第10章_常微分方程初值问题的数值方法

1、数值计算方法2022-3-71第十章第十章 常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数值解法第一节第一节 求解初值问题数值方法的基本原理求解初值问题数值方法的基本原理第二节第二节 高精度的单步法高精度的单步法 第三节第三节 线性多步法线性多步法第四节第四节 一阶微分方程组的解法一阶微分方程组的解法第五节第五节 边值问题的打靶法和差分法边值问题的打靶法和差分法数值计算方法2022-3-72考虑一阶常微分方程的初值问题考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */: 0)(,),(yaybaxyxfdxdy只要只要 f (x, y) 在在a, b R1

2、 上连续，且关于上连续，且关于 y 满足满足 Lipschitz 条条件件，即存在与，即存在与 x, y 无关的常数无关的常数 L 使使对任意定义在对任意定义在 a, b 上的上的 y1(x) 和和 y2(x) 都成立，则上述都成立，则上述IVP存存在唯一解。在唯一解。| ),(),(|2121yyLyxfyxf 第一节第一节 求解初值问题数值方法的基本原理求解初值问题数值方法的基本原理(10-1)(10-1)一、一、初值问题的数值解初值问题的数值解数值计算方法2022-3-73要计算出解函数要计算出解函数 y(x) 在一系列节点在一系列节点 a = x0 x10,使得使得),(hyxhQyy

3、nnnn 111()()pO hp (, )nnQ xyh( , , )( , , )Q x y hQ x y hL yy 对一切对一切 成立成立,则该方法收敛则该方法收敛,且有且有 yy和和)(pnhOe 由该定理可知整体截断误差总比局部截断误差低一阶由该定理可知整体截断误差总比局部截断误差低一阶 对改进的对改进的Euler法法, ),(,(),(),(yxhfyhxfyxfhyxQ 21数值计算方法2022-3-717于是有于是有 1( , , )( , , )( , )( , )2(,( , )(,( , )Q x y hQ x y hf x yf x yf xh yhf x yf xh

4、 yhf x y 设设L为为f关于关于y的的Lipschitz常数常数,则由上式可得则由上式可得( , , )( , , )(1/ 2)Q x y hQ x y hLhyy 限定限定h即可知即可知Q满足满足Lipschitz条件条件,故而改进的故而改进的Euler法收敛法收敛.数值计算方法2022-3-718例：例：考察初值问题考察初值问题 在区间在区间0, 0.5上的解。上的解。分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。 1)0()(30)(yxyxy0.00.10.20.30.40.5精确解精确解改进欧拉法改进欧拉法 欧拉隐式欧拉隐

5、式欧拉显式欧拉显式 节点节点 xixey30 1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000 101 3.2000 101 1.00002.5000 10 1 6.2500 10 21.5625 10 23.9063 10 39.7656 10 41.00002.50006.25001.5626 1013.9063 1019.7656 1011.00004.9787 10 22.4788 10 31.2341 10 46.1442 10 63.0590 10 73. 稳定性稳定性数值计算方法2022-3-719定义定义若某算法在计算过程中任一步产生的误差在以后的计若某算法

6、在计算过程中任一步产生的误差在以后的计算中都算中都逐步衰减逐步衰减，则称该算法是，则称该算法是绝对稳定的绝对稳定的 /*absolutely stable */。一般分析时为简单起见，只考虑一般分析时为简单起见，只考虑试验方程试验方程 /* test equation */yy 常数，可以是复数常数，可以是复数当步长取为当步长取为 h 时，将某算法应用于上式，并假设只在初值时，将某算法应用于上式，并假设只在初值产生误差产生误差 ，则若此误差以后逐步衰减，就称该，则若此误差以后逐步衰减，就称该算法相对于算法相对于 绝对稳定绝对稳定， 的全体构成的全体构成绝对稳定区域绝对稳定区域。我们称我们称算法

