Chapter12能量原理与变分法

1、1- -1 弹塑性力学的研究对象和任务弹塑性力学的研究对象和任务1- -2 基本假定基本假定1- -3 弹性与塑性弹性与塑性12.1 弹性体的形变势能 1.问题的提出： （1）从前面已讨论的问题可以看出：求解偏微分方程的某种 边值问题。 空间问题：泛定方程含有15个未知量，15个偏微分方程 平面问题：泛定方程含有8个未知量，8个偏微分方程 给定边界条件，求解这两组方程在一般情况下是极其困难的 有时是不可能的 （2）考虑到求解偏微分方程的困难，另一个途径则是通过积 分的形式来试图解决问题，这就是变分法的基本思想。体现在 弹塑性力学中，就称之为能量法。即通过能量的概念将求解的 偏微分方程问题转变为

2、求解泛函数的极值问题。（3）能量法是和弹性体的形变势能密切相关的，因此在研究变分法之前先说明弹性体的形变势能与应力，应变，位移之间的关系，并导出相应的计算公式（4）要注意各能量原理的应用范围2.形变过程的热力学本质：（1）变形特点：物体变形过程，其本质是一个热力学过程。 等温过程： 绝热过程：（2）热力学第一定律：QAUK其中 K为t时间间隔内物体变形的动能变化 U 为t时间间隔内物体变形的内能变化 A为t时间间隔内物体变形时外力功的变化 Q为t时间间隔内物体变形时热能的变化 设物体的体积为V，表面积为S,受外力Fi,面力为Ti，变形时其位移为Ui,，应变为ij，应力为,ij则物体的动能 Vi

3、idVuuK21其中tuuii为速度viidVuuk iiiiiiiiiuuttuutuuuuu )21(2外力功的变化SiiViidsuTdVuFA由外力边界条件jijilT并利用高斯积分公式则面积分dsludsuldsuTjiijsijijsii)(VjiijVjijijVjiijsiidvudvudvudsuT,)(注意到ijijijjiijijijuuuuu)(21)(21,其中ij为应变张量 ij为刚性位移转动张量 从而有vijijvijijsiidvdvudsuT,vijijivjijidvdvuFA)(,QdvdvuuFQKAUVvijijiiijij)(, QdvUvijijV

4、ijijdVU对子绝热过程，有在平衡状态下，k=0 有VijijdVAU即：在平衡状态下，外力所做的功等于物体中应变能有变化， 或者说：外力新做有功,全部转化为物体的应变能记单位体积的应变能增量ijijU0即VdVUU0ijijijdU00ijijijdU00ijijijdU0*0应变余能显然有ijijdUU*00 xx记单位体积 的应变能函数3.应变能与应变余能： 定义（单位体积）应变能： 在线弹性状态下，应变比能（单位体积的应变能）和应变比余能）分别为：ijiju210ijiju21*0 xx4.应变能的表达式：(1)应变比能 （即单位体积的应变能，也叫变形比能或形变势 能密度）ijijd

5、u0在线弹性状态下)(210zxzxyzyzxyxyzyyxxzzzzu利用广义Hooke定律ijijijEvEv1或ijijije2期中zyxijzyxije代入得)(1 ( 2)(2)(212222220zxyzxyxzzyyxzyxzzzvvEu)(21)(21)1 ( 222222220zxyzxyzyxevvvEu或*以应变分量表示应变比能2220111121zxyzxyzzyyxxCCCGvvEvvEvvEU)(1 ( 2)(1 (2122222220zxyzxyzyxCCCvvVEU)(21)(21)1 ( 222222220zxyzxyzyxevvvEu)(1 ( 2)(1 (

6、 221)(1 ( 2)(2)(2122222222222220zxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyxvvEvvEu*以变分量表示应变比能)()(221)()2()2()2(2122222222220zxyzxyzyxzxyzxyzzyyxxeeeeu)(21)(21)1 ( 222222220zxyzxyzyxEvvvEu（2）变形能U0 a.U是位置坐标的函数： 在一般的情况下，弹性体受力并不均匀，各应力分量ij和应变 分量 ij 一般都是位置坐标的函数，因而比能 一般也是位置坐标的函数),(zyxijij),(zyxijij),(00zyxuu dxdydzzuxwywzvxv

