第17讲IIR数字滤波器

1、4.34.3无限长单位冲击响应（无限长单位冲击响应（IIRIIR）数字滤波器的设计数字滤波器的设计4.3.14.3.1概述概述l数字滤波器是一离散时间系统，可以用差分方程，单位抽样响应h( n)、系统函数H( z)等 来描述。l按照离散系统的时域特性，数字滤波器可分为无限冲激响应（IIR），有限冲激响应（FIR）数字滤波器两类，l前者是指其单位抽样响应h ( n )为无限长序列，后者h ( n )则是有限长序列。由前述，一般离散系统可表示为N阶差分方程NkkMkkknyaknxbny10)()()(无此项则为FIR特点：特点：l而上式ak不全为0，并且分母至少存在一个根不为分子所抵消时，H (

2、 z )是有理分式，则h( n)为无限长，即IIR数字滤波器l这种滤波器的输出与现时刻的输入以及过去时刻的输入有关，而且与过去的输出有直接的关系，通常用递归的结构形式来实现。l在理论上它们具有无限的记忆能力，这种记忆能力是通过将输出反馈到输入来获得的例：例：输出与过去的输输出与过去的输出有关出有关用递推法求解用递推法求解冲击响应有无穷冲击响应有无穷多项多项l直接型1 1、I I RI I R数字滤波器的直接数字滤波器的直接 （I I）型结构）型结构MkkNkkknxbknyany01)()()(采用信号流图所定义的符号，直接画出差分方程对采用信号流图所定义的符号，直接画出差分方程对应系统的信号

3、流图结构称为直接应系统的信号流图结构称为直接 （I I）型结构。）型结构。M=N2 2、I I RI I R数字滤波器的直接数字滤波器的直接 （）型结构）型结构将“ I I R 数字滤波器的直接数字滤波器的直接 （I）型结构）型结构”中的延时单元 尽可能减少的一种流图结构，称为直接直接 （）型结构）型结构。1z例如：将“ I I R 数字滤波器的直接数字滤波器的直接 （I）型结构）型结构 ”【图(a)】中间两部分的延时单元合并，得到“ I I R 数字滤波器的直接数字滤波器的直接 （）型结构）型结构 ”【图(b)】直接 型直接 型4.3.2IIR4.3.2IIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的

4、设计方法NkkNkkzazbzH11011)(对于IIR数字滤波器，其系统函数为：jezjkkzHeHba)()(，使、 设计IIR滤波器的系统函数，就是要确定确定H(z)的阶数的阶数N（通常称（通常称N为滤波器的阶数）以及分子分母多项式的为滤波器的阶数）以及分子分母多项式的系数系数满足指定的频率特性。满足指定的频率特性。方法一：利用模拟滤波器的理论来设计方法一：利用模拟滤波器的理论来设计方法二：利用最优化技术进行方法二：利用最优化技术进行CADCAD设计设计若需设计滤波器的幅频特性是任意的或者形状比较复杂，可采用计算机辅助设计(CAD)方法进行优化设计。方法三：利用方法三：利用 “ “ 零极

5、点累试法零极点累试法 ” ” 进行设进行设计计若需设计滤波器的幅频特性比较规则而且简单时，可采用“ 零极点累试法零极点累试法 ”进行设计。例如：数字陷波器由模拟滤波器设计数字滤波器由模拟滤波器设计数字滤波器lIIR数字滤波器的特点是h( n)为无限长序列。l设计的基本思路：让数字滤波器的特性去模仿一个模拟滤波器的特性，得到数字滤波器的H( z)、H( e j)与模拟滤波器的H ( s)、H ( j)之间的变换关系。l(1)先设计一个模拟滤波器的传递函数H ( s)，l(2)通过s变量与z变量之间的变换关系求出数字滤波器的系统函数H( z) 。l设计思想： s 平面 z 平面模拟系统 数字系统(

6、 )( )aHsH zlH(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应，即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆l因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ，即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| 11.从从s平面到平面到z平面的映射平面的映射2.2.冲激响应不变法冲激响应不变法( )( )at nTh nh t数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应( )h n( )ah t12akHsjkTT变换原理( )( )sTaz eH zHsT抽样周期( )H z( )aHs12akHsjkTT( )( )sTaz eH zHs混迭失

7、真混迭失真12()jakkH eHjTT仅当()02sahjT 数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真：数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为 2 /T实际系统不可能严格限带，都会混迭失真优缺点优缺点l优点：l缺点：T l保持线性关系：线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器l频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器lh(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好( )ah t冲激响应不变法的数字化实现冲激响应不变法的数字化实现1( )NkakkAHsss111kNks TkAez( )( )()( )( )aaaHsh th nTh n