7、算法A 比算法比算法B 稳定稳定，就是指，就是指 A 的绝对稳定区域比的绝对稳定区域比 B 的的大大。000yy h h h数值计算方法2022-3-720例：例：考察显式欧拉法考察显式欧拉法110(1)nnnnyyhyhy 000yy 110(1)nnyhy 11110(1)nnnnyyh 由此可见，要保证初始误差由此可见，要保证初始误差 0 以后逐步衰减，以后逐步衰减，必须满足：必须满足：hh 1|1| h0-1-2ReImg数值计算方法2022-3-721例：例：考察隐式欧拉法考察隐式欧拉法11nnnyyh y 111nnyyh 11011nnh 可见绝对稳定区域为：可见绝对稳定区域为：

8、1|1| h210ReImg注：注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。法的好。数值计算方法2022-3-72212()11()()()()()( )2!()(,),()(,)(,)(), ,nppnnnnnnxypTaylory xhhyy xy xhyxyxyxPyxfx yyxfx yfx y fx y 若若用用 阶阶多多项项式式近近似似函函数数有有：其其中中。但但由由于于公公式式中中各各阶阶偏偏导导数数计计算算复复杂杂，不不实实用用。第二节第二节 高精度的单步法高精度的单步法 在高精度的单步法中在高精度的单步法中, ,应用最广

9、泛的是应用最广泛的是Runge-Runge-Kutta(Kutta(龙格龙格- -库塔库塔) )方法方法一、一、Runge-Kutta法的基本思想（法的基本思想（1）数值计算方法2022-3-723( 0 )( 0 )( 0 )( 1 )( 1 )( 1 )( 2 )(2 )(2 )()(1 ); ;2 , 3 ,jjjjyffffyffxyffyffxyffyffjxy 一一 般般 地地 有有数值计算方法2022-3-724111112121 (,)11()22(,)(, )nnnnnnnnnnE ulerE uleryyhKE ulerKfxyyyhKKE ulerKfxyKfxhyhK

10、如如 果果 将将公公 式式 与与 改改 进进公公 式式 写写 成成 下下 列列 形形 式式 ：公公 式式 改改 进进公公 式式Runge-Kutta法的基本思想（法的基本思想（2）数值计算方法2022-3-72511(,)()(,)(,) nnfxyyxyfxyfxy 以以 上上 两两 组组 公公 式式 都都 使使 用用 函函 数数在在 某某 些些 点点 上上 的的值值 的的 线线 性性 组组 合合 来来 计计 算算的的 近近 似似 值值。E E u u l l e e r r 公公 式式 ： 每每 步步 计计 算算 一一 次次的的 值值 ， 为为 一一 阶阶 方方 法法 。改改 进进 E E

11、 u u l l e e r r 公公 式式 ： 需需 计计 算算 两两 次次的的 值值 ， 二二 阶阶 方方 法法 。数值计算方法2022-3-726Runge-Kutta法的基本思想（法的基本思想（3）( ,)(,)( ) nnnf x yxyTaylory xxTaylor于于是是可可考考虑虑用用函函数数在在若若干干点点上上的的函函数数值值的的线线性性组组合合来来构构造造近近似似公公式式，构构造造是是要要求求近近似似公公式式在在处处的的展展开开式式与与解解在在处处的的展展开开式式的的前前面面几几项项重重合合，从从而而使使近近似似公公式式达达到到所所需需要要的的阶阶数数。即即避避免免求求偏

12、偏导导，又又提提高高了了方方法法的的精精度度，此此为为R RK K方方法法的的基基本本思思想想。11111(,)(,)(2, 3,)pnniiinniininijjjyyhc KKfxyKfxa h yhb Kip 数值计算方法2022-3-727二、二阶龙格库塔方法二、二阶龙格库塔方法11111RK(,)(,)(2,3,),(,)()pnniiinniininijjjiijinnnyyhc KKfxyKfxa h yhb KipabcxyTaylory xxTaylor 一一般般地地，方方法法设设近近似似公公式式为为其其中中，都都是是参参数数，确确定定它它们们的的原原则则是是使使近近似似公公

