第3章空间力系

1、12第三章第三章 空间一般力系空间一般力系 31 力对轴的矩力对轴的矩 32 空间一般力系的简化与平衡空间一般力系的简化与平衡 33 物体的重心和形心物体的重心和形心 3本章重点：本章重点：力对轴的矩的计算，空间一般力系的平衡条件力对轴的矩的计算，空间一般力系的平衡条件及其应用，重心的求法。及其应用，重心的求法。本章难点：本章难点：力对轴的矩的计算，平衡方程的应用。力对轴的矩的计算，平衡方程的应用。 4空间一般力系：各力的作用线不全在同一平面内且任意分布的空间一般力系：各力的作用线不全在同一平面内且任意分布的力系。也称空间任意力系。力系。也称空间任意力系。所谓任意分布是指各力的作用线既不完全相

2、交也不完全相互平行。物体受空间一般力系作用是物体受力最一般的情况，在工程实际中很普遍。地面反力自重侧风力迎风力摩擦力5空间一般力系有以下三种三种特殊力系特殊力系：空间汇交力系：空间汇交力系：各力的作用线不全在同一平面内且汇交于一点的力系。空间平行力系：空间平行力系：各力的作用线不全在同一平面内且相互平行的力系。空间力偶系：空间力偶系：各力偶作用面不全在同一平面内的力偶系。6一、定义一、定义为了度量力使物体绕轴转动的效应，引用力对轴的矩。图示门，求力 对z（矩轴矩轴）的矩。zFF将力分解：3-1 3-1 力对轴的矩力对轴的矩AxyFzFOd z 轴z 轴ZFxyF7于是：于是：的面积2)()(B

3、OAdFFmFmxyxyOz结论结论：力对轴的矩等于该力在垂直于力对轴的矩等于该力在垂直于此轴的平面上的投影对此轴与这个平此轴的平面上的投影对此轴与这个平面交点的矩面交点的矩。（1）力对轴的矩是代数量。）力对轴的矩是代数量。正负号规定：右手螺旋法则。正负号规定：右手螺旋法则。8即力即力 与轴共面时，力对轴之与轴共面时，力对轴之矩为零矩为零。（2）若力与轴空间垂直，则无须投影。（3）若 / z 轴与z轴相交FFF（4）力沿作用线移动，力对轴的矩不变。9二、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系二、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系前面我们讨论了力对点的矩与力对轴的矩：力对点的矩是矢量，力对轴

4、的矩是代数量另一方面：力对平面内一点的矩与力对通过该点而垂直于平面的轴的矩的大小相等，符号可能或同或异。可见，在概念上，力对点的矩与力对轴的矩不尽相同但又相互联系。那么，在一般情况下，力对点的矩与力对通过该点的轴之矩有什么关系呢？10即：)(cos)(FmFmzO)()(FmFmzzO面积由于AOBFmO2)(2)()(BOAFmFmxyOz通过O点作任一轴Z，则：cosBOAOAB由几何关系：2cos2BOAOAB所以：11 结论结论：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关

5、系，简称力矩关系式。 kFmjFmiFmFrFmzOyOxOO)()()()(kFmjFmiFmzyx)()()(由于又由第一章知：)(FmOZYXzyxkjikyXxYjxZzXizYyZ)()()(yXxYFmxZzXFmzYyZFmzyx)(,)(,)(这就是力对直角坐标轴的矩的解析表达式解析表达式。12力对轴的矩的计算方法：（1）定义法；（2）解析式；（4）合力矩定理。（3）力矩关系式；例例1已知已知P=20N，求，求 对对z轴的矩。轴的矩。解解：方法一：定义法dPPmPmxyxyOz)()(205. 05 . 02060cos0dPmN22P13方法二：解析式X=Pcos600sin

6、450=5Y=Pcos600cos450 = 5Z= Psin600= 10 x= 0.4my=0.2+0.3=0.5mz=0.3mN2N2N3yXxYPmz)(mN25 . 0255 . 0)25(4 . 014方法三：力矩关系式)(PmOZYXzyxkji31025253 . 05 . 04 . 0kjikji25 . 0)3425 . 1 ()3525 . 1 ()(Pmx)(Pmy)(Pmz15方法四：合力矩定理)()(xzzPmPm)()(zzyzPmPm=05 . 045sin60cos00P4 . 045cos60cos00 PmN25 . 0163-2 3-2 空间一般力系的简

