第三章 微分中值定理与导数的应用

1、高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用系专业班姓名学号习题九 微分中值定理一选择题1 在区间上，下列函数满足罗尔中值定理的是 A (A) （B） （C） （D）2 若在内可导,、是内任意两点，且，则至少存在一点，使得 C （A） （）； （B） （）；（C） （）；（D） （）3下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的有 B （A）, （B）,（C）, 0,1 （D）,4 若和对于区间内每一点都有, 则在内必有 B （A） （B） （C） （D）二填空题1 对函数在区间上应用拉格朗日定理时,所求的拉格朗日定理结论中的，总是等于2 若在上连续，在内可导,则至少存在一点,使得 成立3

2、设,则有4个根,它们分别位于区间（0,1）; (1,2); (2,3)；（3，4）内.三证明题1 当，试证：证：令， 可知 在连续，在上可导由拉格朗日定理可知，存在 使得 又， 所以 ， 且 ， 即 。 得证2 证明：证明：令 则在上可导，且 所以，（c为常数）， 又， 故3 证明方程只有一个正根.证: 令，则在上连续，且 由闭区间上连续函数的性质可知，存在 ，使得。 即有一正根。又假设，（）， 又在上连续，在可导，所以由拉格朗日定理可知，存在，使得，但矛盾，假设不成立。所以。高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用系专业班姓名学号习题十 洛比达法则一 填空题12 23= 4= 15=

3、 66下列极限能够使用洛必达法则的是C：（A）； （B）； （C）； （D）的值， 二、判断题：（正确的括号内打“”，错误的在括号内打“×”）1（不存在） × 2 × 三 计算题1 234.56则 原式7令 则 所以 原式8令， 则，所以，原式=高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用系专业班姓名学号习题十一 函数的单调性与极值一 填空题1函数在区间内单调减少, 在区间内单调增加2在区间内单润减少，在区间内单调增加3函数的单调增区间是 R。4函数在区间内单调减少, 在区间内单调增加51. 当时，函数有极值，那么6函数，在区间上的极大值点 0 二 选择题三

4、选择题1设函数满足，不存在，则 D (A) 及都是极值点 (B) 只有是极值点(C) 只有是极值点 (D)与都有可能不是极值点2下列命题为真的是 D (A) 若为极值点，则 (B) 若，则为极值点 (C) 极值点可以是边界点 (D) 若为极值点，且存在导数，则3设，是恒大于零的可导函数，且，则当时，有 A （A） （B）（C） （D）4设函数连续，且，则存在，使得 C （A）在内单调增加 （B）在内单调减少（C）对任意的有 （D）对任意的有5当时,当时,则必定是函数的 D (A) 极大值点; (B) 极小值点; (C) 驻点; (D) 以上都不对三求函数的单调区间与极值令 可得 当 时 不存在

5、 由，把分成四个部分区间，并列表讨论如下：负不存在正0负0正递减极小值递增极大值递减极小值递增四证明题：1 证明证明：令 故 又， 所以，即在 单调递增， 即 。 得证高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用系专业班姓名学号习题十二 函数的极值与最大值和最小值一填空题1当2 时，函数在处取得极大值时，其极大值为.2函数在上的最大值为，最小值为 3.在3处取得最大值11, 在2处取得最小值.二. 选择题1如果在达到极大值,且存在，则 A (A) ; (B) ; (C) ; (D) 0yx2设函数在内连续，其导数的图形如图所示，则有 C （A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和

6、一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点3函数在定义域内 A （A）无极值 （B）极大值为（C）极小值为 （D）为非单调函数4若函数的极大值点是，则函数的极大值是 D (A) (B) (C) (D)5在上没有 A （A）极大值 （B）极小值 （C）最大值 （D）最小值6函数在内的最小值是 D （A）0 （B）1 （C）任何小于1的数 （D）不存在7函数在区间上的最大值是 D （A）0 （B）1 （C）2 （D）不存在8设有一根长为L的铁丝，将其分为两断，分别构成圆形和正方形，若记圆形面积为S1，正方形面积为，当最小时， C (A) (B) (C) (D) 三

7、求下列函数极值1 令 可得 当 时，当时 所以在处 取得极大值 当时 当 时 所以在3处 取得极小值 。四. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半圆如下图，截面的面积为m2，问底宽为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省解：由已知 可得，=。由于驻点唯一，且最小值存在，所以当时，材料最省。 高等数学()练习 第二章 一元函数微分学系专业班姓名学号习题十三 曲线的凹凸性与拐点二 填空题1曲线的凸(向上凸)区间是_，凹(向下凸)区间是.2若曲线在处有拐点，则与应满足关系。3当,， 时, 点为曲线的拐点。4若曲线在处取得极值，点是拐点，则，二选择题1. 曲线在区间内 B （A）凹且单调

8、增加 （B）凹且单调减少 （C）凸且单调增加 （D）凸且单调减少2若二阶可导，且，又时，则在内曲线 C （A）单调下降，曲线是凸的 （B）单调下降，曲线是凹的（C）单调上升，曲线是凸的 （D）单调上升，曲线是凹的3曲线的拐点个数为 C (A) 0 （B）1 （C）2 （D）3三证明题：利用函数的凹凸性证明 五.作函数的图形 解：（1）所给函数的定义域为R，=（2）的零点为， 的零点为， 这些点把定义域分成四个部分 (3) 在各个区间，得符号，相应的曲线的升降性及凹凸性，以及拐点，如下表：x000图形增拐点增极大值减拐点减高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用系专业班姓名学号习题十四

9、曲率 一、填空题1抛物线在点处的曲率，曲率半径.2曲线，在处的曲率，曲率半径.3曲线在点的曲率为二、选择题：椭圆 在长轴端点的曲率 B （A）0 （B） （C） （D）不存在三、计算题：1求曲线上曲率最大的点及该点处的曲率半径解：，令 ， 且可知 当时取得最大值。 曲率半径 2 汽车连同载重共5吨，在抛物线拱桥上行驶，速度为21.6（公里/小时）桥的跨度为10米，拱的矢高为0.25米，求汽车越过桥顶时对桥的压力。解：取桥顶为原点，竖直向下为y轴的正方向，则抛物线的方程为桥端点（5，0.25）在抛物线上，所以抛物线的方程为， ，所以 所以在桥顶处抛物线的曲率半径为，离心力为压力 N= = 500

10、00高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用系专业班姓名学号综合练习一填空题1函数在上满足罗尔定理的条件,由罗尔定理确定的2。 2极限1。3在区间内单调减少在区间 内单调增加。4在处取得极小值5在的最大值点为。6曲线的凸区间是, 凹区间是 拐点是。二选择题1设，则在处 B （A）的导数存在，且 (B)取得极大值 (C)取得极小值 (D) 的导数不存在2曲线 B （A）是垂直渐近线 （B）为斜渐近线 （C）单调减少 （D）有2个拐点3设函数，则 C （A） 该函数在处有最小值(B) 该函数在处有最大值（C） 该函数所表尔的曲线在处有拐点 (D) 该函数所表示的曲线处无拐点4设函数在上满足，则、或的大小顺序为 B （A） （B）（C） （D）5设一阶可导，且，则 C （A） 一定是的极大值 (B) 一定是的极小值（C） 一定不是的极值 (D) 不一定是的极值6函数可微，则函数 D （A）无零点； (B)只有一个零点； (C)只有两个零点； (D)至少有两个零点·二计算题1.2四 设有甲乙两城甲城位于一直线形的河岸上，乙城离河岸40千米，且到河岸的垂足与甲城相距50千米两城拟于此河边合建一水厂取水，从水厂到甲