电路分析基础：第7章电容元件和电感元件

1、l重点：重点：1、电容、电感、电容、电感VCR；2、动态电路的方程及其初始条件确定、动态电路的方程及其初始条件确定第第7章章 电容元件和电感元件电容元件和电感元件 常用的几种电容器电容器电容器_q+q 在外电源作用下，在外电源作用下，两极板上分别带上等量异号电荷，撤去电两极板上分别带上等量异号电荷，撤去电源，电荷依靠电场力作用，相互吸引，故源，电荷依靠电场力作用，相互吸引，故仍可长久地集聚下去，因此理想电容器应仍可长久地集聚下去，因此理想电容器应是一种电荷与电压相约束的器件。是一种电荷与电压相约束的器件。 1、定义、定义电容元件电容元件一个二端元件，在任一一个二端元件，在任一时刻，其电荷与电压

2、之时刻，其电荷与电压之间关系可用间关系可用qu 平面平面上的一条曲线来确定上的一条曲线来确定0 ),(qufqu库伏库伏特性特性7.1 电容元件电容元件 (capacitor)特性曲线是特性曲线是q u平面过原点的直线。此时，电容元件极板上平面过原点的直线。此时，电容元件极板上的电荷的电荷q与电流与电流 u 成正比。成正比。l 电路符号电路符号2. 线性非时变电容元件线性非时变电容元件Cu+q-q tan uqCorCuq C 称为电容器的电容称为电容器的电容, 单位：单位：F (法法) (Farad，法拉，法拉), 常用常用 F，p F等表示。等表示。quO l 单位单位 ttuCttqti

3、Cdddd l 线性电容的电压、电流关系线性电容的电压、电流关系Cuiu、i 取关取关联参考方向联参考方向电容元件电容元件VCR的微分关系的微分关系表明：表明：（1） i 的大小取决于的大小取决于 u 的变化率的变化率, 与与 u 的大小无关，的大小无关，电容是动态元件；电容是动态元件；（2） 当当 u 为常数为常数(直流直流)时，时，i =0。电容相当于开路，电容。电容相当于开路，电容 有隔断直流作用；有隔断直流作用；（1） VCR之一：之一：21t /s20u/V3441t /s2i/A-223例例求电容上电流求电容上电流i解解uS (t)的函数表示式为的函数表示式为:4332211 82

4、2220)( tttttttus)(tusC1Fi stststtdtduCtiC32 232 021 21 0)(解得电流解得电流uC(t0)称为电容电压的初始值，它反映电容称为电容电压的初始值，它反映电容初始时刻的储能状况，也称为初始状态。初始时刻的储能状况，也称为初始状态。电容元件电容元件VCR的积分关系的积分关系 diCdiCdiCtuttttC 00111tuCiCdd iCtuC1dd diCtutC 010令令 diCtututtCC 010（2） VCR之二：之二：21t /s20u/V3441t /s2i/A-223例例求电容上电压，已知初始条件求电容上电压，已知初始条件为为

5、uC(0)=0)(tusC1Fi某一时刻某一时刻t的电容电压，并不取决于该时刻的电流，而是由的电容电压，并不取决于该时刻的电流，而是由从从- 到时刻到时刻t之间的全部电流之间的全部电流i(t)来确定。这与电阻元件的电来确定。这与电阻元件的电压或电流仅仅取决于此时刻的电流或电压完全不同，所以说压或电流仅仅取决于此时刻的电流或电压完全不同，所以说电容是一种记忆元件。电容是一种记忆元件。性质性质1：电容电压的记忆性：电容电压的记忆性uC(0)=1V ttCtCdiCtudiCtu0110 diCtuttutttCC 00100 diCtuttuuttt 00100 01110000 tMCMtCdi

6、Ctttttt 0 u当当i( )为有限值时为有限值时, 即即i( ) M，t0时，有时，有 电容电流在闭区间电容电流在闭区间t1,t2有界时，有界时，电容电压在开区间电容电压在开区间(t1,t2)内是连续的内是连续的证明证明 diCtututtCC 010)()( tutuCC性质性质2：电容电压的连续性（：电容电压的连续性（电容电压不能跃变）电容电压不能跃变）)0()0( CCuu特别当特别当t=0时时3. 电容的功率和储能电容的功率和储能 ttuCtutitutpdd 当电容充电，当电容充电， u0，du/d t0，则，则i0，q ， p0, 电容吸收功率。电容吸收功率。 当电容放电，当

