第07章02一阶微分方程

1、第2节 一阶微分方程2.1 变量已经分离的方程（i）辨认类型：（ii）解法：两边积分得通解（解析：（1）这是隐函数的通解；（2）任意常数已经单独写出，做不定积分时不需写任意常数。）2.2可分离变量的方程（i）辨认类型：（ii）解法：（a）变型为变量已经分离的方程；（b）两边积分得通解 以上解方程的方法称为分离变量法。方法虽然简单，但是，分离变量法是微分方程解法的总根。不管什么方程最后都分离变量求通解。【例2.1】解方程.解、原方程分离变量为。两边积分通解【例2.2】求方程满足初始条件的特解解、原方程分离变量为。两边积分通解 把代入通解得。所求特解为2.3可化为可分离变量型的方程齐次方程（i）辨

2、认类型：（ii）解法：（a）作变量代换即（为新的未知函数，出来了也就有了）。方程变为（b）分离变量两边积分代回得通解【例2.3】求解解、（只有方程没有条件即要求通解。）原方程变型为。作变量代换，方程变为分离变量两边积分代回得通解【例2.4】求满足初始条件的特解解、原方程变型为。作变量代换，方程变为分离变量两边积分代回得通解即（。）把代入上通解得。所要求的特解是【例2.5】求解第1节例1.2中方程解1、原方程变型。作变量代换，方程变为分离变量两边积分代回得通解解2、原方程变型（作自变量，作函数）。作变量代换，方程变为分离变量两边积分代回得通解（此例告诉我们，和用哪个作函数哪个作自变量是人为的，看

3、怎么简单而定。）2.4一阶线性微分方程（i）辨认类型：（ii）解法：先解齐次方程。 分离变量。两边积分得的通解。再解非齐次方程。把的通解中的任意常数改为新的未知函数，设的解为（这称为常数变异法）。代入变为所以的通解为（任意常数已单独写出，做不定积分是不写任意常数。） 为了避免复杂的推导，一般把上式默写下来作为通解公式来应用。因此，求非齐次方程通解的方法：（1）求不定积分；（2）把的结果代入求不定积分；（3）把和的结果代入公式直接得到的通解。【例2.6】解方程.解、要解的方程是一阶线性方程。，。通解【例2.7】求解、如果把作未知函数，则方程为。它不是线性方程，我们也不认识它的类型。如果把作自变量

4、作未知函数，则方程为。此是一阶线性方程。，。通解，即（此例说明，和用哪个作函数哪个作自变量结果简繁是不一样的。一般用简单的作函数，用复杂的作自变量。）【例2.8】在高空跳伞的过程中，设跳伞者（含降落伞）的质量为，在跳伞的下落过程中，跳伞者除受到重力的作用外，还受到空气阻力的作用，阻力大小与下降速度成正比。设降落伞离开跳伞塔时（）的速度为0，求降落伞下落速度与时间的函数关系。解、设下降速度为，这是未知函数。先作受力分析。重力，阻力（大小与速度成正比，方向与速度相反）。加速度。根据力学原理建立微分方程，即这是一个线性方程。通解，即把代入得。降落伞下降的规律2.5伯努利方程（i）辨认类型：。（线性方

5、程，可分离变量。所以。）（ii）解法：整理。与线性方程的差别主要在。 作变量代换，。代入之这是线性方程。通解为的通解【例2.9】求方程的通解解、整理。 作变量代换，。代入之。原方程的通解习题讲解1用分离变量法求下列方程的通解：(3) (4) 解、(3)分离变量。两边积分得。通解（4）分离变量。两边积分得。通解（本来，但是，经验证也是原方程的解，取消的限制。）2求下列微分方程初值问题的解：(5) ，解、分离变量。两边积分得。通解把代入得。所求的特解是4用适当的变量代换求解下列微分方程：(1) ；(3) 解、(1)整理。这是齐次方程。作变换。分离变量。两边积分。通解（3）整理。这是齐次方程。作变换

6、。分离变量。两边积分。通解把代入得。所求的特解是5设微分方程，其中为连续函数，为常数证明：(1) 若，则可选适当变换（如）将该方程化为变量分离的方程；(2) 若，则可选变换（如）将该方程化为变量分离的方程；(3) 若，且不同时为零则可选取常数与，使变换，把该方程为齐次方程证、（1）设。作变换。原方程变为。这是一个可分离变量的方程。（2）设。整理为。作变换。原方程变为。这是一个可分离变量的方程。（3）设且不全为零。作变换（待定）。原方程变为，即。方程组有非0解。作变换，原方程变为，即。这是一个齐次方程。6求下列线性微分方程的解： (6) 解、方程变形为。这是一阶线性方程。，。通解，即把代入得。所

7、求的特解是9设函数在连续，若由曲线，直线，（）与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为，试求所满足的微分方程，并求该微分方程满足初值条件的特解解、根据体积的计算，。所以。两边对求导得。所满足的微分方程为。整理为。作变换。方程变为。分离变量为。两边积分得，即，。把代入得。代回得特解10设满足，求函数解、等式两边对求导得。这是一个线性方程，。通解。由知。所以B类1求解下列微分方程：(1) ；(3) ； (12)，解、(1)作变换，方程变为。分离变量为。两边积分得。通解。（3）如果用作函数，方程变为。这是一个我们不认得类型的方程。改用作函数。方程变型为。这是一个线性方程。，。通解，即。（

8、12）方程变为。分离变量为。两边积分得。通解（本来，但是，经验证也是原方程的解，取消的限制。）把代入得。所求的特解是2. 小船从河边点处出发驶向对岸（两岸平行），设船速为，船行驶方向始终与河岸垂直，又设河宽为，河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为），求小船的航行路线解、以河岸为轴作原点建立直角坐标系。得方程。分离变量为。两边积分。把代入得。小船的航行路线方程是。习题72A类1用分离变量法求下列方程的通解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；*(5) ；(6) 2求下列微分方程初值问题的解：(1) ，；(2) ，；*(3) ，；(4) ，；*(5) ，；(6) ，3

9、质量为的质点受力作用作直线运动，该力和时间成正比，和质点运动的速率成反比，在时，速率等于，力为，问从运动开始经过了一分钟后的速率是多少?4用适当的变量代换求解下列微分方程：(1) ；(2) ；*(3) ；*(4) ，*5设微分方程，其中为连续函数，为常数证明：(1) 若，则可选适当变换（如）将该方程化为变量分离的方程；(2) 若，则可选变换（如）将该方程化为变量分离的方程；(3) 若，且不同时为零则可选取常数与，使变换，把该方程为齐次方程并用上述方法分别求解微分方程：(1) ；(2) ；(3) 6求下列线性微分方程的解：(1) ；(2) ；(3) ；*(4) ；(5) ，；*(6) 7求下列伯

10、努利方程的通解：(1) ；(2) ；*(3) ；*(4) 8一曲线经过点，曲线上任一点到两坐标轴的垂线与两坐标轴构成的矩形被该曲线分为两部分，其中上面部分的面积恰好是下面部分面积的两倍，求该曲线的方程*9设函数在连续，若由曲线，直线，（）与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为，试求所满足的微分方程，并求该微分方程满足初值条件的特解10设满足，求函数B类1求解下列微分方程：(1) ；(2)(3) ；(4) ；*(5) ；*(6) ；(7) ；(8) ；*(9) ；*(10)；(11)，；(12)，*2. 小船从河边点处出发驶向对岸（两岸平行），设船速为，船行驶方向始终与河岸垂直，又设河宽为，河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为），求小船的航行路线3. 容器内有升的盐水，含的盐现以的均匀速率往容器内注入净水（假