电磁场与电磁波(矢量分析)

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析1.1 场的概念和表示法场的概念和表示法1.3 标量场的标量场的梯梯度度1.4 矢量场的通量矢量场的通量 散度散度1.5 矢量场的环流矢量场的环流 旋度旋度 1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理1.2 三种常用的坐标系三种常用的坐标系1.1 1.1 场的概念和表示法场的概念和表示法一 1、场的定义与分类：场的定义与分类： 一个一个确定区域确定区域中的场被定义为：物理系统中某中的场被定义为：物理系统中某物物理量理量在该区域的一种在该区域的一种分布分布。如果被描述的物理量是。如果被描述的物理量是标量，则定义的场被称为标量，则定义的场被称为标量场标量场；如果被描述的物；如

2、果被描述的物理量是矢量，则定义的场被称为理量是矢量，则定义的场被称为矢量场。矢量场。 场的分类：场的分类： 标量场与矢量场标量场与矢量场 静态场与时变场静态场与时变场2、场的描述与场函数：场的描述方法有多种：列表法、场的描述与场函数：场的描述方法有多种：列表法、函数法等，描述场在空间中分布的函数称为函数法等，描述场在空间中分布的函数称为场函数。场函数。 3、场的值或场量：、场的值或场量：物理量在场空间中一点的取值物理量在场空间中一点的取值 空间某一区域定义一个空间某一区域定义一个标量分布，标量分布，如温度如温度,电位电位,高度等，可以用一个标量函高度等，可以用一个标量函数来描述，数来描述，其值

3、随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。二、标量场二、标量场2225( , , ) (1)(2)xyzux y zxyz 三、矢量场三、矢量场 空间某一区域定义一个空间某一区域定义一个矢量分布，矢量分布，如速度场如速度场,电场、磁场等，可用一个矢量函电场、磁场等，可用一个矢量函数来描述数来描述, ,其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。)2() 1(5),(22zyxxyzttzyxuyzaxyaxazyxAzyx),(32),(yztaxytaxtatzyxAzyx1

4、.2 三种常用正交坐标系三种常用正交坐标系zzyyxxAaAaAaAzayaxaRzyx111dzdzhdydyhdxdxhzyx1.2.1 直角坐标直角坐标系系坐标变变化范围是坐标变变化范围是: : 右手螺旋法则右手螺旋法则 位置矢量位置矢量: :矢量表示：矢量表示：微分线元：微分线元：度量系数：度量系数：面积元：面积元： 体积元：体积元： xyzdzadyadxaRdzyxdydzdSxdxdzdSydxdydSzdxdydzdzyxaaazayaxaRzyx1.2.2圆柱坐标系圆柱坐标系坐标变化范围是坐标变化范围是:右手螺旋法则：右手螺旋法则：位置矢量：位置矢量：矢量表示：矢量表示：微分

5、线元：微分线元：面积元：面积元： 体积元：体积元： r020zzraaazaraRzrzzrrAaAaAaAdzardadraRdzrrdrddldldSdrdzdldldSdzrddldldSrzzrzrdzrdrddM点处沿点处沿(r, ,z)方向的长度元分别是：方向的长度元分别是：度量系数分别是：度量系数分别是： 11zrhrhhdzdlrddldrdlzr1.2.3球面坐标系球面坐标系坐标变变化范围是坐标变变化范围是:右手螺旋法则：右手螺旋法则：位置矢量：位置矢量：矢量表示：矢量表示：微分线元：微分线元：坐标线元：坐标线元：度量系数：度量系数：面积元：面积元： 体积元：体积元：2000

6、 raaarraRrAaAaAaArrdrardadraRdrsindrdlrddldrdlrsinsin1rhrhhrrdrddldldSdrdrdldldSddrdldldSrrrsinsin2ddrdrdldldldrsin21.2.4 三种坐标系的坐标变量之间的关系（1）直角坐标与柱坐标系的关系zzryrxsincoszzxytgyxr122（2）直角坐标与球坐标系的关系cossinsincossinrzryrxxytyzyxzzyxr12221222cos（3）柱坐标系与球坐标系的关系cossinrzrr22122coszrzzrr1.3 1.3 标量场的梯度标量场的梯度一、一、 方