7、电容放电，u0，du/d t0，则，则i0，q ，p0，d i/d t0，则，则u0， ， p0, 电感吸收功率。电感吸收功率。 当电流减小，当电流减小，i0，d i/d t0，则，则u0， ，p0, 电感发出功率。电感发出功率。l 功率功率表明表明 电感能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为磁场能电感能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为磁场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电感元件是无源元件、是储能元件，它本身不消耗能量。感元件是无源元件、是储能元件，它本身不消耗能量。u、 i 取关取关联参考方向联参考方向（1）电感的储

8、能只与当时的电流值有关，电感）电感的储能只与当时的电流值有关，电感 电流不能跃变，反映了储能不能跃变；电流不能跃变，反映了储能不能跃变；（2）电感储存的能量一定大于或等于零。）电感储存的能量一定大于或等于零。从从t0到到 t 电感储能的变化量：电感储能的变化量：)(21)(21)(21)(21022022tLtLtLitLiWL 0)(21)(21)(21)(21)(21ddd220)(222 tLtLiLitLiLiiLiWittL 若若l 电感的储能电感的储能表表明明4. 电感的串、并联电感的串、并联l 并联并联等效等效i1L1L2i+ui2_l 串联串联等效等效L1L2i+u_+u_21

9、21LLLLL i+u_L=L1+L2i作业作业7.1求求uc、iL 、Wc 、WL+_+_3210V0.5Hi12i1+_uc4iL0.5F含有电容和电感这样的动态元件的含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。电路称动态电路。特点特点1. 动态电路动态电路 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。化过程称为电路的过渡过程。7.3 动态电路的电路方程动态电路的电路方程电路结构、状态发生变化电路结构、状态发生变化换路换路支路接入或断开支路接入或断

10、开电路参数变化电路参数变化例例+-usR1R2（t=0）i0ti2/ RUiS )(21RRUiS 过渡期为零过渡期为零电阻电路电阻电路K未动作前，电路处于稳定状态未动作前，电路处于稳定状态i = 0 , uC = 0i = 0 , uC= usK+uCusRCi (t = 0)K接通电源后很长时间，电容充电接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态完毕，电路达到新的稳定状态+uCusRCi (t )初始状态初始状态过渡状态过渡状态新稳态新稳态t1uSuct0?iRuS有一过渡期有一过渡期电容电路电容电路K未动作前，电路处于稳定状态未动作前，电路处于稳定状态i = 0 , uL =

11、 0uL= 0, i=us /RK接通电源后很长时间，电路达到接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路新的稳定状态，电感视为短路初始状态初始状态过渡状态过渡状态新稳态新稳态t1uS/Rit0?uLSu有一过渡期有一过渡期K+uLusRLi (t = 0)+uLusRLi (t )电感电路电感电路过渡过程产生的原因过渡过程产生的原因 电路内部含有储能元件电路内部含有储能元件 L 、C，电路在换路时能量发生电路在换路时能量发生变化，而变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。twp 含有储能元件的动态电路中的电压电流仍然受到含有储能元件的

12、动态电路中的电压电流仍然受到KCL、KVL的拓扑约束和元件特性的拓扑约束和元件特性VCR的约束。一般来说，根据的约束。一般来说，根据KCL、KVL和和VCR写出的电路方程是一组微分方程。写出的电路方程是一组微分方程。 由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。 由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 由由n阶微分方程描述的电路称为阶微分方程描述的电路称为n阶电路。阶电路。2. 动态电路的电路方程建立动态电路的电路方程建立+_+_CiucusR+_uR例例1图示电路，以电容电压为变量列写电路方程。图示电路，以电容电压为变量列

13、写电路方程。得到得到 )()(d)(dSCCtututtuRC 这是关于电容电压这是关于电容电压uc常系数非齐次一阶微分方程，求常系数非齐次一阶微分方程，求唯一解时需知唯一解时需知uc初始值。初始值。在上式中代入在上式中代入: :ttuCtid)(d)(C )()( )()()(CCRStutRitututu RC串联电路，根据串联电路，根据KVL 解解iRRiSLiL+uL_例例2图示电路，以电感电流为变量列写电路方程。图示电路，以电感电流为变量列写电路方程。RL并联电路，根据并联电路，根据KCL 解解)()( )()()(LLLRStiRtutititi 在上式中代入在上式中代入 ：tti

