k联立y2 " 2得点A的坐标x2 2y241 2k21 2 k2 或1 2k21 2k2 ；于是 OA 1一k2 xA2.1k2O

15、B 2,1 k2 ,AB41 k21 2k2 2 1 k2,1 2k2所以dOA OBAB2.2 1 k22 ,直线AB与圆2Xy22相切;x1 2k2综上知，直线 AB 一定与圆x2 y22相切2x练习1：已知椭圆ab21(a b 0)过点(0,1)，且长轴长是焦距的 42倍过椭圆左焦点F的直线交椭圆C于A, B两点，O为坐标原点(I)求椭圆C的标准方程；(H)若直线 AB垂直于x轴，判断点O与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由;(川)若点O在以线段AB为直径的圆内，求直线 AB的斜率k的取值范围(4) 圆锥曲线定值与证明问题例4.1已知椭圆C的中心在原点 O,焦点在x轴上，离心率为

16、 二3，且椭圆C上的点到2两个焦点的距离之和为 4.(I)求椭圆C的方程；(n)设A为椭圆C的左顶点，过点 A的直线I与椭圆交于点 M，与y轴交于点N，过原点与I平行的直线与椭圆交于点 P .证明：| AM | | AN | 2 |OP |2 .2 2解：(I)设椭圆C的标准方程为 耸1(a b 0),a b2.22a be,由题意知3, 解得a 2, b 1.a 22a 4,2所以椭圆c的标准方程为y i. 5分4(n)设直线 AM的方程为：y k(x 2)，则N(0,2k).y k(x 2),曰2 222由 22 得(1+4k )x 16k x 16k40 (*).x 4y 4,设A( 2

17、,0)，M % , yj，则2，洛是方程(*)的两个根，所以x.2 8k21 4k2所以M(2 8k21 4k2| AM |(2(14k )24k2)16 16k2 (1 4k2)24、1 k21 4k2| AN | . 4 4k2 2 ,1 k2 .| AM | AN |4.1 k2 21 k228(1 k )1 4k21 4k2设直线OP的方程为：y kx y kx,22由x2 4y2 4,得(1旺以4 0 设 PS)，则 x02 忌，y024k21 4k244k214k2所以|OP |22 | OP |28 8k21 4k2所以 | AM | | AN | 2 | OP |2 例4.2:

18、已知椭圆C：X2b2a2(a>b>0)的离心率为,A( a,0 ) ,B(0,b),O( 0 ,0), OAB的面积为1.(I )求椭圆C的方程；(I I)设P的椭圆C上一点，直线 PA与Y轴交于点 M直线PB与x轴交于点No 求证：AN ? BM为定值。L4门)由已如得.e=|=yM阳=ab = 1."rftj Uaa = ba + ca.®< ihCD®嗚椭网方程为吕+护=1一(ID iS料圆上点P的奎标为(2也赠占皿)，又已知 岬耳QB直线PA芮方程为sinffy - -(X 2)2卬旳-2令“0.就可以得到制点屮标为三笃同样町以得到W的坐

19、标为【斗$4)1 $ iff o1細珅八丨刊恥d _ n11Il则闍府| =CW沪一】十1 一乱n白吟Qg吨)-2x练习1 :已知椭圆C : -y ab2 1(a b 0)的离心率为&椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3(I)求椭圆C的方程；(n )已知动直线y k(x 1)与椭圆C相交于A、B两点.若线段AB中点的横坐标1 7uuuT uur为 ，求斜率k的值；若点M (,0),求证：MA MB为定值2 3练习2:已知抛物线C : y 2 = 2 px (p> 0 ),其焦点为F, C为坐标原点，直线 AB (不垂直 于x轴)过点F且抛物线C交于A , B两点，直

20、线CA与 OB勺斜率之积为p .(1 )求抛物线C的方程；(2)若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点 D，求证：-|OD| >2|OM |练习3:动点P(x, y)到定点F(1,0)的距离与它到定直线l:x 4的距离之比为-.2(I )求动点P的轨迹C的方程；(H) 已知定点A( 2,0)，B(2,0)，动点Q(4,t)在直线I上，作直线 AQ与轨迹C的另一个交点为 M，作直线BQ与轨迹C的另一个交点为 N，证明：M , N, F三点共线.(5)圆锥曲线最值问题例5:已知椭圆C:爲 爲 1(a b 0)的离心率为 ，椭圆C与y轴交于A, B两点， a b2|AB|2.(I)求椭圆

21、C的方程；(H)设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧.直线PA, PB与直线x 4分 别相交于M , N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于两点E, F ,求点P横坐标的解: (I)由题意可得，b 1,ce -a2/曰 a213得一a4解a242椭圆C的标准方程为x 2y 1.4(n)设P(x), y°)(0x。2), A(0,1),所以kPAy010，直线PA的方程为yX。取值范围及| EF |的最大值.同理：直线PB的方程为y1 ,Xo1分 2分 3分.4分.5 分B(0, 1),y01x 1,x°6分直线PA与直线x 4的交点为M (4, 4(0°1

22、),直线PB与直线x 4的交点为N（4,卩1）,Xo线段MN的中点S,4）,'Xo所以圆的方程为(x 4)2 (y 4y°)2 (1 )2,XoXo令yo,则2(X 4)2 哼(1Xo、2 丿,Xo4因为2Xoyy：11，所以竺厂14Xo4所以(x4)25 o ,Xo因为这个圆与X轴相交,该方程有两个不同的实数解所以5o，解得 Xo ( ,2Xo5分10分11分128Q设交点坐标(x1,0),( x2,0)，则 | Xr x2 | 2 5 一 ( x02 )14Xo5所以该圆被X轴截得的弦长为最大值为2.练习1：2X已知椭圆C： -ya2b2 1 a的一个焦点为F（2，o），离心率为于。过焦点F的直线I与椭圆C交于A, E两点，线段 圆于M N两点。（1）求椭圆C的方程；（2）求四边形AMBN面积的最大值。AB点为D, C为坐标原点，过 Q 的直线交椭练习2：已知椭圆C : mX 3mf 1（m o）的长轴长为2-. 6， Q为坐标原点（I）求椭圆C的方程和离心率;(n)设点 A(3,0)，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若 |BA| |BP|，求四边形OPAB面积的最小值(6)圆锥曲线存在性问题22污例6.已知椭圆C : 笃笃 1 a b 0的离心率为 ，点P 0,1和点Am,n m 0 ab2都在椭圆C上，直线