7、向性导数与梯度方向性导数与梯度,uxyzc等值面等值面：标量场中量值相等的点构成的面：标量场中量值相等的点构成的面。方向性导数方向性导数 考虑标量场中两个等值面考虑标量场中两个等值面,uuu 00limlimuuuuuuuPMPMl 梯度梯度 由方向性导数的定义可知：沿等值由方向性导数的定义可知：沿等值面法线面法线 的方向性导数最大的方向性导数最大。故故标量场标量场 在在P点的梯度是一个矢量点的梯度是一个矢量大小：最大方向性导数大小：最大方向性导数方向：最大方向性导数所在的方向方向：最大方向性导数所在的方向, , ,u x y z为标量场为标量场 在在P点点沿沿 方向的方向的方方向性导数。向性

8、导数。其大小与方向其大小与方向 有关有关。, , ,u x y z 定义标量函数定义标量函数 沿给定方向沿给定方向 的变化率的变化率。( , , )u x y zllnagradnuuanluPNMuu lna可得可得gradluu al在直角坐标系中梯度的计算公式推导在直角坐标系中梯度的计算公式推导dzadyadxal dzyxdzzdyydxxdgradnuuancosnldudu dnduduaadldn dldndn()dugradudluPNMuu lnazayaxagradzyxuxyzaaaxyz 直角坐标系中哈密顿算符表示为zayaxazyx直角坐标系中梯度计算公式为zayax

9、agradzyx柱坐标系中的哈密顿算符和梯度计算公式为zararazr1zararagradzr1球坐标系中的哈密顿算符和梯度计算公式为sin11rarararsin11rararagradr1.4 矢量场的通量矢量场的通量 散度散度dSnds空间面元矢量：与面元垂直的单位矢量面元大小的指向有两种情况：（1）对开曲面上的面元， 的取法要求围成开表面的边界走向与 满足右手螺旋法则（2）对闭合面上的面元， 一般取外法线方向nnn一、通量一、通量n 矢量场的通量 若若S 为闭合曲面为闭合曲面 定义定义矢量矢量 沿有向曲面沿有向曲面S 的面积分的面积分为为矢量矢量 穿过有向曲面穿过有向曲面S 的通量的

10、通量二、散度二、散度 如果包围点如果包围点P 的闭合面的闭合面S 所围区域所围区域 以任意方式缩小为点以任意方式缩小为点P 时时, , 通量与通量与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场 在在P 点的散度。点的散度。即即SA dS dsAS cosSAds 0limSAd Sdiv A AAA三、散度的物理意义三、散度的物理意义 散度代表矢量场的通量源的分布特性。散度代表矢量场的通量源的分布特性。 A A = = 0 (0 (无源无源） 在矢量场中，若在矢量场中，若 = 0，称之为有源场，称之为有源场， 称为称为( (通量通量) )源密度；若矢量场中处处源

11、密度；若矢量场中处处 =0，称之为无源场。，称之为无源场。 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。 = = 0 (0 (正源正源) )= = 0 (0 (负负源源) ) A A A A A 散度的计算公式的推导：散度的计算公式的推导： szzyyxxsdSAdSAdSASdA在直角坐标系中，在直角坐标系中，曲面上的通量可表示为曲面上的通量可表示为 AszzyyxxsdSAdSAdSASdA 在闭合面上在闭合面上 的通量为的通量为 ),(zyxzyx,AA在直角坐标系中，研究的点在直角坐标系中，研究的点P P为顶点作一个平行六面体，为顶点作一个平行六

12、面体，矢量矢量的通量为的通量为穿出三对表面的通量之和。穿出三对表面的通量之和。 其三个边分别为其三个边分别为穿出此六面体表面穿出此六面体表面左右一对表面穿出的净通量左右一对表面穿出的净通量 ()yyyyAAAx zAyx zx y zyy ()zzzzAAAx yAzx yx y zzz 上下一对表面穿出的净通量上下一对表面穿出的净通量前后一对表面穿出的净通量前后一对表面穿出的净通量()xxxxAAAy zAxy zx y zxx ()()yyxxzzsAAAAAAA dSx y zxyzxyz zAyAxASdALimzyxs0zAyAxAAdivzyx故从平行六面体穿出的净通量为故从平行六