13、式式在在处处的的展展开开式式与与在在处处的的展展开开式式的的前前面面项项尽尽可可能能多多地地重重合合。数值计算方法2022-3-72811122122211()2(,)(,)nnnnnnyyh c Kc KKf xyKf xa h yhb K 当p时，近似公式为 当p时，近似公式为 112221122321(,)(,)(,(,)(,) (,)(,)(,) (,)()nnnnnnnnnnnnnnnxnnynnnnxyTayloryyh c f xyc f xa h yhb f xyyh c f xycf xya hfxyhb fxyf xyO h 上上式式在在处处的的展展开开式式为为数值计算方法

14、2022-3-72912232221()(,)(,)(,)(,)()nnnxnnynnnnyccf xyhc a fxybfxyf xyhO h 123123()()()()()()2(,)(,)(,)(,)()2nnnnnnnnnxnnynnnny xxTaylorhy xy xhyxyxO hyfxyhhfxyfxyfxyO h 在在处处 的的展展 开开 式式 为为数值计算方法2022-3-73012222211 1 / 2 1 / 2 ),ccc ac bO 3 3有有 无无 穷穷 多多 组组 解解 ， 每每 一一 组组 解解 得得 一一近近 似似 公公 式式 ， 局局 部部 截截 断断

15、 误误 差差 均均 为为( (h h这这 些些 方方 法法 统统 称称 二二 阶阶 方方 法法 。122211121211,1,2() / 2(,)(,)nnnnnnccabE u leryyh KKKfxyKfxhyh K 取取此此 为为 改改 进进公公 式式 。近近 似似 公公 式式 为为 122211212110,1,2(,)(2,2)nnnnnnccabyyhKKfxyKfxhyhK 取取此此 为为 常常 用用 的的 二二 阶阶 公公 式式 ，称称 为为 中中 点点 公公 式式 。 数值计算方法2022-3-731三、三阶龙格库塔方法三、三阶龙格库塔方法11231213123 (4)6

16、(,)( ,)22(,2)nnnnnnnnpRKRKhyyKKKKf xyhhKf xyKKf xh yhKhK 类类似似地地，对对，即即三三个个点点，通通过过更更复复杂杂的的计计算算，可可导导出出三三阶阶公公式式。常常用用的的三三阶阶公公式式为为：数值计算方法2022-3-732四、四阶龙格库塔方法四、四阶龙格库塔方法1123412132434 (22)6(,)(,)2 2(,)22(,)nnnnnnnnnnpRKRKhyyKKKKKf xyhhKf xyKhhKf xyKKf xh yhK 对对，即即四四个个点点，可可导导出出四四阶阶公公式式。常常用用的的四四 阶阶公公式式为为： 数值计算

17、方法2022-3-733 h = 0 .2 ,x= 0 x= 12(01 );(0 )1 .xyyxyy 设设 取取 步步 长长从从直直 到到用用 四四 阶阶 龙龙 格格 库库 塔塔方方 法法 求求 解解 初初 值值 问问 题题例例 ：数值计算方法2022-3-734112341211322433(22);62;2;222;222().nnnnnnnnnnnnnnhyyKKKKxKyyxhhKyKhyKxhhKyKhyKxhKyhKyhK 由由 经经 典典 的的 四四 阶阶 龙龙 格格 库库 塔塔解解公公 式式 得得：数值计算方法2022-3-7352RK RKRK RK）方方法法的的导导出出

18、基基于于T Ta ay yl lo or r展展开开，故故要要求求所所求求问问题题的的解解具具有有较较高高的的光光滑滑度度。当当解解充充分分光光滑滑时时，四四阶阶方方法法确确实实优优于于改改进进E Eu ul le er r法法。对对一一般般实实际际问问题题，四四阶阶方方法法一一般般可可达达到到精精度度要要求求。如如果果解解的的光光滑滑性性差差，则则用用四四阶阶方方法法解解的的效效果果不不如如改改进进E Eu ul le er r法法。两点说明两点说明:1RKRK46RK5）当当p p= =1 1, ,2 2, ,3 3, ,4 4时时，公公式式的的最最高高阶阶数数恰恰好好是是p p, ,当当

