初中数学中考复习二次函数第07讲通用学生版

1、中考要求例题精讲一、二次函数的定义一般地，形如 y = ax2 + bx + c （ a ，b ，c 为， a ¹ 0 ）的函数称为 x 的二次函数，其中 x 为自变量，y 为因变量， a 、b 、c 分别为二次函数的二次项、一次项系数注意：和一元二次方程类似，二次项系数 a ¹ 0 ，而b 、c 可以为零二次函数的自变量的取值范围是全体实数二、二次函数的图象1二次函数图象与系数的关系（1） a 决定抛物线的开口方向当 a > 0 时，抛物线开口；当 a < 0 时，抛物线开口向下反之亦然a决定抛物线的开口大小： a越大，抛物线开口越小； a越小，抛物线开口越大

2、相等，则其形状相同，即若a 相等，则开口及形状相同，若温馨提示：几条抛物线的式中，若 aa 互为相反数，则形状相同、开口相反（2） b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴： x =- b ）2a当b = 0 时，抛物线的对称轴为 y 轴； 当 a 、b 同号时，对称轴在 y 轴的左侧；当 a 、b 异号时，对称轴在 y 轴的右侧（3） c 的大小决定抛物线与 y 轴交点的位置（抛物线与 y 轴的交点坐标为(0 ，c) ）当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为原点；MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.中考复习.二次函数（一）.第 7 讲.学生版Page 1 of 11内容基

3、本要求略高要求较高要求二次函数了解二次函数的意义；会利用描点法画出二次函数的图像能通过分析实际问题中的情境 确定二次函数的表；能从图像上认识二次函数的性质；会根据二次函数的式求其图象 与坐标轴的交点坐标，会确定图像的顶点、对称轴和开口方向； 会利用二次函数的图像求出一 元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题二次函数（二）当c > 0 时，交点在 y 轴的正半轴； 当c < 0 时，交点在 y 轴的负半轴2.二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y = ax2 + bx + c 化为顶点式 y = a(x - h)2 +

4、 k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点(0 ，c) 、以及(0 ，c) 关于对称轴对称的点(2h ，c) 、与 x 轴的交点( x1 ，0) ， ( x2 ，0)（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点3.点的坐标设法一次函数 y = ax + b （ a ¹ 0 ）图像上的任意点可设为( x1，ax1 + b) .其中 x1 = 0 时，该点为直线与 y 轴交点. 二次函数 y = ax + bx + c

5、（ a ¹ 0 ）图像上的任意一点可设为 x ，ax + bx + c) . x = 0 时，该点为抛(221111物线与 y 轴交点，当 x =- b 时，该点为抛物线顶点12a点( x1，y1 ) 关于( x2 ，x2 ) 的对称点为(2x2 - x1，2 y2 - y1 ) 4.二次函数的图象信息根据抛物线的开口方向a 的正负性b- 的大小根据抛物线的对称轴2a根据抛物线与 y 轴的交点，根据抛物线与 x 轴有无交点，c 的大小b2 - 4ac 的正负性根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于 a，b，c 的等式4ac - b2根据抛物线的顶点，的大小4a三、二次函数的图象及

6、性质1 二次函数 y = ax2（a ¹ 0）的性质：抛物线 y = ax2 的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是 x = 0 （ y 轴）函数 y = ax2 的图像与 a 的符号关系当 a > 0 时Û 抛物线开口Û 顶点为其最低点；当 a < 0 时Û 抛物线开口向下Û 顶点为其最高点；MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.中考复习.二次函数（一）.第 7 讲.学生版Page 2 of 11a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0(0 ，0)y 轴x > 0 时， y 随 x 的增大而增大；x < 0

7、时， y 随x 的增大而减小； x = 0 时， y 有最小值0 a < 0向下(0 ，0)y 轴x > 0 时， y 随 x 的增大而减小；x < 0 时， y 随x 的增大而增大； x = 0 时， y 有最大值0 2二次函数 y = ax2 + c(a ¹ 0) 的性质3 二次函数 y = ax2 + bx + c（a ¹ 0）或 y = a(x - h)2 + k （ a ¹ 0 ）的性质ìa > 0开口方向： ía < 0 Û向下î对称轴： x =- b （或 x = h ）2ab 4