7、化与平衡空间一般力系的简化与平衡一、空间汇交力系的合成一、空间汇交力系的合成同平面汇交力系一样，作力多边形（此时是空间的），得：空间汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等空间汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于力系中各力的矢量和，即于力系中各力的矢量和，即inFFFFR.21二、空间力偶系的合成二、空间力偶系的合成空间力偶是自由矢量，所以可以将空间力偶系中各力偶矩矢搬移到某一点，得到一组空间汇交的力偶矩矢。应用空间汇交力系的合成方法，得空间力偶系合成的结果是一个合力偶，合力偶矩矢等于各空间力偶系合成的结果是一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即分力偶矩矢的矢

8、量和，即inmmmmm.2117 把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。 nFFFF321, 设作用在刚体上有空间一般力系任选任选O点点简化中心简化中心三、空间一般力系向一点的简化三、空间一般力系向一点的简化18根据力的平移定理，将各力向O点平移，1F1m2F2mnFnm=得到一空间汇交力系：, , 321nFFFF和一附加空间力偶系：nmmm,21.),(),(.,22112211FmmFmmFFFFOO19将 合成，得将 合成，得1F1m2F2mnFnm=, , , 321nFFFFiiFFRnmmm,21)(iOiOFmmM称为原力

9、系的主矢量，过简化中心O。称为原力系的主矩。 ROM=20结论结论：空间一般力系向一点简化，一般可得一个力和一个力偶，空间一般力系向一点简化，一般可得一个力和一个力偶，这个力作用在简化中心，大小和方向等于原力系的主矢，这个力作用在简化中心，大小和方向等于原力系的主矢，即等于原力系各力的矢量和；这个力偶的矩矢等于原力系即等于原力系各力的矢量和；这个力偶的矩矢等于原力系对简化中心的主矩，即等于原力系各力对简化中心矩的矢对简化中心的主矩，即等于原力系各力对简化中心矩的矢量和。量和。主矢与简化中心O点的位置无关，而主矩一般与简化中心的位置有关。21若取简化中心简化中心O点为坐标原点建立直角坐标系，则：

10、 主矢大小主矢大小 主矢方向主矢方向 根据力对点之矩与力对轴之矩的关系: 则主矩大小主矩大小为： 主矩方向主矩方向：222222)()()(iiizyxZYXRRRRcos,cos,cosRZRYRXiii)( ; )( ; )( )(izOziyOyixxiOOxFmMFmMFmFmM222OzOyOxOMMMMOOzOOyOOxMMMMMMcos,cos,cos222)()( )(iziyixFmFmFm22 空间一般力系向一点简化的最后结果有以下几种情况：2 2、 则原力系简化为一个合力偶合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无此时主矩与简化中心的位置无关

11、。关。0, 0OMR1 1、 则原力系简化为一个合力合力，主矢 等于原力系合力矢 ，合力 通过简化中心O点。 （换个简化中心，主矩不为零）0, 0OMRRRR四、四、简化结果的讨论简化结果的讨论230M,0 RO3 3、R ROM ，此时可以进一步简化为一个合力此时可以进一步简化为一个合力 。将将 用用 代替代替OMRR RRR RMd,Rdd RMOO根据根据 、 的转向与的转向与 一致的原则确定一致的原则确定 在在O点的那一侧。点的那一侧。RROMR24)()(iOOFmRm)()(izzFmRm)(RmMOO由此知又)(iOOFmM即：如果空间一般力系简化为一合力，则合力对任一点的如果空

12、间一般力系简化为一合力，则合力对任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的矢量和矩等于力系中各力对同一点矩的矢量和这就是空间一空间一般力系的合力矩定理般力系的合力矩定理。将上式向过O点的任一轴z轴投影，得即合力对任一轴的矩等于各分力对同一轴的矩的合力对任一轴的矩等于各分力对同一轴的矩的代数和代数和。25 ，力螺旋力螺旋例例 拧螺丝 炮弹出膛时炮弹螺旋线OMR / 与 成任意角（不平行也不垂直） 把 分解为平行于 的 和垂直于 的 。 分别按、处理。 ROMOM R1M2M R若力与力偶矩矢同向，称为右手螺旋；反之，称为左手螺旋。26即原力系简化的结果为O点的一个力螺旋力螺旋。 （自由矢量）平移到O点

13、sin2RMRMdO 使主矢 搬家，搬家的矩离：2M R1M4 4、 , 则原力系平衡平衡。0, 0OMR27 1 1、空间一般力系的平衡方程、空间一般力系的平衡方程222)()()(iiiZYXR222 )( )( )(iziyixOFmFmFmM五、五、空间一般力系的平衡方程空间一般力系的平衡方程空间一般力系平衡的充分必要条件是：0, 0OMR0)(, 0)(, 0)(, 0, 0, 0iziyixiiiFmFmFmZYX空间一般力系的平衡方程空间一般力系的平衡方程为：280)(, 0)(, 0)(, 0, 0, 0iziyixiiiFmFmFmZYX空间一般力系的平衡方程的基本形式基本形