19、p p 4 4时时，公公式式的的最最高高阶阶数数不不是是p p，如如p p= =5 5时时仍仍为为 ，p p= = 时时公公式式的的最最高高阶阶数数为为 。数值计算方法2022-3-736五、变步长的龙格五、变步长的龙格库塔方法库塔方法()1()51115(2)15(2)11(2)11()11,(),2,2()2,2()1.()16hnhnnnnhnhnnhnnhnnhyy xychhxxhychy xycy xyy xy n n以以经经典典四四阶阶龙龙格格库库塔塔公公式式为为例例。从从节节点点x x 出出发发，以以 为为步步长长求求一一近近似似值值将将步步长长折折半半，即即取取为为步步长长从

20、从跨跨两两步步到到，求求一一近近似似值值每每跨跨一一步步的的截截断断误误差差是是因因此此有有由由上上两两式式 (2)(2)()11111().15hhhnnnny xyyy 数值计算方法2022-3-737R-K方法的绝对稳定区域/2121233223443 11 ,22111 )22411 )24 ( , ) () K()()()()()nnnnnnnRKhhhhf x yyhhyyyyhKKyyhhKKhyyhhhKK 代代入入公公式式：将将234112341 2)6111 12624(2()()()nnnhyyKKKKyhhh 数值计算方法2022-3-738234111112624()

21、()()nnhhhh 则则234111 112624()()()hhhh 绝绝对对稳稳定定区区域域： 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2 数值计算方法2022-3-73911-r1RK,nnnnnnyyyyyy 单单步步法法在在计计算算时时，只只用用到到前前一一步步的的信信息息 。为为提提高高精精度度，需需重重新新计计算算多多个个点点处处的的函函数数值值，如如方方法法，计计算算量量较较大大。如如何何通通过过较较多多地地利利用用前前面面的的已已知知信信息息，如如 ，来来构构造造高高精精度度的的算算法法计计算算，这这就就是是多多步步法法的的基基本本思思想想。第三节第三节 线性多步法线性多步法

22、数值计算方法2022-3-74011110111(,),(,) ,(,) (1,)00 T a y lo nnnrnnnrnrrrniniiniiiiikkkyyyfxyfxyyyhfffxyknnnr 多多 步步 法法 中中 最最 常常 用用 的的 是是 线线 性性 多多 步步 法法 ， 它它 的的 计计 算算 公公 式式 中中 只只出出 现现，及及的的 一一 次次项项 ， 其其 一一 般般 形形 式式 为为其其 中中均均 为为 常常 数数 ，。若若， 显显 式式 ；， 隐隐 式式 。构构 造造 线线 性性 多多 步步 公公 式式 常常 用用r展展 开开 和和 数数 值值 积积 分分 方方

23、法法 。数值计算方法2022-3-741一、线性多步公式的导出一、线性多步公式的导出nnTaylorxTaylor) xTaylor,ii n n+ +1 1利利用用展展开开导导出出的的基基本本方方法法是是：将将线线性性多多步步公公式式在在处处进进行行展展开开，然然后后与与y y( (x x在在处处的的展展开开式式相相比比较较，要要求求它它们们前前面面的的项项重重合合，由由此此确确定定参参数数。1011110111( ) ( ) nnnnnnry xyyyhfff 以以为为例例：设设初初值值问问题题的的解解充充分分光光滑滑，待待定定的的两两步步公公式式为为数值计算方法2022-3-742( )

24、( )()21()(1,2,),( )( )()()()2!()kknnnppnnnnnnnpnyyxky xxTayloryyy xyyxxxxxxpOxx 记记则则在在处处的的展展开开为为(),()(,)(),iiiiinyy xy xf xyin 假假设设前前 步步计计算算结结果果都都是是准准确确的的，即即则则有有数值计算方法2022-3-743231( 4 )( 5 )45( 6 )21111 ()2 !3 ! ()4 !5 ! (,)()2 ! nnnnnnnnnnnnnnnyyyyxhyy hhhyyhhOhyffxyyxyy hh ( 4 )( 5 )34( 5 )21111(

25、4 )( 5 )34( 5 )()3 !4 ! (,) (,)()2 ! ()3 !4 !nnnnnnnnnnnnnnnyyhhOhffxyyyffxyyxyy hhyyhhOh 数值计算方法2022-3-744211011101113(4)4111111(5)56111()()()2()()6222466()()1202424nnnnnnnyyy hy hy hy hy hO h 将将以以上上各各公公式式代代入入并并整整理理，得得数值计算方法2022-3-7451(5)2561()()() 2!5!p+1 nnnnnnnpy xxTayloryyy xyy hhhO h 为使上式有 阶精度，