8、ac - b2顶点坐标： (-,) （或(h, k) ）2a4a最值：yOx图1图24ac - b24ac - b2a > 0 时有最小值a < 0 时有最大值（或 k ）（如图 1）；（或k ）（如图 2）；4a4a单调性：二次函数 y = ax2 + bx + c （ a ¹ 0 ）的变化情况（增减性）如图 1 所示，当 a > 0 时，对称轴左侧 x <- b ，y 随着 x 的增大而减小，在对称轴的右侧 x <- b，2a2ay 随 x 的增大而增大；如图 2 所示，当 a > 0 时，对称轴左侧 x <- b ， y 随着 x 的增

9、大而增大，在对称轴的右侧 x <- b ，2a2ay 随 x 的增大而减小；与坐标轴的交点： 与 y 轴的交点：（ 0 ， C ）； 与 x 轴的交点： 使方程 ax2 + bx + c = 0 （或a(x - h)2 + k = 0 ） 成立的 x 值例题精讲【例1】把抛物线 y = ax2 + bx + c 的图象先向右平移3 个，再向下平移 2 个，所得的图象的式是 y = x2 - 3x + 5 ，则 a + b + c =MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.中考复习.二次函数（一）.第 7 讲.学生版Page 3of 11a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0(

10、0 ，c)y 轴x > 0 时， y 随 x 的增大而增大；x < 0 时， y 随x 的增大而减小； x = 0 时， y 有最小值c a < 0向下(0 ，c)y 轴x > 0 时， y 随 x 的增大而减小；x < 0 时， y 随x 的增大而增大； x = 0 时， y 有最大值c 【例2】如图， ABCD 中， AB = 4 ，点 D 的坐标是(0 ， 8) ，以点C 为顶点的抛物线 y = ax2 + bx + c 经过x 轴上的点 A ， B 求点 A ， B ， C 的坐标 若抛物线平移后恰好经过点 D ，求平移后抛物线的式【例3】 设抛物线 y

11、= 2x2 ，把它向右平移 p 个恰好有一个交点，求 p 、 q 的值，都能使抛物线与直线 y = x - 4，或向下移q 个，则得到的抛物线经过点(1，3) 和 把抛物线 y = 2x2 向左平移 p 个(4 ，9) ，求 p 、 q 的值 把抛物线 y = ax2 + bx + c 向左平移3 个平移 q 个，后，所得抛物线为 y = ax2 ，其图，向下移 2 个象经过点æ -1，- 1 ö ，求原式ç2 ÷èøMSDC 模块化分级讲义体系初中数学.中考复习.二次函数（一）.第 7 讲.学生版Page 4 of 11DCOAB【

12、例4】如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P 为函数 y = 1 x2 在第一象限内的图象上的任一点，点 A 的坐标为4(0 ，1) ，直线l 过 B (0 ，-1) 且与 x 轴平行，过 P 作 y 轴的平行线分别交 x 轴、直线l 于C、Q ，连结 AQ 交 x 轴于 H ，直线 PH 交 y 轴于 R 求证： H 点为线段 AQ 的中点； 求证：四边形 APQR 为菱形； 除 P 点外，直线 PH 与抛物线 y = 1 x2 有无其它公共点？若有，求出其它公共点的坐标；若没有，4请说明理由yPAOCxHlBQR【例5】如图，已知抛物线 y = a(x -1)2 + 3 3(a ¹

13、; 0) 经过点 A(-2，0) ，抛物线的顶点为 D ，过 O 作射线OM AD 过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线OMC ， B 在 x 轴正半轴上，连结 BC （1）求该抛物线的式；（2）若动点 P 从点O 出发，以每秒 1 个长度的速度沿射线 OM 运动，设点 P 运动的时间为t(s) 问当t 为何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC = OB ，动点 P 和动点Q 分别从点O 和点 B 同时出发，分别以每秒 1 个长度和 2 个长度 的速度沿OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为t (s) ，连

14、接 PQ ，当t 为何值时，四边形 BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时 PQ 的长MyDCPBAOQxMSDC 模块化分级讲义体系初中数学.中考复习.二次函数（一）.第 7 讲.学生版Page 5 of 11【例6】在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y = mx2 + (m - 3)x - 3 （ m > 0 ）的图象与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交（1） 求点 A 的坐标；（2） 当ÐABC = 45° 时，求 m 的值；C （3）已知一次函数 y = kx + b ，点 P(n, 0) 是 x 轴上的一个动点，