8、H z11( )( )( )kNs taakkh tLHsA e u t1( )()()kNs nTakkh nh nTA eu nT1( )kNns TkkA eu n( )( )nnH zh n z01kNns TnknkA ez110kNns TkknAez 3.3.双线性变换法双线性变换法变换原理使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似。冲激响应不变法：时域模仿逼近缺点是产生频率响应的混叠失真:, 1:,T T 12Ttg 1s Tze11sin2cos2TT1111s Ts Tee1111zsz 11szs12Ttg 1111222222TTjjTTjjeejee111122

9、22TTjjTTjjeesjee 11112222s Ts Ts Ts Teeee1111zz1s Tzesj 11sj 12s Tel为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数 c12Tc tg 1111zsczcszcs逼近情况逼近情况2222()()czc01z1111112jjzesccjc tgjze 1）s平面虚轴z平面单位圆cscjzcscj 2）01z01z左半平面单位圆内s平面z平面右半平面单位圆外虚轴单位圆上l双线性变换的频率对应关系模拟频率与数字频率为一种非线性的关系情形。即：)2(tg可见：模拟滤波器与数字滤波器的响应在对应的频率关系上发生了“畸变

10、畸变”，也造成了相位的非线性变化，这是双线性变换法的主要缺点。具体而言，在上刻度为均匀的频率点映射到上时变成了非均匀的点，而且随频率增加越来越密。 双线性变换法除了不能用于线性相位滤波器设计外，仍然是应用最为广泛的设计IIR数字滤波器的方法。 优缺点优缺点l优点：2c tg 避免了频率响应的混迭现象s 平面与 z 平面为单值变换l缺点： 除了零频率附近， 与 之间严重非线性线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器模拟滤波器的数字化方法模拟滤波器的数字化方法1111111( )( )1aazs czzH zHsHcz4.3.34.3.3模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计l模拟滤波器设计中的基本概念

11、1、模拟滤波器的频率特性与衰减特性、模拟滤波器的频率特性与衰减特性 jssHjH| )()(设模拟滤波器的系统函数为：工程上，滤波器的幅度特性所给定的指标通常是通带和阻带的衰减衰减。（常用反映功率增益的幅度平方函数幅度平方函数或模平方函数模平方函数来表示）即：)( | )(|lg20| )(|lg10)(2dBjHjHA当要求滤波器具有线性相位特性（延时为常数）时，滤波器的频率特性频率特性为：,| )(|)()(jejHjH)(2、归一化与频率变换、归一化与频率变换 频率变换频率变换：从归一化低通原型滤波器到高通、带通、带阻等其它类型的滤波器的变换方法。在设计模拟滤波器时，为使设计结果具有普遍

12、性以及计算方便，常采用归一化参数归一化参数。归一化归一化包含： 电路参数归一化电路参数归一化：将系统中无源元件的阻抗或运算阻抗分别除以基准电阻(系统的负载电阻值)； 频率归一化频率归一化：将所有的频率都除以基准频率（滤波器的截止频率）。计算实际电路参数时应要将归一化频率乘以截止频率，进行反归一化。3、由模平方函数由模平方函数 求模拟滤波器的系统函数求模拟滤波器的系统函数H H( (s s) ) | ()|H j2模拟滤波器在不含有源器件时，若为一个因果稳定的、物理可实现的系统，则其系统函数必须为正实函数正实函数，即具有以下三特点： 是一个具有实系数的关于是一个具有实系数的关于s s 的有理函数

13、：的有理函数： )(/ )()(sDsNsH 所有极点必须全部分布在所有极点必须全部分布在 s s 平面的左半平面内。平面的左半平面内。 分子多项式分子多项式N N( (s s) )的阶次必须小于或等于分母多项式的阶次必须小于或等于分母多项式D D( (s s) )的阶的阶次次 4、逼近问题、逼近问题 寻找一个恰当的近似函数来逼近理想特性。Butterworth（巴特沃斯）低通逼近幅频特性单调下降 Chebyshev（切比雪夫）低通逼近 幅频特性在通带或者在阻带有波动椭圆 Ellipse 滤波器l幅度特性性能要求（低通为例）模拟低通滤波器的设计指标模拟低通滤波器的设计指标)(H0ps1pAsA

14、通带通带过渡带过渡带阻带阻带pA：通带最大衰减：通带最大衰减sA：阻带最小衰减：阻带最小衰减：通带截止频率：通带截止频率p：阻带截止频率：阻带截止频率sc：截止频率：截止频率cl巴特沃思Butterworth低通滤波器BW滤波器以巴特沃思函数来近似滤波器的系统函数，BW的低通模平方函数为：, 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc指定 、 后，带 到上式，得：pApp1101 . 0pA13时，当dBAp阶数阶数指定 、 后，带 到上式，得：sAsssANcssjH1 . 02221011)/(11| )(|1010 1 . AsNcp2)/(用3dB截止频率 来规一化规一化： ，则

