第三章 疑难规律方法

1、1实数大小比较的方法知多少实数比较大小是一种常见题型，解题思路较多，灵活多变，下面结合例子介绍几种比较大小的方法供同学们学习时参考.1.利用作差法比较实数大小方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差变形判断差的符号得出结论.比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解法和配方法.例1已知abc，试比较a2bb2cc2a与ab2bc2ca2的大小.解a2bb2cc2a(ab2bc2ca2)(a2bab2)(b2cbc2)(c2aca2)ab(ab)bc(bc)ca(ca)ab(ab)bc(ba)(ac)ca(ca)ab(ab)bc(ba)bc(ac)ca(ca)

2、b(ab)(ac)c(ac)(ba)(ab)(ac)(bc).abc，ab0，ac0，bc0，(ab)(ac)(bc)0.a2bb2cc2ab1；abb1.a1；ab1.作商比较法的基本步骤：作商；变形；与1比较大小；下结论.例2设a0，b0，且ab，试比较aabb，abba，(ab)三者的大小.解abab.当ab0时，1，ab0，0，01，aabb(ab).当0ab时，01，ab0，01，aabb(ab).不论ab0还是0a(ab).同理：(ab)abba.综上所述，aabb(ab)abba.3.构造中间值比较实数大小方法链接：由传递性知ab，bcac，所以当两个数直接比较不容易时，我们可以

3、找一个适当的中间值为媒介来间接地比较.例3设alog3，blog2，clog3，则()A.abc B.acbC.bac D.bca解析alog3log331，a1，blog2log23log241，b1，clog3log32b，ac.又blog2log23，bc，abc.答案A4.特殊值法比较实数大小方法链接：一些比较实数大小的客观性题目，先通过恰当地选取符合题目要求的一组特例，从而确定出问题的答案.这种取特殊值法往往能避重就轻，避繁从简，快速获得问题的解.一些解答题，也可以先通过特例为解答论证提供方向.例4若0a1a2,0b1，最大的数应是a1b1a2b2.(注：本题还可以利用作差法比较大小

4、，此答从略)答案A5.利用函数单调性比较实数大小方法链接：有些代数式的大小比较很难直接利用不等式性质完成，可以考虑构建函数，借助函数的单调性加以判断.例5当0ab(1a)b B.(1a)a(1b)bC.(1a)b(1a) D.(1a)a(1b)b解析对于A，0abb，(1a)(1a)b，A错误；对于B，函数y(1a)x为R上的增函数，(1a)a(1a)b，又函数yxb在(0，)上单调递增，(1a)b(1b)b，从而(1a)a，(1a)b(1a)，C错误；对于D，函数y(1a)x为R上的减函数，且a(1a)b，又函数yxb为(0，)上的增函数，且1a1b0，从而(1a)b(1b)b，所以(1a)

5、a(1b)b，D正确，故选D.答案D6.借助函数的图象比较实数大小方法链接：借助函数的图象比较实数大小，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何含义，善于构造函数图象，从图象上找出问题的结论.例6设a，b，c均为正数，且2aloga，blogb，clog2c，则()A.abc B.cbaC.cab D.bac解析由函数y2x，yx，ylog2x，ylogx的图象(如图所示)知0ab10的等价条件是或例1已知不等式2对任意xR恒成立，求k的取值范围.解x2x220.原不等式等价于kx2kx62x22x4，即(k2)x2(k2)x20.当k2时，20，结论显然成立；当k2时，k满足不等式组解得2k

6、10.综上所述，k的取值范围是2k0对一切xR恒成立，求实数a的取值范围.解设f(x)sin2x2asin xa22a2，则f(x)(sin xa)222a.当a0显然成立，a0，解得a1，1a1，1a1时，f(x)在sin x1处取到最小值，且f(x)mina24a3，由a24a30，解得a3，a1，a3.综上所述，a的取值范围为a3.3.利用直线型函数图象的保号性求解函数f(x)kxb，x，的图象是一条线段，此线段恒在x轴上方的等价条件是此线段恒在x轴下方的等价条件是此线段与x轴有交点的等价条件是f()f()0.例3已知当x0,1时，不等式2m10，x0,1恒成立ma恒成立，求a的取值范围

7、.解不等式f(x)ax2ax3ax23a(1x)，x1,1.1x1，01x2.当x1时，1x0，x23a(1x)对一切aR恒成立；当x1时，01x2，则a.(1x)2222.当且仅当1x，即x1时，取到等号.min2.从而a0，a1)的图象过区域M的a的取值范围是()A.(1,3 B.2，C.2,9 D.，9解析作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得A(1,9)，C(3,8).当yax过A(1,9)时，a取最大值，此时a9；当yax过C(3,8)时，a取最小值，此时a2，2a9.答案C点评准确作出可行域，熟知指数函数yax的图象特征是解决本题的关键.2.线性规划与概率交汇例2两人约定下午