14、Ltud)(d)(LL 得到得到)()(d)(dSLLtitittiRL 这是这是关于电感电流关于电感电流iL常系数非齐次一阶微分方程。常系数非齐次一阶微分方程。求唯求唯一解时需知一解时需知iL初始值。初始值。+_+_CiucusR+_uRL+_uL例例3图示电路，以电容电压为图示电路，以电容电压为变量列写电路方程。变量列写电路方程。RLC串联电路，根据串联电路，根据KVL 解解ScccuutdduRCdtudLC 22ScLRuuuu ttuCtitititiCLRd)(d)()()()(C dttduRCtRiuCR 22dttudLCdttdiLuCLL 电路中电流电路中电流电阻电压电阻

15、电压电感电压电感电压关于电容电压关于电容电压uc常系数常系数非齐次二阶微分方程。非齐次二阶微分方程。如图电路，列写以如图电路，列写以 i 为变量的微分方程：为变量的微分方程：例例4+_61218V4H3iii+_1612V4H应将应将4H电感当作负载断开，简化成戴维宁等效电路电感当作负载断开，简化成戴维宁等效电路 34 idtdi化简化简12164 idtdi解解 (1) t = 0与与t = 0的概念的概念认为换路在认为换路在 t=0时刻进行时刻进行0 换路前一瞬间换路前一瞬间 0 换路后一瞬间换路后一瞬间)(lim)0(00tfftt )(lim)0(00tfftt 初始条件为初始条件为

16、t = 0时时u ，i 及其各阶导数的值及其各阶导数的值000tf(t)0()0( ff)0()0( ff)0()0( CCuu)0()0( LLii换路定律换路定律7.4 动态电路方程的初始条件动态电路方程的初始条件求初始条件的步骤求初始条件的步骤:1. 由换路前电路（一般为稳定状态由换路前电路（一般为稳定状态) )，电容可视为开路电容可视为开路，电电感视为短路感视为短路，电路为纯电阻电路，易求，电路为纯电阻电路，易求uC(0)和和iL(0)；2. 根据电容电压和电感电流不能跃变的连续性质，可得电根据电容电压和电感电流不能跃变的连续性质，可得电容电压得容电压得 uC(0+) = uC(0-)

17、和和 电感电流电感电流iL(0+) = iL(0-)。3. 画出画出t= =0+时刻时刻等效电路等效电路4. 由由t= =0+时刻时刻电路求所需各变量的电路求所需各变量的0+时刻时刻值。值。b. 电容用数值为电容用数值为uC(0+)的的电压源替代；电压源替代； 电感用数值为电感用数值为iL(0+)的的电流源替代。电流源替代。a. 得到换路后的电路得到换路后的电路注意：电压源和电流源的参考方向注意：电压源和电流源的参考方向(2) 由换路定律由换路定律 uC (0+) = uC (0)=8VmA2 . 010810)0( Ci(1) 由由0电路求电路求 uC(0)或或iL(0)uC(0)=8V(3

18、) 由由0+等效电路求等效电路求 iC(0+)iC(0)=0 iC(0+)例例1图示电路，图示电路，t0时电路处时电路处于稳态，于稳态，t=0时开关打开，时开关打开，求求 uC(0+) 、iC(0+)电电容容开开路路电容用电容用电压源电压源替代替代10k10V+_+_uc40k0+时刻等效电路时刻等效电路10k10V+_+_iC40k8V10k10V+_t=0+_uc40kiCiL(0+)= iL(0) =2AV842)0( Lu例例 2t = 0时闭合开关时闭合开关k , , 求求 uL(0+)先求先求iL(0-)A24110)0( Li由换路定律由换路定律: :电感用电感用电电流源流源替代替代解解电电感感短短路路1 10V+_t=0+_uLiL1H4 1 10V+_iL4 1 10V+_uL4 2A+_V0)0( Lu210ViL1/2F+_t=01H3+_uc+_210ViL+_uc3例例3图示电路，图示电路，t0时电路处时电路处