26、只须使其与在处的为使上式有 阶精度，只须使其与在处的展开式展开式的前项重合。的前项重合。数值计算方法2022-3-7460101011111111111111221111622611112 4662 4aaaaaa 5,5,1iiP 个个参参数数 只只须须 个个条条件件。由由推推导导知知，如如果果选选取取参参数数，使使其其满满足足前前个个方方程程（p p= =1 1, ,2 2, ,3 3, ,4 4) )，则则近近似似公公式式为为p p阶阶公公式式。数值计算方法2022-3-74711011111,0,02 ()2nnnnhyyff 0 0如如满满足足方方程程组组前前三三个个方方程程，故故公

27、公式式此此为为二二阶阶公公式式。01110140,1,33 又又如如：解解上上面面方方程程组组得得相相应应的的线线性性二二步步四四阶阶公公式式（S Si im mp ps so on n公公式式) )为为数值计算方法2022-3-74811115(5)61 (4)31 ()90nnnnnnnhyyfffRh yO h 其其截截断断误误差差为为由由此此可可知知，线线性性二二步步公公式式至至多多是是四四阶阶公公式式。123( )nnnrxT a y lo ryxxT a y lo r 一一 般般 地地 ， 线线 性性 多多 步步 公公 式式 中中 有有个个 待待 定定 参参 数数 ， 如如 令令

28、其其右右 端端 在在处处 的的展展 开开 式式 与与在在处处 的的展展 开开 式式的的 前前 p p + + 1 1 项项 系系 数数 对对 应应 相相 等等 ， 可可 得得 方方 程程 组组数值计算方法2022-3-749010111(1)11121()()1(1,2,) 1()(1)()(1)! ()riirrkkiiiiprrpppniiniipikikpphRipiypO h 其解所对应的公式具有 阶精度，局部截断误差为其解所对应的公式具有 阶精度，局部截断误差为显然，线性多步公式至多可达到2r+2阶精度。显然，线性多步公式至多可达到2r+2阶精度。数值计算方法2022-3-750二、

29、常用的线性多步公式二、常用的线性多步公式1231010100123 r=30,1()()1(1, 2, 3 4)5559379= 1,242(Ada424ms)4 2riirrkkiiiiikik 取取， 并并 令令由由 方方 程程 组组，可可 解解 得得，（ 一一 ） 阿阿 达达 姆姆 斯斯公公 式式数值计算方法2022-3-75111231(5559379)24=0Adamsnnnnnnhyyffff 相相应应的的线线性性多多步步公公式式为为因因，此此式式称称为为显显式式公公式式，是是四四阶阶公公式式. .53354( 5 )61115( 5 )6 1()5()()5 !2 5 1()7

30、2 0niiniinhRiiyOhhyOh 局局部部截截断断误误差差为为数值计算方法2022-3-75212330101211125( 5 )610,91951 =1,24242424(9195)24A dam s19()720nnnnnnnnhyyffffRhyO h 如如 果果 令令由由 方方 程程 组组 可可 解解 得得，相相 应应 的的 线线 性性 多多 步步 公公 式式 为为称称 其其 为为 四四 阶阶隐隐 式式 公公 式式 ， 其其 局局 部部 截截 断断 误误 差差 为为数值计算方法2022-3-753利用数值积分方法求线性多步公式利用数值积分方法求线性多步公式1111+11 (

31、)()(,() (),()()(),1nnnnxnnxxxnnnrnnnry xy xfx y xdxFx dxxxxxxxFxxFxr r r基基 本本 思思 想想 是是 首首 先先 将将 初初 值值 问问 题题 化化 成成 等等 价价 的的积积 分分 形形 式式用用 过过 节节 点点或或的的的的 r r次次 插插 值值 多多 项项 式式代代 替替求求 积积 分分即即 得得阶阶 的的 线线 性性 多多 步步 公公 式式 。数值计算方法2022-3-754123330123303,( ) ( )( )()()()()()( )(0,1,2,3)()()nnnnin iinnnnin in in