15、在（2）的条件下，过点 P 垂直于 x轴的直线交这个一次函数的图象M ，交二次函数 y = mx2 + (m - 3)x - 3 （ m > 0 ）的图象于N 若只有当-2 < n < 2 时，点 M 位N 的上方，求这个一次函数的式【例7】在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = - m -1 x2 + 5m x + m2 - 3m + 2 与 x 轴的交点分别为原点O 和44点 A ，点 B ( 2, n )在这条抛物线上（1）求点 B 的坐标；（2）点 P段OA 上，从O 点出发运动，过 P 点作 x 轴的垂线，与直线OB 交E 延长 PE到点 D 使得 ED =

16、PE 以 PD 为斜边，在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD （当 P 点运动时，C 点、 D 点也随之运动）,当等腰直角三角形 PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；若 P 点从O 点出发向 A 点作匀速运动，速度为每秒 1 个，同时线段OA 上另一点Q 从 A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2 个（当Q 点到达O 点时停止运动， P 点也同时停止运动）过Q 点作 x 轴的垂线，与直线 AB 交 F 延长QF 到点 M ，使得 FM = QF ，以 QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当Q 点运动时， M 点， N 点也随之运动）若 P 点运动到t 秒时

17、，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.中考复习.二次函数（一）.第 7 讲.学生版Page 6 of 11，抛物线 y = ax2 + bx + c 经过原点O ，与 x 轴交于另一点 N ,直线 y = kx + 4 与两坐标轴【例8】分别交于 A 、 D 两点，与抛物线交于 B(1, m) 、C(2, 2) 两点.（1）求直线与抛物线的式.（2）若抛物线在 x 轴上方的部分有一动点 P(x, y) ，设ÐPON =，求当PON 的面积最大时tan a 的值.（3）若动点 P 保持（2）中的运动路线，问是否存在点

18、P ，使得POA 的面积等于PON 面积的8？若存在，请求出点 P 的坐标;若不存在，请说明理由.15【例9】如图，已知直角梯形 OABC 的边OA 在 y 轴的正半轴上， OC 在 x 轴的正半轴上， OA = AB = 2 ，OC = 3 ，过点 B 作 BD BC ，交OAD 将ÐDBC 绕点 B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交 y 轴的正半轴、 x 轴的正半轴于 E 和 F （1）求经过 A 、 B 、C 三点的抛物线的式；（2） 当 BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3） 连结 EF ，设DBEF 与DBFC 的面积之差为 S ，问：当CF 为何值时 S

19、最小，并求出这个最小值yEABDOFC xMSDC 模块化分级讲义体系初中数学.中考复习.二次函数（一）.第 7 讲.学生版Page 7 of 11【例10】如图 13，二次函数 y = x2 + px + q( p < 0) 的图象与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交DABC 的面积为 5 。4（1）求该二次函数的关系式；C（0，-1），（2）过 y 轴上的一点 M (0, m) 作 y 轴上的垂线，若该垂线与DABC 的外接圆有公共点，求 m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点 D ，使四边形 ABCD 为直角梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理

20、由。【例11】已知：关于 x 的方程 mx2 - 3(m -1)x + 2m - 3 = 0 求证： m 取任何实数时，方程总有实数根；若二次函数 y = mx2 - 3(m -1)x + 2m -1 的图象关于 y 轴对称1求二次函数 y1 的式；已知一次函数 y2 = 2x - 2 ，证明：在实数范围内，对于 x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值 y1 y2 均成立；在条件下，若二次函数 y2 = ax + bx + c 的图象经过点(-5，0) ，且在实数范围内，对于 x 的2 y ，均成立，求二次函数 y = ax2 + bx + c 的同一个值，这三个函数所对应的函数值 y y1

21、323式MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.中考复习.二次函数（一）.第 7 讲.学生版Page 8 of 11【例12】已知关于 x 的方程 mx2 + (3 - 2m)x + (m - 3) = 0 ，其中m > 0 。（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为 x ， x ，其中 x > x ，若 y = x2 -1 ，求 y 与 m 的函数关系式；12123x1（3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式 y £ -m 成立的m 的取值范围。【例13】已知关于 x 的方程(m -1)x2 - (2m -1)x + 2 = 0 有两个正整数根.(1) 确定整数 m 值；(2) 在（1）的条件下，利用图象写出方程(m -1)x2 - (2m -1)x + 2 + m = 0 的实数根的个数.xMSDC 模块化分级讲义体系初中数学.中考复习.二次函数（一）.第 7 讲.学生版Page 9 of 11【例14】已知抛物线 y = ax2 + bx + c 与 y