8、4点到5点在某一公园见面，他们事先约定先到者等候另一个人20分钟，过时就离去.请问这两个人能见面的概率有多大？解用x，y分别表示两人到公园的时间，若两人能见面，则有|xy|20，又0x60,0y60，即有作出点(x，y)的可行域如图阴影部分所示，由图知，两人能见面的概率为阴影部分的面积比上大正方形的面积，故所求概率为P.点评这是一道几何概型的题目，关键在于确定两人能见面的时间区域，利用线性规划的思想简洁、直观、明了.3.线性规划与一元二次方程交汇例3已知方程x2(2a)x1ab0的两根为x1，x2，且0x11x2，则的取值范围是_.解析令f(x)x2(2a)x1ab，并且0x11x2，则由题意

9、知函数f(x)在(0,1)及(1，)内各有一个零点，得即作出可行域，如图所示.而令k，则表示可行域内的点与原点连线的斜率.设M(x0，y0)，则由得M(3,2)，kOM，结合图可知2k0)，求实数m的取值范围.解设A，B(x，y)|x2y2m2 (m0)，则集合A表示的区域为图中阴影部分，集合B表示以坐标原点为圆心，m为半径的圆及其内部，由AB得，m|PO|，由解得即P(3,4)，|PO|5，即m5.故实数m的取值范围是5，).点评集合(x，y)|x2y2m2 (m0)的几何含义是以(0,0)为圆心，m为半径的圆及其内部区域.5.线性规划与平面向量交汇例5已知O为坐标原点，定点A(3,4)，动

10、点P(x，y)满足约束条件则向量在上的投影的取值范围是()A. B.C. D.解析画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，向量在向量上的投影为|cosAOP|，令z3x4y，易知直线3x4yz过点G(1,0)时，zmin3；直线3x4yz过点N(1,2)时，zmax11.min，max.故选D.答案D点评向量在上的投影：|cos，|，清楚这一点对解答本题至关重要.5运用基本不等式求最值的7种常见技巧在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正、二定、三相等”的条件，需要做一些适当的变形，用到一些变换的技巧，下面举例说明.1.凑和为定值例1若a，b，c0，且2abc，则a(abc)bc的最大

11、值为()A. B. C. D.2分析注意a(abc)bc(ab)(ac)，而2abc(ab)(ac)，从而沟通了问题与已知的联系，然后利用基本不等式求最值.解析a(abc)bca2abacbc(a2ac)(abbc)a(ac)b(ac)(ab)(ac)222.当且仅当abac，即bc时，取“”，a(abc)bc的最大值为.故选C.答案C2.凑积为定值例2设abc0，则2a210ac25c2的最小值是()A.2 B.4 C.2 D.5分析注意到2a210ac25c2a2ababa210ac25c2(a5c)2，然后分别利用基本不等式和平方数的性质求最值.由于代数式比较复杂，要注意等号取到的条件.

12、解析abc0，原式a210ac25c2a2a2abab(a5c)2(a5c)22204，当且仅当a(ab)1，ab1，a5c0时取等号.即当a，b，c时，所求代数式的最小值为4.答案B3.化负为正例3已知x，求函数y4x2的最大值.分析因为4x50，所以要先“调整”符号，又(4x2)不是常数，所以对4x2要添项“配凑”.解x0，y4x23231，当且仅当54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1.4.和积互“化”例4若正实数x，y满足2xy6xy，则2xy的最小值是_.分析可以利用基本不等式的变形形式ab2进行和或积的代换，这种代换目的是消除等式两端的差异，属于不等量代换，带有放缩

13、的性质.解析方法一x0，y0，xy(2x)y2，2xy6(2xy)6(2xy)2，(2xy)28(2xy)480，令2xyt，t0，则t28t480，(t12)(t4)0，t12，即2xy12.方法二由x0，y0,2xy6xy，得xy26(当且仅当2xy时，取“”)，即()2260，(3)()0.又0，3，即xy18.xy的最小值为18，2xyxy6，2xy的最小值为12.答案125.消元法例5若正实数a，b满足abab3，则ab的最小值为_.分析从abab3中解出b，即用a的代数式表示b，则ab可以用a来表示，再求关于a的代数式的最值即可.解析abab3，(a1)ba3.a0，b0，a10，

14、即a1，b，aba(a1)5.a1，a124，当且仅当a1，即a3时，取等号，此时b3，ab9.ab的最小值为9.答案96.平方法例6若x0，y0，且2x28，求x的最大值.分析仔细观察题目已知式中x与y都是二次的，而所求式中x是一次的，而且还带根号，初看让人感觉无处着手，但是如果把x平方，则豁然开朗，思路就在眼前了.解(x)2x2(62y2)32x23232.当2x21，即x，y时，等号成立.故x的最大值为.7.换元法例7某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)为50x80时，每天售出的件数为P，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？解设销售价格为每件x元(500对xR恒成立.即a1.错解2函数ylg(ax22xa)的值域为R.代数式ax22xa能取到一切正值.44a20，1a1.点拨上述解法1把值域为R误解为定义域为R；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a0时，代数式ax22xa不可能取到所有正数，从而也是错误的.正解当a0时，ylg(2x)值域为R，a0适合.当a0时，ax22x