32、jjj irxxxxF xL xl x F xxxxxxxxxl xixxxx 例如时，过节点的三次例如时，过节点的三次插值多项式为插值多项式为其中其中数值计算方法2022-3-7551111131301233231313233()()( )( ) ()()()()()6()()()()2()()()()2()()nnnnnnnnnnxxnnin ixxixnnnnxxnnnnxxnnnnxnny xy xL x dxl x dx F xxxxxxxF xdxhxxxxxxF xdxhxxxxxxF xdxhxxxF x 1123123)()655()59()37()9()24nnxnnxnn

33、nnxxxdxhhF xF xF xF x 数值计算方法2022-3-7561111233,(),(),(,)()(,() (,1,2,3),(5559379)24,nnnnkkkkkknnnnnnnnyyy xy xfxyFxfxy xkn nnnhyyffffAdam sxxAdam s 对对 上上 式式 用用代代 替替用用代代 替替则则 得得这这 就就 是是 四四 阶阶显显 式式 公公 式式 。 由由 于于 积积 分分 区区 间间 在在 插插 值值区区 间间外外 面面 ， 又又 称称 为为 四四 阶阶外外 插插 公公 式式 。11(4)(5)33100 ()()()()!4 4!nnnn

34、xxxxnnjnjxxjjFyRxxdxxxdx 由由插插值值余余项项公公式式可可得得其其局局部部截截断断误误差差为为数值计算方法2022-3-757131(5)35(5)10,),( )251()( )4!720nnnnxnnjxjxxyRxxdxh y 由由积积分分中中值值定定理理，存存在在（使使得得112231,() ()()( )nnnniniixxxxFxLxlxFx 同同 样样 ， 如如 果果 过过 节节 点点的的三三 次次 插插 值值 多多项项 式式 为为数值计算方法2022-3-7581123111125(5)121()()()()( )(1,0,1,2)()()( ) (91

35、95)2419( )720nnnnin in injjj innnnnnnnnnxxxxxxxxlxixxxxF xAdamshyyffffRh yxx 其其中中代代替替求求积积分分，即即得得四四阶阶隐隐式式公公式式其其局局部部截截断断误误差差为为 由由于于积积分分区区间间在在插插21,nnxxAdamsAdams 值值区区间间内内，故故隐隐式式公公式式又又称称为为内内插插公公式式数值计算方法2022-3-7591213012313125(5)61 0,8481,0,333 4 (22)314 ()4 ()5 nnnnnnnyyhfffMMilineRh yO hMiliineinle 0 0

36、 取取r r= =3 3，并并令令由由方方程程组组可可解解出出相相应应的的线线性性多多步步式式称称为为公公式式，其其局局部部截截断断误误差差为为（二二）米米尔尔尼尼公公式式公公式式是是四四阶阶四四步步显显式式公公式式。数值计算方法2022-3-7601212115(5)61 0,min13 (9)(2)881 (m()in40nnnnnnnnHamgyyyh ffHamRhO hgfy （三三）哈哈明明 取取r r= =2 2，并并令令可可得得到到公公式式其其局局部部截截断断误误差差为为H Ha am mm mi in ng g公公式式是是四四阶阶三三公公式式步步隐隐式式公公式式。数值计算方法

37、2022-3-76111 , ),) nny n n+ +1 1n n+ +1 1n n+ +1 1一一般般地地，同同阶阶的的隐隐式式法法比比显显式式法法精精确确，而而且且数数值值稳稳定定性性也也好好。但但在在隐隐式式公公式式中中，通通常常很很难难解解出出y y需需要要用用迭迭代代法法求求解解，这这样样又又增增加加了了计计算算量量。在在实实际际计计算算中中，很很少少单单独独用用显显式式公公式式或或隐隐式式公公式式，而而是是将将它它们们联联合合使使用用：先先用用显显式式公公式式求求出出y y( (x x的的预预测测值值，记记作作y y再再用用隐隐式式公公式式对对预预测测值值进进行行校校隐隐式式法