7、yuzwyvxuzwyvxuvvvEu)(21)(21)(21)()()()(21)1 ( 2222222（3）弹性体的比能U0对任一应力分量的改变率，就等于相应的应变分量。弹性体的比能U0对任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量考察xzyxzyxxvEvEu)(1)(22 2106.整个弹性体的变形能U：dxdydzevvvdxdydzvvEdxdydzdxdydzuuzxyzxyzyxzxyzvxyxzzyyxzyxzxzxyzyzxyxyzzyyvxxv)(21)(21)1 ( 21)(1 ( 2)(2)(21)(2122222222222220 xyxyxyxyxyGEvvEu1)

8、1 (22)1 (2210 xxxxeevvvEu2)2221()1 (20 xyxyxyxyxyGvEu)1 (20其中)21)(1 (vvve)1 (2vEG一般地，由虚应变比能：ijiju0考虑)(00ijuu的全微分：ijijuu00故有ijiju0又由虚应变比余能：ijiju*0考虑)(*0*0ijuu的变分ijijuu*0*0故有ijiju*0在弹性范围内*00uu 11.2位移变分方程：虚位移原理 1.位移变分虚位移设有任一弹性体，在一定的外力作用 下处于平衡状态u,v,w为弹性体中实际产生的位移分量kwj vi uu位移u,v,w 满足（1）有关的基本方程：用位移表示的平衡方程

9、 （2）有关的边界条件：位移边界条件 用位移表示的外力边界条件 假想u,v,w发生了位移边界条件新容许的微小变化，即所谓的位移变分或位移u, v, wuuu记为kwjvvi uu或uukwjviuuuuuvvvwww*微分与变分：坐标x,函数u微分：x+dx u+du 函数U(x)变分：x u+u 泛函：I(u)由虚位移（或位移变分）引起的能量改变： 根据热力学第一定律，在没有温度改变，即无热能，动能改变时，依据能量守恒定律，形变能的改变也就等于外力所做的功。 因此，由虚位移（或位移变分）引起的能量改变也应符合这一规律。外力在虚位移上所做的虚功：体力的虚功=dvuFdxdydzwZvYuXiv

10、i)(由虚位移引起的能量改变虚应变能：面力的虚功=siisdsuTdswZvYuX)(dvdxdydzuvijijvzxzxyzyzxyxyzzyyxx)(虚功：siiviidsuTdvuFA*注意到：弹性变形产生时，形变能增加，外力势能减小 形变能减少，外力势能增加2.虚岁位移原理：在外力作用下处于平衡状态的变形体，当给予物体微小虚位移时外力的总虚应变能，即有：wu或tsiiviivijijdsuTdvuFdv虚位移原理的位移变分方程证明（1）必要性：由平衡方程0,ijijF给一虚位移ui,满足边界条件:在Su上，iiuu 0iu在 ST 上，jijilT其中 S=Su+ST, S为整个边界

11、 Su为给定位移的边界 ST为给定外力的边界考察svjiijjiijvvjiijjiijvvijijiidvludsludvudvudvudvuF,)(由于在Su上0iu在ST上ijijTl 故ssiijiijTdsuTdslu考虑到i,j的变化，应有ijjijiijuu,又jiij故有ijijijjiijijjijiijjiijuuuuu)(21)(21,*（或注意到ijijijjiijijijwuuuuu)(21)(21,则平衡时无刚性位移0ijw或应力在刚性位移上不做功从而有ijijjiiju,）于是得到vvsiiiiijijTdsuTdvuFdv(2)充分性：由wu即vviiijijdvuFdv 简支梁支均布载荷作用设挠度曲线xexcwnnenmmmmnnneedxcmxmexmncxnexnEIdxwwEIdxwEIu0121201111121111112虚变性能：虚功emmmeedxcxeqxwdxqqwdxw000虚位移原理给出：dxxlqxdxcxmexmxnexnnmEIemnnmmenn0120121111, 2 , 1m 只取一项：m=1,n=1, 有eedxxeqxdxcEI0