14、式（1）有六个独立的平衡方程，对一个刚体最多只能求解六个未知量；（2）各轴可以不垂直，投影轴和矩轴也可以不为同一个轴。（3）其他形式：四力矩式，五力矩式和六力矩式。290, 0, 0iiiZYX2、空间汇交力系的平衡方程、空间汇交力系的平衡方程以汇交点为简化中心，则3、空间平行力系的平衡方程、空间平行力系的平衡方程取z轴平行于各力，则0)(, 0, 0iziiFmYX0)(, 0)(, 0iyixiFmFmZ于是由空间一般力系的平衡方程得：0)(, 0)(, 0)(iziyixFmFmFm于是由空间一般力系的平衡方程得：304、空间力偶系的平衡方程、空间力偶系的平衡方程0, 0, 0iiiZY

15、X于是由空间一般力系的平衡方程得：000iziyixmmm注意：力偶对某轴的矩是把力偶当成矢量后，将该矢注意：力偶对某轴的矩是把力偶当成矢量后，将该矢量向该轴投影量向该轴投影（类似力在轴上的投影），见例3。31(1)球铰（球形铰链）球铰（球形铰链）5、空间约束、空间约束 观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。3233光滑球铰链约束实例光滑球铰链约束实例34（2）轴承）轴承(滚珠轴承滚珠轴承)，蝶铰链，蝶铰链轴承蝶铰AXAZ353637（3）止推轴承）止推轴承 38（4）空间固定端）空间固定端3

16、940 例例2 图示起重机自重不计，已知：图示起重机自重不计，已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=200kN，起重臂，起重臂AC位于拉索位于拉索BE、BF的对称平面内。求的对称平面内。求:索索BE、BF的拉力和杆的拉力和杆AB的内力。的内力。解解（1）以以C点为研究对象点为研究对象 （平面汇交力系）)kN(546, 045sin15sin, 011TQTYi4153 sin ,54434 cos22(2)以以B点为研究对象点为研究对象（空间汇交力系）：3232045sin cos45sin cos , 0TTTTXi )kN( 419 045cos cos45cos cos60sin ,

17、 032321TTTTTYi)kN( 2300 sin sin60cos , 0321BABAiSTTTSZ42注意：注意：力偶不出现在投影式中力偶对某轴的矩是把力偶当成矢量后，将该矢量向该轴投影（类似力在轴上的投影）例例3 曲杆曲杆ABCD, ABC=BCD=900,已知已知, m2, m3 求：求：支座反力及支座反力及m1=?43解解：321macmabcYbZmDD0 , 0DiXXamZaZmmAAy22 , 0 , 0amYaYmmAAz33 , 0 , 0amYYYYYADDAi3 , 0 , 0amZZZZZADDAi2 , 0 , 00 , 011DDxYcbZmm44例例4重

18、为重为W 的均质正方形板的均质正方形板水平支承在铅垂墙壁上，求水平支承在铅垂墙壁上，求杆杆1 1、2 2及及BC的内力和球铰的内力和球铰A的约束力。的约束力。解：取板为研究对象解：取板为研究对象ABC12xyzW202, 0WZaWaZmAACE设正方形板的边长为设正方形板的边长为a，则：，则：BC1F2FCFAXAYAZxyzWED45sin202sin, 022WFaWaFmx)cos(sinsin2cos0cossincos, 02WFaFaFaFmCCCz002/sinsin, 0121FaWaFaFmy)cos(sinsin2sincos0sincos, 01WXaFaFaXmACA

19、DzAAAACzXYaFaXaYm0cos, 01BC1F2FCFAXAYAZxyzWED46 例例55绞车的轴安装于水平位置。绞车的轴安装于水平位置。已知已知绞车筒半径绞车筒半径r1=10cm，胶带轮半径胶带轮半径r2=40cm，a=c=80cm，b=120cm，重物重重物重P=10kN。设胶带在垂直于转轴的平面内与水平成。设胶带在垂直于转轴的平面内与水平成=300角，且角，且T1=3.5T2，求，求匀速吊起重物时轴承匀速吊起重物时轴承A、B处的约束力及处的约束力及T1、T2的大小。的大小。 47解：以绞车为研究对象解：以绞车为研究对象AXAZBX联立T1=3.5T2，得XB=1.56kN