38、法与与显显式式法法正正，求求出出y y( (x x的的近近似似值值的的比比较较。数值计算方法2022-3-762三、预测三、预测校正系统校正系统 用显式公式计算预测值，然后用隐式公式进行校正，用显式公式计算预测值，然后用隐式公式进行校正，得到近似值得到近似值yn+1这样一组计算公式称为预测这样一组计算公式称为预测校正系统。校正系统。 一般采用同阶的隐式公式与显式公式。常用的预一般采用同阶的隐式公式与显式公式。常用的预测测校正系统有两种：校正系统有两种：112311112 (5559379) 249 (,)195 24nnnnnnnnnnnnnhyyffffhyyf xyfAdaffms 预预测

39、测校校正正校校正正公公式式预预测测数值计算方法2022-3-763131211211 4(22) 313(9)(,)2) limin88 nnnnnnnnnnnnyyhfffyyyh f xMineHamyffg 预预测测校校正正公公式式 (1)RK 3 说说明明：以以上上两两种种预预测测校校正正公公式式均均为为四四阶阶公公式式，其其起起步步值值通通常常用用四四阶阶公公式式计计算算。( (2 2) )有有时时为为提提高高精精度度，校校正正公公式式可可迭迭代代进进行行多多次次，但但迭迭代代次次数数一一般般不不超超过过 次次。数值计算方法2022-3-764用局部截断误差进一步修正预测校正公式用局

40、部截断误差进一步修正预测校正公式5( 5 )6115( 5 )6115( 5 )6115( 5 )1111111251 ()()72019()()720270()720720()270251()()270() nnnnnnnnnnnnnnnnnA dam syxyhyOhyxyhyOhyyhyOhhyyyyxyyyyx 由由公公 式式 的的 局局 部部 截截 断断 误误 差差 公公 式式两两 式式 相相 减减11119()270nnnyyy 数值计算方法2022-3-765112311111121111 (5559379) 24251()2709 (,) 195 2419()270 nnnnn

41、nnnnnnnnnnnnnnnnhpyffffmpcphcyf xmfffyAdcmpa sc 多多环环节节的的预预测测由由上上面面就就得得到到预预测测改改进进校校校校正正公公式式正正改改进进数值计算方法2022-3-766131211121111111 4(22) 3112()12113(9) (,)2 ln 88 9()1in21mnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnpyhfffmpcMieHampcyyh f xmffycpgc 完完全全类类似似，可可以以导导出出预预测测改改进进校校多多环环节节的的预预测测校校正正公公式式正正改改进进数值计算方法2022-3-767001111112

42、11 1 , ,( , ), (2),1(3) (,) (,)22nnnnnnbaa b f x yN yhxa nNff xyKhKhfKhf xyK 算算法法（ ）输输入入置置计计算算231141131123400(,) (,)221(22)6(4)(,)(5)3,1, 3 1,0,0, 6nnnnnnnnnKhhf xyKhf xh yKyyKKKKxanhxynnnnnpc 输输出出若若置置返返回回 ；否否则则，置置转转 。数值计算方法2022-3-76833330321003132111330(6)(,) 4112(22) ()312113(9) ( ,)2889() , )121(

43、7)1,(0,1,2),jjjjjjff xyxxhpyfffmpcpcyyh f x mffyccpx ynNnn xxyyffjxxyypp 计计算算输输出出( (若若，置置0,6cc转转 ；否否则则停停机机。数值计算方法2022-3-7691200 (,)(1, 2,)()(1, 2,)iiNiiyfx yyyiNyxyiN 一一 阶阶 方方 程程 组组 的的 初初 值值 问问 题题120000120012 y f y(,) ;yf (, y);y(,) ;y()y ;f(,) ;TNTNTNyyyxyyyxfff 若若 对对 和和 采采 用用 向向 量量 的的 记记 号号第四节第四节 一阶微分方程组的解法一阶微分方程组的解法一、一阶微分方程组一、一阶微分方程组数值计算方法2022-3-77000n+1n12341n2n13n24n3yf( ,y);y()y ; yy(k2k2kk )6 kf(,y ); kf(,yk );22kf(,yk ); kf(,yk