13、面体穿出的净通量为 代入式散度计算公式得代入式散度计算公式得 直角坐标系中的散度计算公式为直角坐标系中的散度计算公式为 矢量场 的散度可表示为哈密顿微分算子与矢量 的标量积， 即 d ivAA zAyAxAAdivzyxzAArrArrAdivzr1)(1ArArArrrAdivrsin1)(sinsin1)(122直角坐标系中的散度计算公式为 柱坐标系中的散度计算公式：球坐标系中的散度计算公式：AA四、高斯定理四、高斯定理( (散度定理散度定理) )0divlimdSAAS n1=-n2n1n2111divdSAAS 222divdSAAS )divdVAdSAS 高斯定理高斯定理ddiv

14、ddSvvASAA 对于有限大体积对于有限大体积 ，可将其按如图可将其按如图方式进行分割，对每一小体积元有方式进行分割，对每一小体积元有式中式中S为为 的外表面的外表面 该公式表明了区域该公式表明了区域 中场与边界中场与边界S上上的场的场 之间的关系。之间的关系。0limSAd Sdiv A A例1.4.1 点电荷 位于球坐标原点，此电荷的电场强度在空间中分布如下（1）计算在 的球面上，电场强度 穿出的通量。（2）计算空间各点（ ）电场强度 的散度。 解：位于坐标原点的电荷的电场，电场强度的方向总在 方向上，呈发散状分布。在 球面上任取一面元 ，则 在 球面上的通量为 对于 的空间各点，电场强

15、度 的散度为 图1.4.4 点电荷的电场与Adivq2041rqaEr0rr E0rEra0rr ddrrqdSESdErrsin412200rr E0202200sin41qddrrqSdEs0r0)4(1)(10222qrrErrrEr1.1.5 5 矢量场的矢量场的环流环流 旋度旋度一、环流一、环流定义矢量场定义矢量场 沿空间有向闭合曲线沿空间有向闭合曲线C的积分的积分 dcAl 为为 的的环流环流。n SS 环流的计算ACPA A 旋涡场在空间中的分布形态可从两个方面来描述:(一) 旋涡场在空间中旋转的快慢程度(二) 旋涡场的旋转面在空间中怎样取向dlaldlCA环流越大，场在C 围成

16、的面上旋转越快。(a)S 面与旋涡面垂直 (b) S面与旋涡面相交 (c) S面与旋涡面平行 图1.5.3 C上环流的三种情况090cl dA0090cl dA0可以证明，在发散场中，对于任选的空间闭合曲线 C上的环流恒为零。二、旋度二、旋度1. 1. 环流密度环流密度 过点过点P 作一微小曲面作一微小曲面S,它的边界曲线记为它的边界曲线记为C,面的法线方向与曲线绕向成右面的法线方向与曲线绕向成右手螺旋关系。当手螺旋关系。当S 收缩至收缩至P 点附近点附近时时, ,存在极限存在极限0dlimcSAlS 该极限值与该极限值与S 的形状无关，但与的形状无关，但与S的方向的方向 有关有关。称为。称为

17、矢量场矢量场 在在P 点沿方向点沿方向 的的环流密度环流密度2. 2. 旋度旋度 旋度是一个矢量，模值等于环流密度的最大值；方向为最大环流密度的方向。旋度是一个矢量，模值等于环流密度的最大值；方向为最大环流密度的方向。用用 表示表示rot A 它与环流密度的关系为它与环流密度的关系为0dlimro tcnSAlAaSA nn在直角坐标系中，AcurlaAcurlaAcurlaAcurlzzyyxx图1.5.4 直角坐标系中 的AcurlxcSxSldALimAcurlxx0ycSySl dALimAcurlyy0zcSzSldALimAcurlzz0三、旋度的物理意义三、旋度的物理意义 矢量的

18、旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点点P的旋度的大小是该点环流密度的最大值。的旋度的大小是该点环流密度的最大值。 点点P的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。zAyzzAAzyyAAyAl dAzyyzzycx)()(zyzAzyyAyz于是：zAyASl dALimAcurlyzxcSxxx0同理：xAzASl dALimAcurlzxycSyyy0yAxASl dALimAcurlxyzcSzzz0)()()(yAxAaxAzAazAyAaAcurlxyzzxyyzx则：)()(zzyyxxzyxAaAaAazayaxazyxzyxAAAzyxaaaA=柱坐标系中：rzzrzrArArrarAzAazAAraA)()()1(行列式形式为：zrzrArAAzraararA1球坐标系中：rrrArArrarArAraAAraA)()(sin1)(sinsin行列式形式为：ArrAArarararArrsinsinsin12旋度有两个