20、得ZB=5.1kN BZ得T2=1kN，T1=3.5kN , 0)(izFm0sinsin)(, 0)(21PbaTaTZcbFmBixxzy0, 0)(22211rTrTrPFmiy0coscos)(21aTaTXcbB48得XA=-5.46kN 得ZA=7.15kN 绞车在AB方向没有约束，可以运动，称为不完全约束系统。但仍然是平衡的（Yi=0）。若在B端换成止推轴承，则系统是完全约束系统。0coscos, 021TTXXXBAi0sinsin, 021PTTZZZBAiAXAZBXBZxzy49例例6均质薄板，单位面积重均质薄板，单位面积重 =0.5kN/m2，在薄板平面内作用，在薄板平

21、面内作用一力偶，其矩一力偶，其矩M=100kN.m。在过边。在过边DE的铅直平面内的的铅直平面内的D点作点作用用F=10kN的力，与边的力，与边DE成成300角。试求球铰角。试求球铰A及三根连杆的及三根连杆的约束力。约束力。 解：解：以板为研究对象将板视为正方形ABCD减去三角形CDE。正方形ABCD重P0=62 =18kN，三角形CDE重P1=63 /2=4.5kN（负值，即P1向上），作用在各自的重心。 50, 0)(izFm0645cos645sin30cosBCSMFkN9 .14BCS53, 0)(10PPFmixkN25. 0DDS06630sin DDSF, 0)(iyFm064

22、5sin63310 BCBBSSPPkN79. 3BBSkN12. 6AX045sin30cos, 0 FXXAiBCDxyzAXAYAZBBSBCSDDS0P1P4551045cos45cos30cos, 0 BCAiSFYYkN7 .16AYkN5 . 1AZ本题也可以不将板处理成P0、P1而是用求板ABCDE的重心来计算。 045sin30sin, 00001DDBBBCAiSSSFPPZZBCDxyzAXAYAZBBSBCSDDS0P1P4552 靠近地球的物体都受到地球引力的作用。如果把物体看成是由无数微小部分组成，则其每一部分都受到地球引力的作用，这些重力可以看成是空间平行力系。整

23、个物体的重力就是各微小部分重力的合力，合力的大小即为物体的重量。 对于刚体而言，无论怎样搁置，物体重力的作用线都会通过物体某个固定不变的点，这个点就是物体的重心重心。 重心在工程中有重要意义意义：起重机、船舶等的重心过高容易倾翻；重力坝的重心越靠近上游，抗倾稳定性越好；高速转动的部件，若其重心不在转轴上就会发生振动等等。3-4 3-4 物体的重心和形心物体的重心和形心一、重心坐标公式一、重心坐标公式：53由合力矩定理： iiCxPxPy轴：x轴：iiCyPyPP=Pi物体的重量将系统绕x轴旋转90，使力线与y轴平行，再对x 轴应用合力矩定理得：iiCzPPz54于是得重心坐标公式重心坐标公式：

24、PzPzPyPyPxPxiiCiiCiiC ,若以Pi= mig , P=Mg 代入上式可得质心公式质心公式MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC ,对于均质物体均质物体，单位体积的重量 =恒量恒量，设 Vi为第i个小体积，V为物体的总体积，则：VzVzVyVyVxVxiiCiiCiiC,二、均质物体的重心坐标公式二、均质物体的重心坐标公式：Pi= Vi， P= V于是得：55（2）有对称面（轴、点）的均质物体，其重心必在对称面（轴、点）上。令Vi0，则上式可写成积分形式积分形式：VxdVxVCVydVyVCVzdVzVC均质物体的重心与其重量无关，只与物体的体积（几何形状）有关，这个只由

25、物体的几何形状决定的点称为物体的形心只由物体的几何形状决定的点称为物体的形心。上式又称为物体的形心公式形心公式。（1）形心与重心是两个不同的概念。对于均质物体，重心和形心是重合的。56A面积AzAzAyAyAxAxiiCiiCiiC,lzlzlylylxlxiiCiiCiiC,同理可得均质薄壳（板）的重心公式：均质薄壳（板）的重心公式：均质空间曲线的重心公式：均质空间曲线的重心公式：l长度同样可得它们的积分形式。57解解：由于对称，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段dRdLRdRLdLxxLC2cos 2sinRxC积分法积分法（简单形体）例例7 求半径为求半径为R，顶角为，顶角为2 的均质圆弧的重心。的均质圆弧的重心。三、确定均质物体重心的方法三、确定均质物体重心的方法常见简单形状的均质物体的重心公式见教材P97 cos Rx58 分割法分割法（由简单形体组成的复杂形体）解法一：解法一：例例8求图示均质薄板的重心，尺寸如图，长度单位：求图示均质薄板的重心，尺寸如图，长度单位：cm。（1）建坐标系（尽量利用对称性）（2）将图形分成、三个部分，则21cm25200120210Acm60120211xcm10