15、下式：c/c, 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc|()|()H jN2211说明说明： 当 时， （取最大值） 当 时， （即3dB值） 在通带 时， 很小， 当阻带 时， 很大，01| )(|2jHc2/1| )(|2jHNc2/1/c1)(2jHN时，1/cNc2/0)(2jHN时，在阻带内，阻带内，NcjjjH22)(1|)(|)lg(20| )(|lg102csjjNjHA或 幅度随着 N的增加阻带衰减近似为6N db/倍频 程。 N越大，频带特性越接近理想矩形特性。 巴特沃思滤波器又称 “ 最大平坦滤波器最大平坦滤波器 ”。原因如下：NjH22)(11| )(|将按台

16、劳级数展开为 ：NNjH4221| )(|12 , 2 , 1,0| )(|02NkjHddk归一化巴特沃思低通滤波器的幅度特性 选择滤波器的阶次选择滤波器的阶次N N 222)(Nps)/lg()110/() 110lg(21)/lg()/lg(1 . 01 . 0psAApspsN若给定的指标 =3dB, 即通带边频 时, =1,可求得：cppA)/lg()110lg()/lg()lg()/lg()/lg(1 . 0csAcscssN实际计算时，要对上式求得的数值取整加取整加1 1。 从模平方函数求系统函数从模平方函数求系统函数H(s) 求得极点求得极点 , 2 , 1)/(11| )(|

17、22NjjjHNc带入上式，得：令 js0)(12Ncjs)12()1(kje又NkesNNkjck2 , 2 , 12/)12(下图给出的是按以上公式所求得的N=3和N=4时的极点发布图：关于极点的讨论关于极点的讨论c在归一化频率的情况 =1，极点均匀分布在单位圆上 NkesNNkjk, 2 , 12/) 12(对于物理可实现系统,它的所有极点均应在 s的左半平面上 系统函数的构成系统函数的构成 滤波器的极点求出后，可取左半平面上的所有极点构成系统函数。NiissAsH1)(1)(对于低通滤波器，为了保证在频率零点 处， ，可取：01| )(|jHNiiNsA1)1(NiiiNssssH1)

18、() 1()( 一般一般N N阶归一化巴特沃思滤波器系统函数阶归一化巴特沃思滤波器系统函数 表示表示 )(sHaNNNNiiassasasasssH11221111)(1)(上式中 是 时的极点（分布在单位圆上）；分母一般称为巴特沃思多项式巴特沃思多项式，其系数可通过查附表1求得。si1c【附表【附表1 1】：】：巴特沃思多项式系数表巴特沃思多项式系数表 NA1a2a3a4a5a6a7a8a9 21.4142 32.00002.0000 42.61313.41422.6131 53.23615.23615.23613.2361 63.86377.46419.14167.46413.8637 7

19、4.494010.09714.59214.59210.0974.4940 85.152813.13721.84625.68821.84613.1375.1528 95.758816.58131.16341.98641.98631.16316.5815.7588106.392520.43142.80264.88274.23364.88242.80220.4316.3925【附表【附表2】：】：巴特沃思多项式因式分解巴特沃思多项式因式分解N 巴 特 沃 思 多 项 式1 s+12s2+1.4142s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+1

20、)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180s+1)6(s2+0.5176s+1)(s2 +1.412s+1)(s2 +1.9319s+1)7(s+1)(s2+0.4450s+1)(s2+1.2470s+1)(s2+1.8019s+1)8(s2+0.3092s+1)(s2+1.1111s+1)(s2+1.6629s+1)(s2+1.9616s+1)9(s+1)(s2+0.3473s+1)(s2+s+1)(s2+1.5321s+1)(s2+1.8794s+1)l巴特沃思模拟滤波器的设计总结 上述归一化公式和表格是相对3dB 截止频率 给出的。由指定的技术指标 ，利用上述公式和表格进行设计时

21、，最关键的2个参数是滤波器的节数N和3dB 截止频率 。 N用来求巴特沃思多项式， 用来反归一化，求实际滤波器的参数。cssPpAA,ccChebyshevChebyshev低通滤波器的设计方法低通滤波器的设计方法l提出的背景 巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数。因此当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时分布在两者之内。这样，就可用阶数较低的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。l切比雪夫（Chebyshev）低通滤波器切比雪夫低通滤波器切比雪夫低通滤波器采用切比雪夫函数来逼近给定的指标，该函数具有等波纹特性。它可将指标要求均匀发布在通带（或阻带